16_4256760_60.源出一根.生于一母

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 源出一根 由圆锥曲 线 的 “伴侣点”生成的 高考试题 在 椭圆 G:222(ab0)中 ,经常出现在 x 轴上满足 、 N,或在 y 轴上满足 、 N,这一对点总是同时出现 ,形影不离 ,相伴而行 ,我们把这对特殊的点形象地称作 椭圆 G 的“伴侣点” ;同样可定义双曲线和抛物线 的“ 伴侣点” 试题同源于 “伴侣点” ,均生于 “伴侣点”的 下述性质 . 母题结构 :( )己知 椭圆 G:222(ab0)和 x 轴上的两点 M、 N(或 y 轴上的两点 M、 N)(与椭圆中心和顶点均不重合 ),过点 M 的直线交椭圆 G 于 A、 B 两点 ,则 充要 条件是 a2( ( )己知 双曲线 G:22(a0,b0)和 x 轴上的两点 M、 N(或 y 轴上的两点 M、 N)(与椭圆中心和顶点均不重合 ),过点M 的直线交椭圆 G 于 A、 B 两点 ,则 充要条件是 a2( ( )己知 抛物线 G:px(p0)和 x 轴上的两点 M、 N(或 抛物线 G:py(p0)和 i 轴上的两点 M、 N),则 充要条件是 xM+(yM+); 解 题 程序 :( )设 A(x1,B(x2,M(m,0),N(n,0),直线 AB:x=ty+m,代入椭圆方程得 :(a2+b2( 0 y1+2222222222 )( ;所以 , 1+2=0y 1 1+y 2 2=0 2m y1+0 220 mn=理可证 :当 点 M、 N在 y 轴上 时 ;( )( )同理可证 . 侣点” 子题类型 :(2015 年 四川 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)的离心率是22,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点 ,当直线 l 平行于 x 轴时 ,直线 l 被椭圆 E 截的线段长为 2 2 . ( )求椭圆 E 的方程 ; ( )在平面直角坐标系中是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得| | | 若存在 , 求出 Q 点的坐标 ;若不存在 ;说明理由 . 解析 :( )由 e=22122,且 点 ( 2 ,1)在 椭圆 E 上 22a+21b=1 a=2,b= 2 椭圆 E:42x +22y =1; ( )假设存在满足题意的定点 Q(0,q),则| | | ;设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=,代入椭圆 E 的 方程得 :(2) x1+1242kk,12 22k;所以 ,11+22=0111x + 221x =0 2k+(11 21 =0 2k+2(1-q)k=0 q=(0,2)满足题意 . 点评 :在 点 B 上 ,则 | ( ,其中 子题类型 :(2008 年福建高考试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)的一个焦点是为 F(1,0),且过点 (2,0). ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )若 垂直于 x 轴的动弦 ,直线 l:x=4与 x 轴交于点 N,直线 N 交于点 M. (i)求证 :点 M 恒在椭圆 C 上 ;( 积的最大值 . 解析 :( )由 a2=,a=2 椭圆 C 的方程 :34 22 =1; ( )(i)因 F(1,0),N(4,0),设 椭圆 C 交于点 T, x 轴交于点 S,由 4 点 重合 点 T 是 直线 N 的 交 点 M 点 M 恒在椭圆 C 上 ; (直线 方程为 :x=,A(x1,M(x2,则点 N(4,0)到直线 AF:x= 的距离 d=132t,由 1243 122 yx (3) y1+4362t t,4392t |212212 4)(1 = 121222t t S 1|AM|d=18 43 122 12t =m(m 1) t2=S 83118132 29. 点评 :对于点 N,则 直线 过点 侣点” M,该结论对三类圆 锥 曲线均成立 . 3.“伴侣点” 与向量 子题类型 :(2004 年 天津 高考试题 )椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应 于焦点 F(c,0)(c0)的准线 l 与x 轴相交于点 A,|2|过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 ( )求椭圆的方程及离心率 ;( )若 0,求直线 方程 ; ( )设 1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于 另 一点 M,证明 :Q . 解析 :( )设椭圆 :222,则 b= 2 ,c=2( ,c=2 椭圆 :62x+22y=1,离心率 e=36; ( )由 A(3,0),设直线 PQ:y=k(由 0 原点 O 到直线 距离 d=22 26 1|3|26 k=55; ( )由 = 点 F,|1: | | Q . 点评 :若 M、 侣点” ,弦 点 M,则 ( ,其中 且本题结论成立 . 1.(2015 年 福建 高考试题 )已知点 F 为抛物线 E:px(p0)的焦点 ,点 A(2,m)在抛物线 E 上 , 且 |3. ( )求抛物线 E 的方程 ; ( )已知点 G(),延长 抛物线 E 于点 B,证明 :以点 F 为圆心且与直线 切的圆 ,必 与直线 切 . 2.(2007年全 国高中数学联赛河南 初赛 试题 )已知抛物线 (0,8),A、 且 0)、 设其交点为 M. ( )证明 :点 ( )是否存在定点 Q,使得无论 都有 明你的结论 . 3.(2015 年课标 高考试题 )在直角坐标系 ,曲线 C:y=42y=kx+a(a0)交与 M,N 两点 . ( )当 k=0 时 ,分别求 C 在点 处的切线方程 ; ( )y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时 ,总有 说明理由 . 4.(2013 年陕西 高考试题 )己知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 长为 8. ( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )已知点 B(),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P、 Q.若 x 轴是 角平分线 ,证明 :直线 5.(2010 年 全国 高考试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,过点 K()的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点 ,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. ( )证明 :点 F 在直线 ; ( )设 =98,求 内切圆 6.(2004 年 湖 南 高考试题 )如图 ,过抛物线 y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与 抛物线交于 A,B 两点 ,点 Q 是点 P 关于原点的对称点 . ( )设点 P 分有向线段 成的比为 ,证明 : ( ; ( )设直线 方程是 2=0,过 A、 B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线 , 求圆 C 的方程 . ( )由 |2+2p=3 p=2 抛物线 E:x; ( )由 点 A(2,m)在抛物线 m= 2 2 ,不妨设 A(2,2 2 ) 直线 AF:y=2 2 (代入 2=0 2 1 B(21 ,- 2 ) 322 - 322 =0 线 以点 A 相切的圆 ,必与直线 切 . ( )设 A(2x1,B(2x2,由 0) ( 8;抛物线过 A、 B 两点的切线分别为 y+y+yM=8; ( )假设 存在定点 Q(a,b),使 | =| | =| 22222 )()2( a(8=22121 )()2( a(8,令 a=0: 22222 )(4 (822121 )(4 (8b 8) 22222 )(4 (22121 )(4 ( 4(=4( (2+=(2+ (=( b=( )当 k=0时 ,M(2 a ,a),N(-2 a ,a),由 y =21x 和 别为 :a (a )和 a (x+2 a ); ( )设 M(x1,N(x2,P(0,b),将 y=kx+a 代入 C 得 : x1+k,4a;由 11+22 =011 +22 =0 2k+(1 21 =0 2k+(=1 b=(0,合题意 . ( )如图 ,设动圆的圆心 O1(x,y),过 1H H,则 H 为 中点 ;由 | |=| |+|=| 6=()2+x 轨迹 C 的方程 为 :x; ( )设 P(x1,Q(x2,直线 PQ:x=ty+m,代入 x 得 : y1+t,8m;由 x 轴是 角平分线 11122 2m+1)(y1+0 t(m+1)=0 m=1 直线 l 过定点 (1,0). ( )设 直线 x 轴交于点 E(),由 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 0 点 F 在直线 ; ( )由 =(1+21k)y1+4=4(1+21k)=88 k=43; 根据对称性 ,不妨设 k=43,则 直线 =0,且 3 分 圆 M 的圆心 M在 x 轴上 ;(=(x1+- 4162 2 12 = 73 直线 ;设 M