1_6354529_1.米勒问题在高考中的精彩演译

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 米勒问题在高考中的精彩演译 一类最大张角 问题 的 母题 1471 年 ,德国数学家米勒 提出 :在地球表面的什么 部位 ,一根垂直的悬杆呈现最长？ 由此 ,以 米勒 命 名 的 “米勒问题”成为世界 数学名 题 ;在我国 ,高考命题者对 米勒问题 “情有独钟” ,进 行 了精彩演译 ;一般的米勒问题如下 : 母题结构 :己知 定直线 ,M、 N 是直线 在点 O 的同一侧 ), P 是直线 点 ,则当且仅当 时 , 得最大 值 . 解 题 程序 :设过点 M、 N 的圆与直线 ,此时 M ;对于 直线 总在圆 外 ,由圆外角定理 : 当且仅当 时 , 得最大值 . 子题类型 :(1986 年全国高考 试题 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,在 y 轴的正半轴 (坐标 原点除外 )上 给定两点 A、 B,试在 x 轴的正半轴 (坐标原点除外 )上求点 C,使 得最大值 . 分析 :这是一道 最 早的“米勒问题”的高考题 ,若用米勒定理求解则可一步到位 ,轻而易举 地拿下此题 . 解析 :设 A(0,a),B(0,b),则 |a,|b,过 A、 B 两点作圆 M,使得圆 M 与 x 轴的正半轴 相切于点 C,由切割线定理 :|=| 点 C( 0);在 x 轴的正半轴 上仼取异于点 C 的点 C ,则点 C 总在圆 M 外 ,由圆外角定理 : 点 C( 0). 点评 :对 米勒问题中的两定点 M、 N 和所求点所在的定直线 l,可以取其特殊位置直接命题 ,尤其是在直角坐标平面内直接设计米勒问题 . 子题类型 :(2008 年全国 高考 试题 )设 内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 3c ( )求 值 ; ( )求 最大值 . 分析 :由 射影定理或利用正、余弦定理 易解第 ( )问 ;第 ( )问 :可以通过构造出角 化求角 最大值 ,从而利用 米勒问题 解法求解 . 解析 :( )设 外接圆 半径为 r,由 +B)=2c 与 3c 联立得 :4c,1c ; ( )作 ,则 AH=1c,BH=4c;在 取点 D,使得 H,则 53c,且 A 以 ,大 大 ;过 B、 D 两点作圆 M,使得圆 M 与 切于点 C,则大 ;由切割线定理 :D 542c ,1 最大值 =43点评 :利用三角条件包装 米勒问题 是高考常用的命题手法 ;三角条件不仅可以包装 米勒问题两定点 M、 N 和所求点所在的定直 线 l,而且还可隐含待求角 . 子题类型 :(2005 年 浙江 高考 理科 试题 )如图 ,已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点 2 在 x 轴上 ,长轴 长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为M,|2:1. ( )求椭圆的 方程 ; ( )若直线 l1:x=m(|m|1),P为 使 记为 Q, 求点 Q 的坐标 (用 m 表示 ). 分析 :由 已知 易解第 ( )问 ;第 ( )问 是典型的 米勒问题 . 解析 :( )设 椭圆的 长 、 短半轴长分别为 a、 b,半焦距为 c,由 |4,|2:1 2a=4,(2:1 a=2,c=1 椭圆的 方程 :42x+32y=1; ( )过 ,使得圆 T 与 直线 ,由任意点 P 都不在 圆 T 内和 由圆外角定理 知 , 点 Q 符合题意 ;设 N(m,0),由切割线定理 :|=| |(m+1)=| 12m 点 Q(m, 12m ). 点评 :由于二次曲线中有许多特征点和线 ,以这些特征点和线为基础可以构造许多有意义的 米勒 问题 ,同时可以得到一系列有趣的结论 . 1.(1984 年西安市中学生数学竞赛 试题 )如图 ,在直线 求点 P,使 P 对线段 最大视角 , 证明你的结论 . 2.(2000 年 第 十一 届“希望杯”全国数学邀请赛 试题 )已知 定点 A(1,1),B(3,3),点 P 在 x 轴上运动 ,当 大时 ,点 . 3.(2004 年全国高中数学联合竞赛试题 )在平面直角坐标系 ,给定两点 M()和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动 ,当 最大值时 ,点 P 的横坐标为 . 4.(2005 年 天津 高考 试题 )某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔 , 如图所示 ,塔高 0(米 ),塔所在的山高 20(米 ),00(米 ),图中 所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上 ,l 与水平地面的夹角为 , 观看塔的视角 大 (不计 此人的身高 ). 5.(2010 年 江苏 高考 试题 )某兴趣小组测量电视塔 高度 H(单位 :m),如示意图 ,垂直放置的标杆 高度 h=4m,仰角 , . ( )该小组已经测得一组、 的值 ,据此算出 H 的值 ; ( )该小组分析若干测得的数据后 ,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 :m), 使与 之差较大 ,可以提高测量精确度 25m,试问 d 为多 少时 , 6.(2000 年 第 十一 届 “ 希望杯 ” 全国数学邀请赛 (高 二 )试题 ) ,的高为 4,则 最小值 是 . 7.(2006 年全国高中数学联赛四川初 赛试题 )若 ,2,上的高 ,hb,A,上的高 ,则乘积 . 8.(2005 年 浙江 高考 文科 试题 )如图 ,已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点 2在 x 轴上 , 长轴 ,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,| 2:1. ( )求椭圆的方程 ; ( )若点 P 在直线 l 上运动 ,求 9.(2001 年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 题 )点 2y=1 准线上的动点 ,椭圆 长 轴 两个顶点为 E,F,求 最大值 . 10.(2006 年全国高中数学联赛试题 )已知椭圆162x+42y=1的左右焦点是 E,F,点 l: y+8+2 3 =0上 ,当 ,比| | . 过 M、 N 两点作圆 O,使得圆 P 与 直线 切于点 P;在 直线 仼取异于点 P 的点 Q,则点 Q 总在圆 O 外 ,由圆外角定理 : 点 P 即为所求 . 经过 A、 圆 Q,使得圆 Q与 切于点 P,因直线 ,由切割 线定理 :|=|6 | 6 点 P 的横坐标是 6 . 经过 M、 N 两点 作 圆 Q,使得圆 Q 与 x 轴 相切于点 P,因直线 MN:y=x+3 与 x 轴 交于点 T() |16,由切割线定理 :|=|16 |4 P(1,0) 点 P 的横坐标为 1. 建立如图所示平面直角坐标系 ,则 A(200,0),B(0,220),C(0,300),直线 l:y=21( 设 直线 l 与 y 轴交于 点 Q(0,经过 B、 C 两点 作 圆 M,使得圆 M 与 直线 l 相切于点 R, 由任意点 P 都不在 圆 M 内和 由圆外角定理 知 , 点 R 符合题意 ;由切割线定理 : |=|320 400;设 R(t,21(,由 |=320 400 21t)2=320 400 t=320 此人距水平地面 的距离 =21(60(米 ). ( )由 H= 理 可得 :D=由 DH= h=124; ( )由 以 , 大 ;经过 B、 D 两点 作 圆 M,使得圆 M 与 直线 切于点 E,对 直线 任意点 圆外角定理 知 , 点 由 D=E BD= 又由 切割线定理 :B d= )( =55 5 . 由 211 6 4 直线 l 得 直线 C 的距 离 为 4,过 点 B, O,与 直线 ,此时 , 且 524 25. 由 6 hb=hc= =9621A =96 直线 l 得 为 8,过 点 B, O,与 直线 ,此时 , 且 524 6962524=252304. ( )设 椭圆的 长 、 短半轴长分别为 a、 b,半焦距为 c,由 |4,|2:1 2a=4,(2:1 a=2,c=1 椭圆的 方程 :42x+32y=1; ( )过 ,使得圆 T 与 直线 l 相切于点 Q,由任意点 P 都不在 圆 T 内和 由圆外角定理 知 , 点 Q 符合题意 ;由切割线定理 :|=| |15 | 15 点 Q,即 点 P( 15 );设 , ,则 315,515 =1515. 设 M(),由 E(),F(2,0),过 E、 F 两点作圆 T,使得圆 T 与 准线 l:x=切于点 Q, 由任意点 P 都不在 圆 T 内和 由圆外角定理 知 , 点 Q 符