1_6354464_17.“鳖臑”与“阳马”联袂在高考中

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 “鳖 臑 ”与“阳马”联袂在高考中 寻找鳖 臑 ,构造巧解 “鳖臑”与“阳马”具有密切的联系 ,“阳马”中存在“鳖臑” ,“鳖臑”与“阳马”联袂在高考中成为一道亮丽的风景线 阳马”中存在 的 “鳖臑” ,可以获得巧解 . 母题结构 :如图 ,四棱锥 ,底面 矩形 ,面 E E, F,则 :( )四面体 四个面均为直角三角形 ,即 00, 00; ( )四面体 四个面均为直角三角形 ,即 00, 00. 母题 解 析 :( )由 面 D D 在 矩形 ,平面 00,同理可证 : 00; ( )由 面 在 矩形 ,平面 平面 F, 平面 00,同理可证 : 00. 1.“鳖臑”与“阳马”的关系 子题类型 :(2015 年 湖北 高考 理科 试题 )九章算术中 ,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在阳马 侧棱 底面 D,过棱 ,作 点 F,连接 F,E. ( )证明 :面 判断四面体 否为鳖臑 ,若是 , 写出其每个面的直角 (只需写 出结论 );若不是 ,说明理由 ; ( )若面 面 成二面角的大小为3,求 解析 :( )由 面 矩形 ,平面 由 D,E 是 中点 面 面 面体 鳖臑 ,其中 , 00; ( )由 面 面角 3 3 2. 点评 :本题是直接考查“鳖 臑 ”与“阳马”关系的第一题 ,利用“鳖 臑 ”解决“阳马”中的问题是本题的基本思想 . 2.“鳖 臑 ”与“阳马”的 包装 子题类型 :(2009 年 江西 高考 理科 试题 )在四棱锥 ,底面 矩形 ,面 A=,C 的中点 O 为球心、 直径的球面交 点 M,交 点 N. ( )求证 :平面 面 ( )求直线 平面 成的角的大小 ; ( )求点 N 到平面 距离 . 解析 :( )由 所作球面的 直径 C,又由 平面 平面 平面 面 ( )由 平面 D 2 , 3 6 ;设 h,由 2 6 h=8 h=362,设直线 平面 成的角为 ,则 6. ( )由 C=5:9 点 N 到平面 距离 =点 P 到平面 离 的95=点 D 到平面 离的95=27610. 点评 :认识到四面体 鳖 臑 是妙解本题的关键 ,掌握“阳马”中的“鳖 臑 ”是解决“阳马”问题的 绝妙方法 . 构造巧解 子题类型 :(2012 年课标高考试题 )如图 ,直 三棱柱 C=21D 是棱 ( )证明 : ( )求二面角 小 . 解析 :( )在矩形 由 1 是棱 由 面 ( )由 C 面 四面体 作 ,则 1设 a,则 32a 2a 二面角 小 =6. 点评 :认识到四面体 是妙解本题的关键 ,寻找或构造 鳖 臑 ,是巧解有关问 题 的一个有力方法 . 1.(2015 年 湖北 高考 文科 试题 )九章算术中 ,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 所示的 阳马 ,侧棱 底面 D,点 E 是 中点 ,连接 D,( )证明 :平面 判断 四面体 否为 鳖臑 ,若是 ,写出其每个面的直角 (只需 写出结论 ); 若不是 ,请说明理由 ; ( )记 阳马 体积为 面体 体积为 21值 . 2.(2009 年 江西 高考 文科 试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 矩形 ,面 A=,D 的中点 O 为球心 、 直径的球面交 点 M. ( )求证 :平面 面 ( )求直线 平面 成的角 ; ( )求点 O 到平面 距离 . 3.(2004 年 天津 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 正方形 ,侧棱 面 D= 是 中点 ,作 点 F. ( )证明 :平面 ( )证明 :面 ( )求二面角 大小 . 4.(2014 年 湖 南 高考试题 )如图 ,已知二面角 00,菱形 面内 , A,B 两点在棱 , 00,E 是 中点 , ,垂足为 O. ( )证明 :面 ( )求异面直线 D 所成角的余弦值 . ( )由 面 矩形 ,平面 由 D,E 是 中点 面 )设 D=a,AD=b,则 12=12114. ( )略 ;( )直线 平面 成角的 正切值 =2 2 ;(