1_6354040_8.圆锥曲线的通径公式和性质

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 281 中国 高考数学母题 (第 091 号 ) 圆锥曲线的通径公式和性质 过圆锥曲线的焦点且垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 ,通径 是 圆锥曲线 特殊 的 焦点 弦 ,通径 不仅有 统一 的 公式 ,而且还有其绝妙 性质 . 母题结构 :( )(公式 ) 抛物线的通径长 =2p; 椭圆、 双曲线的通径长 =2( )(性质 ) 通径是圆锥曲线最短的焦点弦 ; 点 的准线 与其对称轴的交点 ,过点 的两条切线 ,切点分别为 A,B,则切点弦 曲线 C 的通径 ,且切线 |e(e 是曲线 C 的离心率 ). 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年 高考 课 标 试题 )已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 ,且与 C 的对称轴垂直 ,l 与 C 交于 A,B 两点 ,|12,P 为 C 的准线上一点 ,则 面积为 ( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48 解析 :由 |2p=12 p=6 面积 =C). 点评 :关于 抛物线抛物线 C:px(p0)的通径 : 通径长 =2p; 通径 端点 A(2p,p),B(2p, 抛物线 点 处的切线过 点 (). 同 类 试题 : 1.(1992 年 全 国 高考试题 )圆心在抛物线 x 上 ,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( ) (A)x2+ (B)x2+y2+=0 (C)x2+=0 (D)x2+1=0 2.(2004 年 全国 高考试题 )设抛物线 x 的准线与 x 轴交于 点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 ,则直线 l 的斜率的取值范围是 ( ) (A)1 (B) (C) (D) 子题类型 :(2016 年 高考 全国 丙 卷 试 题 )已知 O 为坐标原点 ,F 是椭圆 C:222(ab0)的左焦点 ,A,B 分别为 右顶点 且 过点 ,与 M 经过 则 C 的离心率为 ( ) (A)31(B)21(C)32(D)43解析 :设 E(0,m),由 | |a ( ;由 | | |( a ( =( e=A). 点评 :椭圆 、 双曲线的通 半 径长 具有统一公 式 = 是 椭圆 或 双曲线 上一点 ,则 点在 同 类 试题 : 3.(2013 年 高考 课 标 试题 )设椭 圆 C:222(ab0)的左、右焦点分别为 是 C 上的点 00, 282 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 则 C 的离心率为 ( ) (A)63(B)31(C)21(D)334.(2015 年 高考 课 标 试题 )已知椭圆 离心率为21,:x 的焦点重合 ,A,准线与 E 的两个 交 点 ,则 |( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 子题类型 :(1993 年 第四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )2是双曲线 的左、右焦点 ,A,B 两点在右支上 ,且与 则 |最小值 是 . 解析 :由 |2a,|2a |4a+| 4a+ 径长 )=3314. 点评 :通径是圆锥曲线最短的焦点弦 性质 ,对双曲线该性质 只有在 弦 的 两 端点在同一支时成立 ,当 弦 的两 端点在 两 支时 ,焦点弦 长 的 最小值为 2a,故 双曲线 的焦点弦 长 的 最小值 =a, 同 类 试题 : 5.(2016 年 山东 高考试题 )已知双曲线 222=1(a0,b0),若矩形 四个顶点在 E 上 ,中点为 E 的两个焦点 ,且 2|3|则 . 6.(1997 年全国 高中数学 联赛试题 )过双曲线1222 l 交双曲线于 A、 B 两点 ,若实数使得 |的直线恰有 3 条 ,则 = . 7.(2014 年辽宁高考试题 )已知点 A()在抛物线 C:过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 斜率为 ( ) (A)21(B)32(C)43(D)348.(2005 年上海高考试题 )过抛物线 x 的焦点作一直线与抛物线交于 A、 B 两点 ,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 ( ) (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 9.(2013年 全国 高考试题 )已知 1,0),0)是 椭圆的 两个焦点 ,过 线交 ,且 |3, 则 C 的方程为 ( ) (A)22x+ (B)32x+22y=1 (C)42x+32y=1 (D)52x+42y=1 10.(2013 年 四川 高考试题 )从椭圆222(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线 ,垂足恰为左焦点 是椭圆与 x 轴正半轴的交点 ,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 ,且 是坐标原点 ),则该椭圆的离心率是 . 11.(2014 年 江 西 高考试题 )设椭圆222(ab0)的左右焦点为 2,过 x 轴的垂线与 C 交于 A,B 两点 , ,若 椭圆 C 的离心率等于 . 12.(2012年 山东 春招 试题 )已知椭圆252x+202y=1的左焦点是 焦点是 如果线段 那么 |于 ( ) (A)3:2 (B)2:3 (C)9:1 (D)1:9 13.(2014 年 安徽 高考试题 )设 :2(0b0)的离心率为 e,则直线 l:y=ex+a 与椭圆 C 的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0,或 1,或 2 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 283 15.(2006 年山东高考试题 )在给定的双曲线中 ,过焦点且垂直于实 轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为 ( ) (A)22(B)2 (C) 2 (D)2 2 16.(2011 年 课标 高考试题 )设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 ,且与 C 的一条对称轴垂直 ,l 与 C 交于 A,B 两点 ,| C 的实轴长的 2 倍 ,则 C 的离心率为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 17.(2005 年 浙 江 高考试题 )过双曲线22(a0,b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、 N 两点 ,以 则双曲线的离心率等于 . 18.(2008 年 陕 西 高考试题 )双曲线22(a0,b0)的左、右焦点分别是 角为 300的直线交双曲线右支于 M 点 ,若 x 轴 ,则双曲线的离心率为 ( ) (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D)3319.(2012 年 重庆 高考试题 )设 P 为直线 y=双曲线 :22(a0,b0)左支的交点 ,x 轴 ,则双曲线的离心率 e= . 20.(2005 年全国 高考试题 )己知双曲线136 22 焦点分别为 M 在双曲线上 ,且 x 轴 ,则 . 由 圆与 准线 相切 圆的 半 径 =p=1;又由 圆与 x 轴相切 圆 心在通 径端点 (21,1) 圆 :(+(=D). 过 点 Q()作抛物线 C 的两条切线 、 B 为切点 ,则切点弦 y=4( x=2 恰是 抛物线 C 的通径 A(2,4),B(2, ,1 直线 l 的斜率 k C). 由 |2|3a e=D). 设 椭圆 E:222,则 c=2,1 a=4 2 |B). 由 |2cc e=2. 由 右支内最短的焦点弦 =,与左、右两支相交的焦点弦长 2a=2,由对称性 ,故 =4 . 由 F(2,0) 43;又由 (D). 由 |xA+=72p=B). 由 c=1, 2 a=2 C). 由 a:b=c:b=c e=22. 由 A(c,B(c, D(0, 由 e=33. 由 |4 |10 |3:A). 由 A(c,a=1);又由 |3| B(32b),代入 E:2 得 :25c2+ 2 椭圆 E:32y=1. 284 备战高考数学的一条捷径 手段 2017年课标高考 母题 由 直线 l 是 椭圆 C 在通径端点 处的切线 (B). 由 22 ,1 e= 2 C). 由 2a e= 3 B). 由c+a e=2. 由 | 00 |2|又 由 |2aa e= 3 B). 由3b=c e=423. 由 |26 |265;又 由 d| d=56. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 281 中国 高考数学母题 (第 091 号 ) 圆锥曲线的通径公式和性质 过圆锥曲线的焦点且垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 ,通径 是 圆锥曲线 特殊 的 焦点 弦 ,通径 不仅有 统一 的 公式 ,而且还有其绝妙 性质 . 母题结构 :( )(公式 )抛物线的通径长 =2p;椭圆、 双曲线的通径长 =2( )(性质 ) 通径是圆锥曲线最短的焦点弦 ; 点 与其对称轴的交点 ,过点 的两条切线 ,切点分别为 A,B,则切点弦 曲线 C 的通径 ,且切线 B 的斜率 |e(e 是曲线 C 的离心率 ). 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年 高考 课 标 试题 )已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 ,且与 C 的对称轴垂直 ,l 与 C 交于 A,B 两点 ,|12,P 为 C 的准线上一点 ,则 面积为 ( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48 解析 :由 |2p=12 p=6 面积 =C). 点评 :关于 抛物线抛物线 C:px(p0)的通径 : 通径长 =2p; 通径 端点 A(2p,p),B(2p, 抛物线 点 处的切线过 点 (). 同 类 试题 : 1.(1992 年 全 国 高考试题 )圆心在抛物线 x 上 ,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( ) (A)x2+ (B)x2+y2+=0 (C)x2+=0 (D)x2+1=0 2.(2004 年 全 国 高考试题 )设抛物线 x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 ,则直线 l 的斜率的取值范围是 ( ) (A)1 (B) (C) (D) 子题类型 :(2016 年 高考 全国 丙 卷 试 题 )已知 O 为坐标原点 ,F 是椭圆 C:222(ab0)的左焦点 ,A,B 分别为 右顶点 且 过点 ,与 M 经过 则 C 的离心率为 ( ) (A)31(B)21(C)32(D)43解析 :设 E(0,m),由 | |a ( ;由 | | |( a ( =( e=A). 点评 :椭圆 、 双曲线的通 半 径长 具有统一公 式 = 是 椭圆 或 双曲线 上一点 ,则 点在 同 类 试题 : 3.(2013 年 高考 课 标 试题 )设椭圆 C:222(ab0)的左、右焦点分别为 是 C 上的点 00, 282 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 则 C 的离心率为 ( ) (A)63(B)31(C)21(D)334.(2015 年 高考 课 标 试题 )已知椭圆 离心率为21,:x 的焦点重合 ,A,准线与 E 的两个 交 点 ,则 |( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 子题类型 :(1993 年 第四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )2是双曲线 的左、右焦点 ,A,B 两点在右支上 ,且与 则 |最小值 是 . 解析 :由 |2a,|2a |4a+| 4a+径长 )=3314. 点评 :通径是圆锥曲线最短的焦点弦 性质 ,对双曲线该性质 只有在 弦 的 两 端点在同一支时成立 ,当 弦 的两 端点在 两 支时 ,焦点弦 长 的 最小值为 2a,故 双曲线 的焦点弦 长 的 最小值 =a, 同 类 试题 : 5.(2016 年 山东 高考试题 )已知双曲线 222=1(a0,b0),若矩形 四个顶点在 E 上 ,中点为 E 的两个焦点 ,且 2|3|则 . 6.(1997 年全国 高中数学 联赛试题 )过双曲线1222 l 交双曲线于 A、 B 两点 ,若实数使得 |的直线恰有 3 条 ,则 = . 7.(2014 年辽宁高考试题 )已知点 A()在抛物线 C:过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 斜率为 ( ) (A)21(B)32(C)43(D)348.(2005 年上海高考试题 )过抛物线 x 的焦点作一直线与抛物线交于 A、 B 两点 ,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 ( ) (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 9.(2013年 全国 高考试题 )已知 1,0),0)是 椭圆的 两个焦点 ,过 线交 ,且 |3, 则 C 的方程为 ( ) (A)22x+ (B)32x+22y=1 (C)42x+32y=1 (D)52x+42y=1 10.(2013 年 四川 高考试题 )从椭圆222(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线 ,垂足恰为左焦点 是椭圆与 x 轴正半轴的交点 ,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 ,且 是坐标 原点 ),则该椭圆的离心率是 . 11.(2014 年 江 西 高考试题 )设椭圆222(ab0)的左右焦点为 2,过 x 轴的垂线与 C 交于 A,B 两点 , ,若 椭圆 C 的离心率等于 . 12.(2012年 山东 春招 试题 )已知椭圆252x+202y=1的左焦点是 焦点是 ,如果线段 那么 |于 ( ) (A)3:2 (B)2:3 (C)9:1 (D)1:9 13.(2014 年 安徽 高考试题 )设 :2(0b0)的离心率为 e,则直线 l:y=ex+a 与椭圆 C 的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0,或 1,或 2 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 283 15.(2006 年 山东高考试题 )在给定的双曲线中 ,过焦点且垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为 ( ) (A)22(B)2 (C) 2 (D)2 2 16.(2011 年 课标 高考试题 )设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点 ,且与 C 的一条对称轴垂直 ,l 与 C 交于 A,B 两点 ,| C 的实轴长的 2 倍 ,则 C 的离心率为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 17.(2005 年 浙 江 高考试题 )过双曲线22(a0,b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、 N 两点 ,以 则双曲线的离心率等于 . 18.(2008 年 陕 西 高考试题 )双曲线22(a0,b0)的左、右焦点分别是 00的直线交双曲线右支于 M 点 ,若 x 轴 ,则双曲线的离心率为 ( ) (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D)3319.(2012 年 重庆 高考试题 )设 P 为直线