2009 上海理工大学专升本入学测试《高等数学》习题

2009 上海理工大学专升本入学考试高等数学试题考生类别（文、理）一、选择题（每题 3 分，共 15 分）1. _C_。xx12limA. 0 B. C. 不存在 D. 21e2. 两个无穷大的和一定是_D_ 。A. 无穷大量 B. 常数 C. 没有极限 D. 上述都不对3. 在抛物线 上过_D_点的切线与抛物线上横坐标为 和 的两2xy 1x32点连线平行。A. B. C. D. )1,()9,3()0,()4,2(4. 在下列函数中，在 上满足罗尔定理条件的是_C_。1,A. B. C. D. xe|lnx21x21x5. 是 的_ A _。0f1si)(A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点二、填空题（每空 3 分，共 15 分）1. _1_20|1|dx2. 在 上连续是 在 上可积的_充分_条件。)(f,ba)(xf,ba3. 方程 是_三_阶微分方程。yxysin2434. 平行于向量 的单位向量是_ 和 _。6,7m16,716,75. 若直线 是抛物线 在某点处的法线，则 _ _。bxy2xyb43三、计算题（每题 6 分，共 36 分）1. xdtxcos1)ln(im20原式= 42limil00 xx2. 设 ，求ln93arcsin2ydyxxxdy 22931arcsi3. 设 ，且 有二阶连续偏导数，求 和)sin,(2yexfux),(vuf yuxco(21fyfx212 syfefxyux )sin2(coscsin12121 yefxfyeyfeff xxxx 化简略。4. 设 ，求yxe2)(d设 yxF2)(,yxyxed)(5. xln1原式= Cxxxdxd 2ln1llnlnl6. 求微分方程 的通解。xey265解： 3,02rr齐通解：xxecy21非齐一个特解： 代入原方程 ，a*1a通解 xxecey321四、 （8 分）：求过点 且通过直线 的平面方程。),(P12354:zyxL思路：在直线找一点 ，作 得平面的法向量，由点法式方程即得。0,341SP1五（8 分）：求函数 在区间 上最大值和最小值。xxy234,解： 0)1(6162 xy 2,1x由 比较，得4),(,)(ff 2)(min32ma xxfx六（8 分）：设 在 上连续，在 内可导，且 ，记)(f1,0)1,0( 0)1(f。证明：至少存在一点 使得 。axM,0(M2证明：设 （若 ，则 显证）)(,00Mxf )xf在 满足 Lagrange 定理条件,x00101 )()(),( xfxfff在 上同样 ,0x),(02 0021)()(1)(xfff )(10ffM)(20fxfM)(2210fxx讨论：当 )()(21ff则 )()(1()(2 1100200 ffxfxfxxM当 )()(21ff则 )()()( 220202010 ffxfxfxx 证毕。七（每题 5 分，共 10 分，文科类考生必做）：1. 设 ，其中 二阶连续可导，求 。)(2yxfz)(uf yxz2fyfxzf 4)2(22. 21|dxe原式= 212212121| xxxx ededee 2e八（每题 5 分，共 10 分，理工类考生必做）：1. 计算 xdysin10原式 10101010210 cossinsi)(sin)(i2 ydydydyyyiicocoscos 101010 2. 计算 ，其中 D 由曲线 在第