解三角形的进一步讨论

11.1.3 解三角形的进一步讨论朱 亮（一）教学目标 1知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联 系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。（二）教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有 两解 或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。（三）学 法与教学用具学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。教学用具：教学多媒体设备（四）教学设想创设情景思考：在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形。2acm5b013A（由学生阅读课本第 9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的 对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。探索研究例 1在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况来源:学+科+网,abA分析：先由 可进一步求出 B；siniB2则 018()CAB从而 sinac1当 A 为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。ab2当 A 为锐角时，如果 ，那么只有一解；ab如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 ，则有两解 ；sinA（2）若 ，则只有一解；X k B 1 . c o miab（3）若 ，则无解。i（以上解答过程详见课本第 9 10 页）:评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对 角解三角形时，只 有当 A 为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sinbAa随堂练习 1（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。80a1b045A（2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2cC（3）在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，axmb045B求 x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，判断 ABC 的类型。7a5b3c分析：由余弦定理可知w w w .x k b 1.c o m22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角cab是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角 是 锐 角 三 角 形3解： ，即 ，227532abc 。ABC是 钝 角 三 角 形随堂练习 2（1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC 的类型。 来源:学+科+网sin:isi1:23ABC（2）已知 ABC 满足条件 ，判断 ABC 的类型。 coab（答案：（1） ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）C是 钝 角 三 角 形例 3在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值 X k b 1 . c o m06A1b3sinisinabcABC分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理1iii22SaCsiniabABsincCisinibcAB解：由 得 ，13i2S2则 =3，即 ， 新|课 | 标|第 |一| 网2cosaba从而 siniinABC2iA随堂练习 3（1）在 ABC 中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C5a16b203S（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C24abc（答案：（1） 或 ；（2） ）x k b 1 . c o m061045课堂小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。4（五）评价设计（课时 作业）（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。4b10c03B（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x