电磁学课后习题答案

第五章 静 电 场5 9 若电荷Q均匀地分布在长为 L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 204LrQE(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 20421r若棒为无限长(即L)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dqQ dx/L，它在点P的电场强度为 rqeE20d41整个带电体在点P的电场强度 d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同， LEid(2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是 Lyjjdsind证 (1)延长线上一点P的电场强度 ，利用几何关系 rrx统一积分变量，LqE20d则电场强度的方向 200220 412/14d4 LrQrrQxrLE/-P 沿x轴.(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E的方向沿y轴，大小为 rqLd4sin20利用几何关系 sin r/r， 统一积分变量，则2xr203/220 4141LrQEL/- 当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P 点电场强度rrl022 /1im此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同图(B).这说明只要满足r2/L2 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 14 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即 SdsE方法2：作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理01d0qSE这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而 SSd解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 SSE依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向， R22cos解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为 rEeeesinincosrRSdd2ERSS2002sinii5 17 设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为 Rrk 0k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.分析 通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有 2S4drE根据高斯定理 ，可解得电场强度的分布.Vd10SE(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为 ，每个带电球壳在壳内激发的电场 ，而在球壳rq42 0dE外激发的电场 rqeE204d由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 RrrRr d0E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理得球体内(0rR)Vd0SE40022d414rkkrrEre02球体外(rR) 40022d414rkkrrERre02解2 将带电球分割成球壳，球壳带电 rkVqd4d2由上述分析，球体内(0rR) rrr keE02201球体外(rR) rrRkRrkr e2020 4d415 20 一个内外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，总电荷为Q 1，球壳外同心罩一个半径为R 3的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而.在确定高斯面内的电荷 后，利用高斯定理 即可求24drESq0/dqSE出电场强度的分布.解 取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 02/4rErR 1，该高斯面内无电荷， ，故0q1R1rR 2，高斯面内电荷 312RQ故 2312024rER2rR 3，高斯面内电荷为Q 1，故 2013rQrR 3，高斯面内电荷为Q 1 Q2，故 2014rE电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴rR 3的带电球面两侧，电场强度的跃变量 02334RQE这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时， E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.5 21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2R 1)，单位长度上的电荷为.求离轴线为r处的电场强度：(1)rR 1，(2) R 1rR 2，(3)rR 2.分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且 ，求出不同半径高斯面内rLEd2S的电荷 .即可解得各区域电场的分布.q解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 0/2qrLErR 1， 01E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R1rR 2， Lqr02rR 2， q3E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变002rLE这与520题分析讨论的结果一致.5 22 如图所示，有三个点电荷Q 1、Q 2、Q 3沿一条直线等间距分布且Q 1Q 3Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1、Q 3的情况下，将 Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义，根据Q 1、Q 3所受合力为零可求得 Q2.外力作功W应等于电场力作功W 的负值，即WW.求电场力作功的方法有两种： (1)根据功的定义，电场力作的功为 lEd02其中E是点电荷Q 1、Q 3产生的合电场强度.(2)根据电场力作功与电势能差的关系，有 0202VQW其中V 0是Q 1、Q 3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).解1 由题意Q 1所受的合力为零 24031201 dd解得 Q32由点电荷电场的叠加，Q 1、Q 3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为 2/32031ydEy将Q 2从点O沿y 轴移到无穷远处， (沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为 dQydQQWy022/320002 841dl解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时 ，并由电势412的叠加得Q 1、Q 3在点O的电势 dQdV0030124将Q 2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功 dW0228比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.5 23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为 reE02为电荷线密度.(1)求在rr 1和rr 2两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明.解 (1)由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有 12012lndrUrE(2)不能.严格地讲，电场强度 只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷re0分布在无限空间，r处的电势应与直线上的电势相等.5 27 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2，各自带有电荷Q 1和Q 2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)两球面间的电势差为多少？分析 通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由 可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势.一pVlEd个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为rQV04在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势 R04其中R是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1)由高斯定理可求得电场分布 22013121 4 0RrQreE由电势 可求得各区域的电势分布.rVld当rR 1时，有 2010 2011 324dd211RQVRRRrlEllE当R 1rR 2时，有 20012013224d2RQrVRrlEl当rR 2时，有 rVr02133dlE(2)两个球面间的电势差 2102124d1 RQURl解2 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即rR 1，则201014RQV若该点位于两个球面之间，即R 1rR 2，则 20014r若该点位于两个球面之外，即rR 2，则 rQV02134(2)两个球面间的电势差 20101212 4RURr第六章 静电场中的导体与电介质6 1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（ ）（A）升高 （B）降低 （C）不会发生变化 （D）无法确定分析与解 不带电