线性方程组的解法讨论毕业论文

本科生毕业论文论文题目 : 线性方程组的解法讨论作者、学号：XXX学院、年级：数学与信息科学学院 2010 级学科、专业：数学与应用数学指导教师：XXXX完成日期：2014 年 5 月 20 日曲靖师范学院教务处线性方程组的解法讨论摘 要科学技术、工程和经济领域中的一些实际问题建立数学模型时通常可以与线性方程组对应起来，因此，AX=b 的求解是科学计算的中心问题.本文介绍了线性方程组的概念及解的基本理论，针对齐次线性方程组和非齐次线性方程组，结合例题讨论了它们的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU 分解法、逆矩阵及广义逆矩阵 A法，并对每种方法的优缺点及适用性进行了分析，得出线性方程组的解法虽多，但要根据线性方程组的结构选择合适的方法，方能顺利求解的结论.关键词 ：线性方程组；高斯消元法；克拉姆法则；LU 分解法；逆矩阵 A法Discussion about the Solution of Linear System of EquationsAbstract: Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solution of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gauss elimination method, LU decomposition method, Crum method, inverse matrix and generalized inverse matrix method, and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate method according to the linear equation the form of a group, can be solved smoothly conclusions.Key words: linear System of equations； Gauss elimination method；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix；目 录1 引言 .12 文献综述 .12.1 国内外研究现状 .12.2 国内外研究现状评价 .22.3 提出问题 .23 线性方程组的概念及解的基础理论 .23.1 齐次线性方程组 .33.2 非齐次线性方程组 .64 线性方程组的解法 .94.1 高斯消元法 .94.2 用克拉默（Cramer）法则解线性方程组 .104.3 LU 分解法.114.4 逆矩阵法及广义逆矩阵 A法 .125 结论 .155.1 主要发现 .155.2 启示 .155.3 局限性 .155.4 努力方向 .15参考文献 .1601 引言求解线性方程组 AX=b 是科学计算的中心问题 1.对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐.因此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学计算中的一个重点和难点.目前，求解线性方程组的主要方法有高斯消元法 2，克拉姆法 4，广义逆矩阵 A法 3，LU 分解法 9，如何选择是大家关心的一个问题.在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程.有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组 10.随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高，使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模线性代数方程组，并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展，加之直接方法理论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如 Ax=b 的大型线性方程组.许多源于工程技术的数学问题，都可以归结为求解线性方程组.因此在各种数据处理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一.因此，找到一种行之有效的方法来解线性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率.2 文献综述2.1 国内外研究现状目前，国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一系列的成果，文献1-2中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法，文献3中漫谈了线性方程组的改革，文献4-5中系统地介绍了线性方程组的基本理论，文献6中系统地讲述了线性方程组的各种解法，文献7-10中介绍了一些线性方程组的典例1与解法，文献11中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用，文献11-12周均介绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例，文献13-14 花威谈了线性方程组在高等代数中的应用.2.2 国内外研究现状评价国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究，分别从商品利润问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多. 2.3 提出问题针对国内外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进行了综合，对线性方程组的解法作了归纳总结，弥补其中的一些不完善的地方，并例举一些具有针对性、典范性的例题.3 线性方程组的概念及解的基础理论形如 (1.1)1121221212nmmnaxaxbaxaxb 的方程组，叫做线性方程组，其中 1, 2, n代表 n 个未知量的系数，m 是方程的个数；a ij(i=1,2, ,m,j=1,2, ,n) 称为方程组的系数 bi(i=1,2, ,s)称为常数项.3.1 齐次线性方程组若方程组(1.1)中 全为 0，即12,mb21121221200nmmnaxaxaxax （1.2）形如（1.2）的方程组叫做齐次线性方程组 7.常记为矩阵形式: Ax=0其中 121212nmmnaaA 系数矩阵 的秩 . 且方程组(1.2)的解空间为 . 则可以得到下列结()ijna()Rr V论 , 这里 表示方程组(1.1)解空间的维数 9dimVAdiV定理 齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组 ，则只有零解；()rn(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是 .()rAn解的性质：记 ,0VxA(1)如果 ，那么 ； 12,12(2)如果 为任意常数，那么 .kkV(3)齐次线性方程组的通解为 , 是任意常数，其中12nrcc 12,nrc是 的一个基础解系.12,nr 0Ax例 115 解线性方程组1234123450,346,7.xx解 方法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵3124723150713646724A显然有 ，则方程组仅有零解，即 .()rn1230xx方法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即 ） （注意：方程组的个数mn不等于未知量的个数（即 ） ，不可以用行列式的方法来判断） ，从而可计算系数矩mn阵 A 的行列式： ，知方程组仅有零解，即2315327046.12340xx例 22 解线性方程组12345123450,36,54.xxx解 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵132306541142(5)3rr 1102621342()rr 0260可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为()rAn（其中 ， ， 为自由未知量）13452 ,26.xx3x45令 ， ， ，得 ；令 ， ， ，得3x4051,304150x4；令 ， ， ，得 ，于是得到原方程组的一个12,x30x451x125,6x基础解系为， ， .1201360所以，原方程组的通解为 （ ， ， ）.123Xkk12k3R例 33 求齐次线性方程组 的一个基础解系，并以该基础12340,5.xx解系表示方程组的全部解.解 将系数矩阵 化成简化阶梯形矩阵A125A132()rr 11024123()rr 210可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为()2rn（其中 , 为自由未知量）1234,0,xx23x令 ， ，得 ；令 ， ，得 ，于是得到21x314203114,0x原方程组的一个基础解系为,1021所以，原方程组的通解为 （其中 , 为任意实数）.12Xk1k2注：基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于 n-r(A).由上面的定理可知，若 是系数矩阵的行数（也即方程的个数） ， 是未知量的个mn5数，则有：（1）当 时， ，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中mn()rAn未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 ； 0A（3）当 且 时，此时系数矩阵的行列式 ，故齐次线性方程组只有零n()rA0A解；（4）当 时，此时 ，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使 “ ”.m()rn mn3.2 非齐次线性方程组1若方程组(1.1)中 不全为 0，即12,mb12122nnnaxaxb （1.3）形如（1.3）的方程组叫