天津市红桥区2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2016年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A 2x 3=0 B 2y 1=0 C x（ x+3） =0 D bx+c=0 2将一元二次方程 4x=81 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A 4， 5， 81 B 4， 5， 81 C 4， 5， 0 D 45x， 81 3下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 4关于 x 的一元二次方程 3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A m B m= C m D m 5如图，点 A， B， C 是 O 上的三点，已知 0，那么 度数是（ ） A 90 B 95 C 100 D 120 6在平面直角坐标系中，把点 P（ 3， 2）绕原点 O 顺时针旋转 180，所得到的对应点 P的坐标为（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 2） D（ 3， 2） 7函数 y= 的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 28 页） C D 8抛物线 y= x 1，经过配方化成 y=a（ x h） 2+k 的形式是（ ） A B C D 9二次函数 y=bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： x 5 4 3 2 1 0 y 4 0 2 2 0 4 下列说法正确的是（ ） A抛物线的开口向下 B当 x 3 时， y 随 x 的增大而增大 C二次函数的最小值是 2 D抛物线的对称轴是 x= 10如图，点 A、 B、 C 是圆 O 上的三点，且四边形 平行四边形， A 交圆 O 于点 F，则 于（ ） A B 15 C 20 D 11已知 关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的一个根，记 =M=（ 2b） 2，则关于 与 M 大小关系的下列说法中，正确的是（ ） A M B =M C M D无法确定 与 M 的大小 12如图，抛物线 y=bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1， 0），顶点坐标为（ 1， n），第 3 页（共 28 页） 与 y 轴的交点在（ 0， 2）、（ 0， 3）之间（包含端点）有下列结论： 当 x=3 时， y=0； 3a+b 0； 1 a ； n 4 其中正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13已知方程 00x+10=0 的两根分别为 值等于 14将二次函数 y= x+4 的图象向下平移 1 个单位后，所得图象对应函数的最大值为 15如图，将 B=25）绕点 A 顺时针方向旋转到 位置，使得点 C， A， 同一条直线上，那么旋转角等于 16某工厂实行技术改造，产量年均增长率为 x，已知 2009 年产量为 1 万件，那么 2011 年的产量 y 与 x 间的关系式为 （万件） 17如图，直线 圆 O 与 别相切于点 A 和点 B，点 M 和点 N 分别是 的动点， 移，圆 O 的半径为 1， 1=60，当 长度等于 第 4 页（共 28 页） 18如图，抛物线 y=x2+与 y 轴相交于点 A，与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点 B（点 B 在第一象限）抛物线的顶点 C 在直线 ，对称轴与 x 轴相交于点 D平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解析式为 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19用适当的方法解下列方程： （ 1） x（ x 1） =3 3x （ 2） 24x 1=0（配方法） 20如图所示， O 的直径，弦 E， C=60 求证： 等边三角形 21如图，已知抛物线 y=3 的对称轴为直线 x=1，交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于 C 点，其中 B 点的坐标为（ 3， 0） （ 1）直接写出 A 点的坐标； （ 2）求二次函数 y=3 的解析式 第 5 页（共 28 页） 22已知关于 x 的方程 2k+1） x+4（ k ） =0 （ 1）求证：无论 k 取何值，这个方程总有实数根； （ 2）若等腰三角形 一边长 a=4，另两边 b、 c 恰好是这个方程的两个根，求 周长 23如图，某市近郊有一块长为 60 米，宽为 50 米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲 广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为 a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地 （ 1）设通道的宽度为 x 米，则 a= （用含 x 的代数式表示）； （ 2）若塑胶运动场地总占地面积为 2430 平方米请问通道的宽度为多少米？ 24如图，抛物线 y= x2+2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点 M 是 x 轴上的一个动点，当 周长最小时，求点 M 的坐标 第 6 页（共 28 页） 25在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 两顶点 A、 C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点，现将正方形 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中， 交直线 y=x 于点 M， 交 x 轴于点 N（如图） （ 1）旋转过程中，当 行时，求正方形 转的角度； （ 2）试证明旋转过程中， 边 的高为定值； （ 3）折 周长为 p，在旋转过程中， p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出 p 的值 第 7 页（共 28 页） 2016年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A 2x 3=0 B 2y 1=0 C x（ x+3） =0 D bx+c=0 【考点】 一元 二次方程的定义 【分析】 利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】 解：下列方程中，关于 x 的一元二次方程是 2x 3=0， 故选 A 2将一元二次方程 4x=81 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A 4， 5， 81 B 4， 5， 81 C 4， 5， 0 D 45x， 81 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 根据一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a 0）特别要注意 a 0 的条件， a、 b、 c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可 得答案 【解答】 解：一元二次方程 4x=81 化为一般形式为 4x 81=0， 二次项系数，一次项系数，常数项 4， 5， 81， 故选： B 3下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据 轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 第 8 页（共 28 页） B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误 故选 C 4关于 x 的一元二次方程 3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A m B m= C m D m 【考点】 根的判别式 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 3x+m=0 有两个不相等的实数根， =4 3） 2 4 1 m 0， m 故选 C 5如图，点 A， B， C 是 O 上的三点，已知 0，那么 度数是（ ） A 90 B 95 C 100 D 120 【考点】 圆周角定理 【分析】 直接根据圆周角定理即可得出结论 【解答】 解： 同弧所对的圆周角与圆心角， 0， 00 故选 C 6在平面直角坐标系中，把点 P（ 3， 2）绕原点 O 顺时针旋转 180，所得到第 9 页（共 28 页） 的对应点 P的坐标为（ ） A（ 3， 2） B（ 2， 3） C（ 3， 2） D（ 3， 2） 【考点】 坐标与图形变化 【分析】 将点 P 绕原点 O 顺时 针旋转 180，实际上是求点 P 关于原点的对称点的坐标 【解答】 解：根据题意得，点 P 关于原点的对称点是点 P， P 点坐标为（ 3， 2）， 点 P的坐标（ 3， 2） 故选： D 7函数 y= 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 二次函数的图象 【分析 】 根据二次函数的开口方向，对称轴，和 y 轴的交点可得相关图象 【解答】 解： 二次项系数 a 0， 开口方向向下， 一次项系数 b=0， 对称轴为 y 轴， 常数项 c=1， 图象与 y 轴交于（ 0， 1）， 故选 B 第 10 页（共 28 页） 8抛物线 y= x 1，经过配方化成 y=a（ x h） 2+k 的形式是（ ） A B C D 【考点】 二次函数的三种形式 【分析】 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】 解： = （ 2x） 1 = （ x 1） 2 1 1 = （ x 1） 2 故选： C 9二次函数 y=bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： x 5 4 3 2 1 0 y 4 0 2 2 0 4 下列说法正确的是（ ） A抛物线的开口向下 B当 x 3 时， y 随 x 的增大而增大 C二次函数的最小值是 2 D抛物线的对称轴是 x= 【 考点】 二次函数的性质 【分析】 选出 3 点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论 【解答】 解：将点（ 4， 0）、（ 1， 0）、（ 0， 4）代入到二次函数 y=bx+ 第 11 页（共 28 页） 得： ，解得： ， 二次函数的解析式为 y=x+4 A、 a=1 0，抛物线开口向上， A 不正确； B、 = ，当 x 时， y 随 x 的增大而增大， B 不正确； C、 y=x+4= ，二次函数的最小值是 ， C 不正确； D、 = ，抛物线 的对称轴是 x= ， D 正确 故选 D 10如图，点 A、 B、 C 是圆 O 上的三点，且四边形 平行四边形， A 交圆 O 于点 F，则 于（ ） A B 15 C 20 D 【考点】 圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理 【分析】 先根据平行四边形的性质得出 C，故可得出 等边三角形，所以 0，再由 知 0， 可得出 度数，进而得出 度数，由圆周角定理即可得出结论 【解答】 解： 四边形 平行四边形， C， C， 等边三角形， 0 0， 第 12 页（共 28 页） 0 60=30， 5 故选 B 11已知 关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的一个根，记 =M=（ 2b） 2，则关于 与 M 大小关系 的下列说法中，正确的是（ ） A M B =M C M D无法确定 与 M 的大小 【考点】 根的判别式 【分析】 根据题意可以先对 M 化简，从而可以得到 M 和 的关系，本题得以解决 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的一个根， c=0， c， M=（ 2b） 2= =4a（ +a （ c） +b2= ， 故选 B 12如图 ，抛物线 y=bx+c 与 x 轴交于点 A（ 1， 0），顶点坐标为（ 1， n），与 y 轴的交点在（ 0， 2）、（ 0， 3）之间（包含端点）有下列结论： 当 x=3 时， y=0； 3a+b 0； 1 a ； n 4 其中正确的有（ ） 第 13 页（共 28 页） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线的顶点 坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为 x=1，结合抛物线的对称性及点 A 的坐标，可得出点 B 的坐标，由点 B 的坐标即可断定 正确； 由抛物线的开口向下可得出 a 0，结合抛物线对称轴为 x= =1，可得出 b= 2a，将 b= 2a 代入 3a+b 中，结合 a 0 即可得出 不正确； 由抛物线与 y 轴的交点的范围可得出 c 的取值范围，将（ 1， 0）代入抛物线解析式中，再结合 b= 2a 即可得出 a 的取值范围，从而断定 正确； 结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为 ，结合 a 的取值范围以及 c 的取值范围即可得出 n 的范围，从而断定 正确综上所述，即可得出结论 【解答】 解： 由抛物线的对称性可知： 抛物线与 x 轴的另一交点横坐标为 1 2（ 1） =3， 即点 B 的坐标为（ 3， 0）， 当 x=3 时， y=0， 正确； 抛物线开口向下， a 0 抛物线的顶点坐标为（ 1， n）， 抛物线的对称轴为 x= =1， b= 2a， 3a+b=a 0， 不正确； 抛物线与 y 轴的交点在（ 0， 2）、（ 0， 3）之间（包含端点）， 2 c 3 令 x= 1，则有 a b+c=0， 第 14 页（共 28 页） 又 b= 2a， 3a= c，即 3 3a 2， 解得： 1 a ， 正确； 抛物线的顶点坐标为（ ， ）， n= =c ， 又 b= 2a， 2 c 3， 1 a ， n=c a， n 4， 正确 综上可知：正确的结论为 故选 C 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13已知方程 00x+10=0的两根分别为 110 【考点】 根与系数的关系 【分析】 由根与系数的关系找出 x1+ 100、 x10，将代数式 x1+x1代数式，代入数据即可得出结论 【解答】 解： 方程 00x+10=0 的两根分别为 x1+ 100， x10， x2= x1+=10（ 100） =110 故答案为： 110 14将二次函数 y= x+4 的图象向下平移 1 个单位后，所得图象对应函数的最大值为 4 【考点】 二次函数图象与几何变换；二次函数的最值 【分析】 根据 “上加下减 ”的原则进行解答即可 【解答】 解： y= x+4=（ x 1） 2+5，将 该函数的图象向下平移 1 个单位后，所得图象对应函数解析式为： y=（ x 1） 2+4， 第 15 页（共 28 页） 所以该抛物线顶点坐标是（ 1， 4）， 所以所得图象对应函数的最大值为 4 故答案是： 4 15如图，将 B=25）绕点 A 顺时针方向旋转到 位置，使得点 C， A， 同一条直线上，那么旋转角等于 115 【考点】 旋转的性质 【分析】 由三角形的外角性质得出 C+ B=115，即可得出结论 【解答】 解： C， A， 同一条直线上， C=90， B=25， C+ B=115， 即旋转角等于 115 故答案为： 115 16某工厂实行技术改造，产量年均增长率为 x，已知 2009 年产量为 1 万件，那么 2011 年的产量 y 与 x 间的关系式为 y=（ 1+x） 2 （万件） 【考点】 根据实际问题列二次函数关系式 【分析】 根据产量年均增长率为 x，已知 2009 年产量为 1 万件，即可得出 2011年的产量 y 与 x 间的关系式为 y=（ 1+x） 2 【解答】 解： 某工厂实行技术改造，产量年均增长率为 x， 2009 年产量为 1 万件， 2010 年产量为： 1 （ 1+x）； 2011 年的产量 y 与 x 间的关系式为： y=1 （ 1+x） （ 1+x） =（ 1+x） 2； 即： y=（ 1+x） 2 故答案为： y=（ 1+x） 2 17如图，直线 O 与 别相切于点 A 和点 B，点 M 和点 N 分第 16 页（共 28 页） 别是 的动点， 移，圆 O 的半径为 1， 1=60，当 长度等于 或 【考点】 切线的性质；平行线的性质；平移的性质 【分析】 当 左侧与 O 相切时，连接 分 1，在 可求得 右侧与 O 相切时，连接 分 可求得 长，可求得答案 【解答】 解： 当 左侧与 O 相切时，连接 图 1， O 的切线， 分 0， ， 在 ， = ； 当 右侧与 O 相切时，连接 图 2， 第 17 页（共 28 页） 1=60， 20， 同上可知 0， 在 ， 1，解得 ； 综上可知 长度为 或 ， 故答案为： 或 18如图，抛物线 y=x2+与 y 轴相交于点 A，与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点 B（点 B 在第一象限）抛物线的顶点 C 在直线 ，对称轴与 x 轴相交于点 D平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解析式为 y=x+ 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 先求出点 A 的坐标，再根据中位线定理可得顶点 C 的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出 b 的值，再求出点 D 的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n，把点 A、 D 的坐标代入进行计算即可得解 【解答】 解： 令 x=0，则 y= ， 点 A（ 0， ）， 根据题意，点 A、 B 关于对称轴对称， 顶点 C 的纵坐标为 = ， 第 18 页（共 28 页） 即 = ， 解得 ， 3， 由图可知， 0， b 0， b= 3， 对称轴为直线 x= = ， 点 D 的坐标为（ ， 0）， 设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n， 则 ， 解得 ， 所以， y=x+ 故答案为： y=x+ 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19用适当的方法解下列方程： （ 1） x（ x 1） =3 3x （ 2） 24x 1=0（配方法） 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）将原方程移项、合并同类项即可得出（ x 1）（ x+3） 0，解之即可得出结论； （ 2）利用完全平方公式将原方程边形为 2（ x 1） 2 3=0，开方后即可得出结论 【解答】 解：（ 1） x（ x 1） =3 3x=3（ 1 x）， 移项、合并同类项，得：（ x 1）（ x+3） 0， 第 19 页（共 28 页） 解得： 3， ； （ 2） 24x 1=2（ 2x） 1=2（ x 1） 2 3=0， （ x 1） 2= ， 解得： x 1= ， + ， 20如图所示， O 的直径，弦 E， C=60 求证： 等边三角形 【考点】 圆周角定理；等边三角形的判定 【分析】 根据垂径定理求出 E，根据线段垂直平分线性质得出 D，根据圆周角定理求出 D=60，根据等边三角形判定推出即可 【解答】 证明： O 的直径， E， A， D= C=60， 等边三角形 21如图，已知抛物线 y=3 的对称轴为直线 x=1，交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于 C 点，其中 B 点的坐标为（ 3， 0） （ 1）直接写出 A 点的坐标； （ 2）求二次函数 y=3 的解析式 第 20 页（共 28 页） 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （ 1）根据抛物线的对称性直接写出点 A 的坐标； （ 2）把点 A、 B 的坐标分别代入函数解析式列出关于 a、 b 的方程组，通过解方程组来求它 们的值 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y=3 的对称轴为直线 x=1，交 x 轴于 A、 B 两点，其中 B 点的坐标为（ 3， 0）， A 点横坐标为： = 1， A 点的坐标为：（ 1， 0）； （ 2）将 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入 y=3 得： ， 解得： 故抛物线解析式为： y=2x 3 22已知关于 x 的方程 2k+1） x+4（ k ） =0 （ 1）求证：无论 k 取何值，这个方程总有实数根； （ 2）若等腰三角形 一边长 a=4，另两边 b、 c 恰好是这个方程的两个根，求 周长 【考点】 根的判别式；等腰三角形的性质 【分析】 （ 1）先计算判别式的值得到 =412k+9，配方得到 =（ 2k 3） 2，根据非负数的性质易得 0，则根据判别式的意义即可得到结论； （ 2）分类讨论：当 b=c 时，则 =（ 2k 3） 2=0，解得 k= ，然后解方程得到 b=c=2，第 21 页（共 28 页） 根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当 a=b=4 或 a=c=4 时，把 x=4代入方程可解得 k= ，则方程化为 6x+8=0，解得 ， ，所以 a=b=4，c=2 或 a=c=4， b=2，然后计算 周长 【解答】 （ 1）证明： =（ 2k+1） 2 4 4（ k ） =4k+1 16k+8， =412k+9 =（ 2k 3） 2， （ 2k 3） 2 0，即 0， 无论 k 取何值，这个方程总有实数根； （ 2）解：当 b=c 时， =（ 2k 3） 2=0，解得 k= ，方程化为 4x+4=0，解得b=c=2，而 2+2=4，故舍去； 当 a=b=4 或 a=c=4 时，把 x=4 代入方程得 16 4（ 2k+1） +4（ k ） =0，解得 k= ，方程化为 6x+8=0，解得 ， ，即 a=b=4， c=2 或 a=c=4， b=2， 所以 周长 =4+4+2=10 23如图，某市近郊有一块长为 60 米，宽为 50 米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为 a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地 （ 1）设通道的宽度为 x 米，则 a= （用含 x 的代数式表示）； （ 2）若塑胶运动场地总占地面积为 2430 平方米请问通道的宽度为多少米？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）根据通道宽度为 x 米，表示出 a 即可； 第 22 页（共 28 页） （ 2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于 x 的方程，求出方程的解即可得到结果 【解答】 解：（ 1）设通道的宽度为 x 米，则 a= ； 故答案为： （ 2）根据题意得，（ 50 2x）（ 60 3x） x =2430， 解得 ， 8（不合题意，舍去） 答：中间通道的宽度为 2 米 24如图，抛物线 y= x2+2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点 M 是 x 轴上的一个动点，当 周长最小时，求点 M 的坐标 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）把点 A 的坐标代入抛物线解析式 ，列出关于系数 b 的方程，通过解方程求得 b 的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点 D 的坐标； （ 2）利用点 A、 B、 C 的坐标来求线段 长度，得到 由勾股定理的逆定理推知 直角三角形； （ 3）