闵行区高三年级质量调研考试

1、名 姓 线号 证 考 准 级 班 封校学密闵行区年高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码答题时客观题用铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写本试卷共有道题，共页满分分，考试时间分钟考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留一 . 填空题（本大题满分分）本大题共有题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 lim 1352(2 n 1)n3n3n1关于方程 2x11 的解为32x3已知全集 UR ，集合 Py | y1 ,0 x1 ，则 eU Px设 xR ，向量

2、a(x,1) ， b(1,2) ，且 ab ，则 | ab |在 ABC 中，若A 60 ，B45 ， BC3 2 ，则 AC在极坐标系中，21(02 ) 与 =的交点的极坐标为32用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是.复数 zabi ( a、b R ，且b0)，若 z24bz 是实数，则有序实数对 (a， b) 可以是（写出一个有序实数对即可）已知关于 x 的不等式 ax 23axa2 0 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围第题图设摩天轮逆时针方向匀速旋转，分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为x2y21已知时间 t0 时，观光箱的坐标为 ( 1 ,3

3、 ) ，则当 0t 24 时（单22位：分），动点的纵坐标y 关于 t 的函数的单调递减区间是若不等式 ( xy)( a4 )16 对任意正实数 x、y 恒成立 ,则正实数 a 的最小值为 xy计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为42155、 ，在操作考试中“合格”的概率依次为2、 ，所36有考试是否合格，相互之间没有影响则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有人获得“合格证书”的概率1 / 10已知数列an，对任意的 k N*，当 n3k时， anan ；当

4、n 3k时， ann ，3那么该数列中的第个是该数列的第项sinx,x0,2对于函数 f ( x)1 f (x2), x(2,，有下列个命题：)2任取 x1、x20,，都有f ( x1 ) f ( x2 )2 恒成立； f (x)2kf ( x2k) ( k N* ) ，对于一切 x0,恒成立；函数 yf ( x)ln( x1) 有个零点；对任意 x0 ，不等式 f ( x)k 恒成立，则实数k 的取值范围是9 ,x8则其中所有真命题的序号是二 . 选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得分，否则一律得零分下列命题中，

5、 错误 的是（）（）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行（）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（）若直线 l垂直平面内的两条相交直线，则直线l必垂直平面（）垂直于同一个平面的两条直线平行已知集合 A x x23x2 0 ，Bx xa0, a 0 ,若“ x A ”是“ xB ”x2的充分非必要条件，则a 的取值范围是（）（） 0 a1（） a 2（） 1 a2（） a 1若曲线f ( x, y)0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）（） x2y 1 0（） x4 y21 0（） x2y2x x 1 0（） 3x2xy 1 0 已

6、知 等 差 数 列 a的 前 n 项 和 为 Sn ， 向 量 O Pn, Sn， OP1m, Sm，nnmOP2k , Skn、m、k N*，且 OPOP1OP2 ，则用 n、 m、 k 表k示（）（） km（） kn（） nm（） nmknkmkmnk2 / 10三 . 解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.（本题满分分）本题共有个小题，第() 小题满分分，第()小题满分分如图，在体积为3 的正三棱锥ABCD 中，BD 长为 2 3 ， E 为棱 BC 的中点，求（）异面直线 AE 与 CD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）

7、 ；（）正三棱锥ABCD 的表面积第题图.（本题满分分）本题共有个小题，第() 小题满分分，第()小题满分分如图，点、是单位圆O上的两点，点是圆O 与 x 轴的正半轴的交点，将锐角的终边 OA 按逆时针方向旋转到 OB .3（）若点的坐标为3 , 4，求 1sin 2的值；551cos 2（）用表示 BC ，并求 BC 的取值范围 .第题图.（本题满分分）本题共有个小题，第() 小题满分分，第 ()小题满分分为了寻找马航 MH370 残骸 , 我国“雪龙号” 科考船于2014 年 3 月 26 日从港口 O 出发，沿北偏东角的射线 OZ 方向航行， 而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物

8、资的小岛A ，OA300 13 海里，且 tan1 , cos2 . 现指挥部需要紧313急征调位于港口O 正东 m 海里的 B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船该船沿 BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇 经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积北S 最小时，这种补给方案最优 .东（）求 S 关于 m 的函数关系式 S(m) ；（）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第题图3 / 10（本题满分分）本题共有个小题，第() 小题满分分，第() 、 () 小题满分各分设椭圆1 的中心和抛物线2 的顶点均为原点O ， 1 、 2 的焦点均

9、在 x 轴上，过2的焦点作直线l ，与 2 交于、两点， 在1 、 2 上各取两个点， 将其坐标记录于下表中：（）求1 ，2 的标准方程；x3243（）若 l 与1 交于、两点， F0为1 的左焦点，求3S F0 ABy2 304的最小值；2S F0CD（）点 P、 Q 是 1 上的两点，且 OPOQ ，求证：112 为定值；反之，当11为此2OQ22OPOPOQ定值时， OPOQ 是否成立？请说明理由 .第题图.（本题满分分）本题共有个小题，第()小题满分分，第()小题满分分，第()小题满分分已知曲线C的方程为24x1Cy，过原点作斜率为相交，另一个交的直线和曲线点记为 P1 ，过 P1 作

10、斜率为 2 的直线与曲线 C 相交，另一个交点记为P2 ，过 P2 作斜率为4 的直线与曲线 C 相交，另一个交点记为P3 ，如此下去，一般地，过点Pn 作斜率为 2n 的直线与曲线 C 相交，另一个交点记为Pn1 ，设点 Pn ( xn ,yn ) （ nN* ）（）指出 y1 ，并求 yn 1 与 yn 的关系式（ nN *）；（）求 y2n1（ nN*）的通项公式，并指出点列P1 ， P3 ， P2 n 1 ， 向哪一点无限接近？说明理由；（）令 any2n 1y2n1 ，数列an 的前 n 项和为 Sn ，设 bn1，求所有可能的3 S1乘积 bi bj (1ij n) 的和4 n闵行

11、 区学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文理科）参考答案与评分标准4 / 10一 . 填空题 1 ； ；,1；10 ； 2 3 ； （理） (1,) 、33272( 文 )； ( 理 )、（文）；2,1 或满足 a 2b 的任意一对非零33实数对；（理）8 ,0、（文） (1,5) ；（理） 2,14 、( 文) ；（理）523 、 ( 文 )3 ；（ 2 39 ）（理） 、（文）4510二 . 选择题 ； ；三 .解答题 .解：（）过点 A 作 AO平面 BCD ，垂足为 O ，则 O 为 BCD 的中心，由 13 223 AO=3 得 AO1（理分文分）34BCDOE=1又在正三角形

12、中得2，所以 AE（理分文分）取 BD 中点 F ，连结 AF 、 EF ，故 EF CD ，所以 AEF 就是异面直线AE 与 CD 所成的角（理分文分）在 AEF 中， AE第题图AF2 ， EF3 ，（理分文分）所以 cosAEFAE 2EF 2AF 26 （理分文分）2 AE EF4所以，异面直线AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos 6 （理分文分）4（）由 AE2 可得正三棱锥ABCD 的侧面积为S 3 1BCAE3 23236（理分）22所以正三棱锥ABCD 的表面积为S 363BC 2363 3 （理分）43 ,sin4 . （分）.解：（）由已知，cos55sin 2

13、2sincos24 , cos2cos2sin 27 . （分）2425251sin 2149251cos27.（分）118()25（） 由单位圆可知 : OCOB1， COB,（分）2223OC-2 OC OB cosCOB由余弦定理得： BC+ OB11 2cos322cos3（分）5 / 10，31（分）05cos233632,2BC21,23,BC1,62 .（分）2.（）以点为原点，正北的方向为轴正方向建立直角坐标系，（分）则 直 线 的 方 程 为 y 3x， 设 点 （ ，）， 则 x0 30013sin900 ，y0 30013cos600，即（，），（分）又（，），则直线的方

14、程为： y600(xm) ，（分）900m由此得到点坐标为：(200m, 600m ) ，（分）北m700m 7001300m2东S( m)| yC700) （分）|OB |(m2m700（）由（）知 S(m)300m2300（分）m7007001300300m2m第题图（分）7001700( 111)2m2mm14002800所以当 11，即 m 1400 时， S(m) 最小，m1400（或令 tm 700 ，则 S( m)300m2300( t700)2700 21400)m700t300( tt840000，当且仅当 m1400时， S(m) 最小）征调 m1400 海里处的船只时，补

15、给方案最优. （分）解：（）-2,0，3 在椭圆上，3，-2 3，4，-4在抛物线上，3 -2x2y21,2 ： y24x. （分）1：341 d ABS F0AB（） (理 ) 设 F0到直线 l的距离为 d,AB2.S F CD1CD0d CD2F(1,0)l是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设 l ： yk( x1) , 设 A(x 1 , y1）， B(x 2 , y2）， C(x 3 , y3）， D(x 4 , y4）联 立 方 程y24x1)， 得 k 2 x2 ( 2 k24 )x k20， k0 时0 恒 成 立 .yk( x6 / 101 k 2 16

16、16k24 1 k21 k 22ABx2 x1k 2k 44 1k 2（也可用焦半径公式得：ABx1x22k2）（分）x2y21 ，得 (3+4 k 2 ) x28k2 x 4k 2120 ，0 恒成立 .联立方程43yk (x1)2212 1k2CD1 k 2x3x41k 2144144k,（分）34k 2(34k 2 )2SF0 AB4 1k 23 4k 2k 21 4 4（分）SF0CD 12 1 k 23k 2k2.3 334k 2当直线 l 的斜率不存在时，l ： x1，此时， AB 4 ， CD3 ， S F0 AB4.（分）S F0 CD3S F0 AB的最小值为4.（分）所以，

17、S F0CD3（文） F(1,0) 是抛物线的焦点，当直线l 的斜率存在时，设 l ： yk( x1), 设 A(x 1 , y1）， B(x 2 , y2），联立方程y24x22220 ， k0 时0 恒成立yk (x，得 kx(2 k4) x k1)2k 24x1x2k2， x1x21，（分）因2 准线为 x1 ，设 M (1,m)， k0m ， k1y1m ， k2y2m2x11x21k1k2kx1kmkx2km2kx1x2m(x1x2 )2k 2m4mk24mx11x21x1 x2 x1 x2 14k2m4k0 与 k1k2 的关系是 k1k22k0 .（分）当直线 l 的斜率不存在时

18、，l ： x1 ，得 A(1,2)、 B(1,2)2m2m， k1k2m ，仍然有 k1k22k0k1， k22（分）2117（）（理）证明：若、分别为长轴和短轴的端点，则.（分）OP2OQ212若、都不为长轴和短轴的端点，7 / 10设 OP : ykx; 那么 OQ : y1 x. P(x P , yP）， Q(x Q , yQ）k联立方程x2y21，解得 xP212, yP212k 2； （分）434k234k 23y kxx2y2112k212同理，联立方程4322；，解得 xQ3k2, yQ3k 2y1 x44k121212217k 277（分）OPOQ1212k12k1212k 2

19、12123 4k23 4k23k 24 3k 24反之，对于1 上的任意两点P、 Q ，当117时，OP2212OQ设 OP : yk1x ， OQ : yk2 x ，易得x212, y212k12； x212, y212k22，P4k23P4k23Q4k23Q4k231122由117得4k1234k2 237，OPOQ1212k21212221212k122即 8k12 k227k127k2267(k12k22k12k 221)，亦即 k1k21，（分）所以当1212为定值7时， OPOQ 不成立（分）OPOQ12“反之”的方法二：如果有OPOQ ，且 OQ 不在坐标轴上，作OQ 关于坐标轴

20、对称的射线与1 交于 Q ， OQOQ，显然， OPOQ 与 OPOQ 不可能同时成立（分）S F AB1 dABAB( 文) 设 F0到直线 l的距离为 d,02.S F CD1CD0d CD2F(1,0)l是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设 l ： yk( x1), 设 A(x 1 , y1）， B(x 2 , y2）， C(x 3 , y3）， D(x 4 , y4）联 立 方 程y24x, 得 k 2 x2(2k24) x k 20 ， k0 时0 恒 成 立 .yk( x1)k 22k 21616k24 1k2AB1x21x1k 2k 4（也可用焦半径公式得：A

21、Bx1x224 1k 2）（分）k28 / 10x2y21 ，得 (3+4 k 2 ) x28k2 x 4k 2120 ，0联立方程43恒成立 .yk (x 1)212 1 k2CD1k 2x3x421k 2144144k, （分）34k 2(34k 2 )2SF0 AB4 1k 23 4k 2k 214 4（分）SF0CD 12 1 k 23k 2k2.3 334k 2当直线 l 的斜率不存在时，l ： x1 ，此时， AB4 ， CD3 ， S F0 AB4.（分）S F0 CD3S F0 AB的最小值为4（分）所以，.S F0CD3. 解：（） y14 （分）yn24xn设 Pn ( xn , yn ) ， Pn1( xn 1 , yn1) ，由题意得y 2n14xn 1 （分）yn1ynnxnxn21yn1yn4 (1) n（分）2y2n 2y2n 34 ( 1) 2n 3（）分别用2n3 、2n2代换上式中的得24 (1 ) 2n 2y2n 1y2n 22y2n 1y2n 32 ( 1)2n 3 =(1)n 2(