估计有关的习题及详解.doc

1、估计基本题型 矩估计法【例7.1】总体的概率密度函数为，求未知参数的矩估计.【分析】先由题设所给含有未知参数的随机变量概率密度求出数学期望，解出未知参数与数学期望的关系，再由样本一阶原点矩替换总体期望，即得参数的矩估计.【解】为求未知参数用总体原点矩表示的式子，先求出 因而 在上式中用样本一阶原点矩替换总体一阶原点矩，即得未知参数的估计.【例7.2】设总体服从均匀分布，为来自此总体的样本，求的矩估计.【分析】由于总体的分布中含有两个未知参数，故需要求出总体的两个矩，为简单起见，一般先求其一阶矩（即总体的期望）和二阶矩（也可以取总体的方差），然后按矩估计法相应的样本矩替换它们，得矩法方程，最后求

2、解便可得到的矩估计.【解】由于总体服从均匀分布，故总体的期望和方差分别为 由矩估计法，用替换，用替换，便得矩法方程组， 即于是解出的矩估计分别为，.【例7.3】设总体的概率密度函数为，求的矩估计.【分析】由于总体的分布中只含有一个未知参数，但总体的一阶矩为常量，需要求总体的二阶矩，从而确定矩方程，最后求解的矩估计量.【解】虽然总体只含有一个参数，但 不含，不能求解故需求二阶原点矩.令，则有的矩估计量为.基本题型 极大似然估计法【例7.4】设总体具有概率密度函数，的极大似然估计量是 .【分析】设为总体的观测值，则其极大似然函数为，对数似然函数为，解似然方程得参数的极大似然估计值为，从而得参数的极

3、大似然估计量为.【例7.5】设总体的分布律为又设为来自此总体的样本，记表示中取值为，的个数，求的极大似然估计.【分析】求极大似然估计量时，关键是求似然函数，它是样本观测值的函数.【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为 对数似然函数为 从而似然方程为.得的极大似然估计量.【例7.6】设为总体的一个样本，求下列总体概率密度中的未知参数的极大似然估计,其中，为常数.【解】设是样本的观测值，则参数的似然函数为 .取对数 .对参数求偏导，令其为0，则 .显然，上式第二式不能求出参数的关系，但由定义，当固定时，要使最大，只需最大，因，则参数的似然估计值为，从而得参数的极大似然值为，故的极大似然估计量为

4、，.基本题型 评价估计量的标准（无偏性与有效性） 【例7.7】 样本取自总体，则可以作为的无偏估计的是 【 】当已知时，统计量. 当已知时，统计量.当未知时，统计量. 当未知时，统计量.【分析】当已知时， 为统计量，利用定义有.从而 ，故 .而 所以当已知时，入选，不能入选.当未知时，样本函数，均不是统计量，因而不能作为的估计量，更不能作为无偏估计量. 选. 【例7.8】设是总体的简单随机样本，则下列不是总体期望的无偏估计 【 】 . . . . 【分析】要验证统计量是否为无偏估计，即验证. ；选. 【例7.9】试证明均匀分布中未知参数的极大似然估计量不是无偏的.【分析】 涉及总体分布时，先求

5、估计量的概率密度（或分布律）.【解】设是样本的观测值，则参数似然函数为.是的一个单值递减函数.由于每一个，最大次序统计量的观测值在中要使达到极大，就要使达到最小.但不能小于，否则样本观测值就不是来自这一总母体，所以是的极大似然估计值.故最大次序统计量是参数的极大似然估计量.为要证明估计量不是的无偏估计量，需求出，为此先求的概率密度.因统计量为随机样本的最大值，而独立同分布，故的概率分布函数为，其中为总体的分布函数.由的概率密度可知 .因此从而 .即极大似然估计量不为参数的无偏估计.【例7.10】若未知参数的估计量是，若称是的无偏估计量.设是未知参数的两个无偏估计量，若则称较有效.【分析】由无偏

6、估计量和有效性的定义可得.【评注】估计量的有效性是在无偏估计类的基础上定义的，这一点也特别明确.【例7.11】设总体，为总体的一个样本，试证明和均为总体期望的无偏估计，并比较哪一个更有效. 【证明】由于 故统计量均为期望的无偏估计，又.由于，故是比更有效的估计量.【例7.12】从总体中抽取样本，设为常数，且，证明：（1）为总体均值的无偏估计； （2）在所有这些无偏估计量中，样本均值的方差最小.【分析】注意到样本相互独立，且与总体同分布，易得的无偏性及其方差，利用拉格朗日乘数法则，不难证明，当时方差最小.【证明】因为样本与总体服从相同分布，故 又，则从而为总体均值的无偏估计.设总体方差，则.又样

7、本相互独立，故 为确定的无偏估计量的方差在什么情况下最小，应当求满足条件的条件极值.为此考虑函数 ，其中为常数.求偏导数，并令它们等于零，得 （*）即 .代入,得，即代入方程（*）中，即得由此可知，当时，方差最小.【例7.13】设分别来自总体和中抽取容量为的两个独立样本，其样本方差分别为，试证：对于任意常数，都是得无偏估计，并确定常数，使最小. 【证明】由题意，.故对任意常数，都为得无偏估计.由于 ，则 ，即，故，则 对求导，并令其为零，有 解得 .又 ，故当时，达到最小值. 11、设为来自正态总体的简单随机样本，已知，.问在，中（1）那个是的无偏估计量；（2）那个比较有效；（3）那个方差最小

8、；（4）那个是的相合估计量.【分析】因为，又，故，由分布性质知.从而可求诸估计量的数学期望与方差，并回答上述问题.【解】由分析知，.且 ， ，从而（1）与为的无偏估计量；（2）比有效；（因为）；（3）， 即估计量方差最小.（4），与均为的相合估计.基本题型 评价估计量的标准（一致性） 【例7.14】 设总体的期望和方差均存在，求证：（1）样本均值是的一致估计.（2）如总体服从正态分布，则样本修正方差为的一致估计.【分析】要证明参数的估计量的一致性，关键是要证明：对任意,有.从事件对应概率的极限求解上，可以使用切比雪夫不等式，即或.【证明】（1）由切比雪夫不等式有，对 .由夹逼定理可得，即为参数

9、的一致估计量.（2）因为. ，即为的无偏估计.又样本来自正态总体，由抽样分布定律知，有从而.由切比雪夫不等式有，从而有，即为的一致估计量.【例7.15】设为的估计量（用容量为的样本），如果，则为的一致估计量. 【证明一】为证为的一致估计量，下证.而 又 故，即为的一致估计量.【证明二】由切比雪夫不等式有 .而 .由证明一知，或者用下列方法直接证明 故，即为的一致估计量.【评注】用定义验证估计量是一致估计量，一般都不太容易，可利用上例中的结论证明之，从而将统计量的一致性的证明转化为统计量的期望与方差的极限性质的论述，这是一个比较实用的证法.【例7.16】设随机变量在上服从均匀分布，由此总体中抽取

10、一随机样本，试证明：都不为的一致估计.【分析】由上例（例7.16）可知，只需论证估计量的期望和方差的极限性质.【证明】因，故为的无偏估计，且，故不为的无偏估计.为证不为的一致估计，只需证明.故不为的一致估计.【例7.17】设总体服从均匀分布，试证明：的极大似然估计为的一致估计. 【证明】 设总体的密度函数为，则，故最大次序统计量的概率密度函数为，从而且 故 由前例可知，的极大似然估计为的一致估计.基本题型 求置信区间相关题型【例7.18】设是总体中的参数，称为的置信度的置信区间，即【 】以概率包含 . 以概率落入.以概率落在之外. 以估计的范围，不正确的概率是. 【分析】由置信区间的定义可知，

11、 区间为随机区间.选. 【例7.19】设且未知，若样本容量为，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则的95%的置信区间为 【 】. . 【分析】由题意，总体，且未知，故应构造统计量，则参数的置信水平为的置信区间为.选.【例7.20】假设是总体的简单随机样本值，已知服从正态分布.（1）求的数学期望（记为）；（2）求的置信度为的置信区间；（3）利用上述结果求的置信度为的置信区间.【解】（1）的概率密度为： ，于是，（令） （2）当置信度时，.标准正态分布的水平为的分位数为.故由，可得 其中 .于是 从而就是的置信度为的置信区间. （3）由函数的严格递增性，有 因此的置信度为的置信区间为. 【例7.2

12、1】某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（单位：毫米）如下 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8设滚珠直径服从正态分布，若（1） 已知滚珠直径的标准差为毫米；（2） 未知标准差；求直径均值的置信度0.95的置信区间. 【分析】对于正态分布总体，若已知标准差时，均值的置信度的置信区间为；未知标准差时，均值的置信度的置信区间为，其中时样本的标准差.【解】（1），.经计算.故已知滚珠直径的标准差毫米时，直径的置信度0.95的置信区间为：.（2）经计算：样本标准差，查表可知，于是直径的置信度0.95的置信区间为：. 【例7.22】

13、设某糖厂用自动包装机装箱外运糖果，由以往经验知标准差为1.15kg，某日开工后在生产线上抽测9箱，测得数据如下（单位：kg）99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5（1）试估计生产线上包装机装箱糖果的期望重量的区间估计（）；（2）试求总体标准差的置信度为0.95的置信区间，并判断以前经验数据标准差为1.15kg是否仍然合理可用？【解】（1）由题设可知，总体方差为已知，根据经验数据有，当时，查表可得，故参数的置信度为0.95的置信区间为.（2）由题设可知总体均值未知，故根据经验数据有，当时，查表可得，从而参数的置信度为0.95的置信区间为，

14、故参数的置信度为0.95的置信区间为.而以往经验数据标准差为，仍然在内，故认为仍然合理可用.【例7.23】设总体服从正态分布，已知，要使总体均值对应于置信水平的置信区间的长度不大于，问应抽取多大容量的样本？【解】由于，且为已知，因此当置信水平时，均值的置信区间为，其区间长度为，于是有，即可得 .【例7.24】设总体服从正态分布，均为未知参数，为来自总体的一个随机样本，求关于的置信水平为的置信区间的长度的平方的数学期望.【解】因未知，选用统计量.得参数的置信水平为的置信区间为，其区间长度为，于是.【例7.25】在甲乙两城市进行家庭消费调查，在甲市抽取500户，平均每户每年消费支出3000元，标准

15、差为元；在乙市抽取100户，平均每户每年支出4200元，标准差为元，设两城市家庭消费支出均服从正态分布和，试求：（1）甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信区间（置信度为0.95）；（2）甲乙两城市家庭平均每户消费支出方差比的置信区间（置信度为0.90）.【解】（1）在本题中虽和均未知，但由于抽取样本都很大（在使用中只要大于50即可），故可用统计量，即参数的置信度为的置信区间为，故由，以及即，查表可得，因此即甲乙两城市家庭平均每户年消费支出间差异的置信度为0.95的置信区间为，由于此置信区间的上限小于零，在实际问题中可认为乙市家庭平均每户年消费支出要比甲市大.（2）由，即，查表可得： ，

16、 ，且于是所求的置信区间为由于置信区间上限小于1，故可认为乙市家庭平均每户年消费支出的方差要比甲市大.【例7.26】某商店销售的一种商品来自甲乙两个厂家，为考察商品性能上的差异，现从甲乙两个厂家生产产品中分别抽取了8见和9件产品，测其性能指标得到两组样本观测值，经计算得，假设性能指标均服从正态分布，试求方差比及均值差的的置信区间.【解】（1）先求方差比置信度为的置信区间.由即，查分布表可得，故所求置信区间为.由于此区间包含1，故可认为.（3）由（1）可知，未知，但，因此的置信区间为即，其中，即两个厂家生产的产品性能上无显著性差异.历年考研真题评析1、【02.3.3】 设总体的概率密度为，而是来

17、自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_.【分析】由于，因此，的矩估计量为. 2、【04.3.4】设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和 分别是来自总体和 的简单随机样本，则_. 【分析】由于； .因此， 原式.3、【97.1.5】设总体的概率密度为其中是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计值.【解】总体的数学期望为令，得参数的矩估计量为.设是相应于样本的一组观测值，则似然函数为当时，且 令，得的极大似然估计值为 .从而的极大似然估计量为.4、【99.1.6】设总体的概率密度函数为，是取自总体的简单随机样本. （1）求的矩估计量； （2

18、）求的方差.【解】（1）记，令，得的矩估计量.（2）由于因此的方差为 .5、【00.1.6】设某种元件的使用寿命的概率密度函数为，其中为未知参数，又设是的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.【解】似然函数为 当时，取对数，得 因为，所以单调增加.由于必须满足，因此当取中的最小值时，取最大值，所以的最大似然估计值为，最大似然估计量为.6、【04.1.9】 设总体的分布函数为，其中未知参数，为来自总体的简单随机样本，求（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量.【解】的概率密度函数为（1）由于令，解得，故参数的矩估计量为.（2）似然函数为当时，取对数得，两边对求导，得，令，可得，故的极大似然估计

19、量为.7、【06.1.9】设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值 中小于1的个数，求的最大似然估计. 【解】 由题意，设样本按照从小到大为序（即顺序统计量的观测值）有如下关系：似然函数为对似然函数非零部分取对数得到 ，从而，即的最大似然估计值为.【评注】本题着重考察了最大似然估计的概念和求似然估计的基本方法，本题的难点是“为样本值 中小于1的个数”的理解.8、【09.1.11】设总体的概率密度为，其中参数未知，是来自总体的简单随机样本（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量.【解】（1）由题意，从而为总体的矩估计量.（2）构造似然函数.取对数.令，

20、有，故的最大似然估计值为故其最大似然估计量为.9、【04.3.13】设随机变量的分布函数为，其中参数，设为来自总体的简单随机样本.（1）当时，求未知参数的矩估计量；（2）当时，求未知参数的最大似然估计量；（3）当时，求未知参数的最大似然估计量.【解】当时，的概率密度为（1）由于令，解得从而得未知参数的矩估计量为.（2）对于总体的样本值，似然函数为 当时，取对数得对求导数，得似然方程 解得 ，于是的最大似然估计量为.（3）当时，的概率密度为对于总体的样本值，似然函数为当时，越大，越大，即的最大似然估计值为.于是的最大似然估计量为.10、【03.1.8】设总体的概率密度函数为，其中为未知参数.从总

21、体中抽取简单随机样本，记.（1）求总体的分布函数；（2）求统计量的分布函数；（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.【解】（1）（2） （3）概率密度为 因为 所以作为的估计量不具有无偏性.11、【07.1.11】设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，是样本均值.（1）求参数的矩估计量；（2）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【解】（1） .令，其中，解方程得的矩估计量为:.(2) 而 .故所以不是的无偏估计量.12、【08.1（3）.11】设是总体的简单随机样本，记，,(1) 证是的无偏估计量；(2) 当时，求.【分析】（1）要证；（2）求时，利用与独立性

22、.【解】（1） 所以是的无偏估计量.（2）当时， .【评注】若，则.13、【03.1.4】已知一批零件的长度（单位）服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40（），则的置信度为0.95的置信区间是_.（注：标准正态分布函数值）.【分析】这是一个正态分布方差已知求期望值的置信区间问题，该类型置信区间公式为 其中由确定（），即，将及代入得到的置信度为0.95的置信区间为（39.51,40.49）.14、【05.3.13】设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记，求（1）的方差；（2）与的协方差；（3）若是的无偏估计量，求常数. 【解】由题设是简单随机样本，因此相互独立，且与总

23、体同分布，即 .（1）.（2）相互独立，所以 ；类似地， 又因为，故.（3）首先计算.由于所以 若是的无偏估计量，应满足下面等式故 .习题全解( A )1、设总体服从参数为和的二项分布，为取自的一个样本，试求参数的矩估计量与极大似然估计量.【解】由题意，的分布律为： .总体的数学期望为则.用替换即得未知参数的矩估计量为.设是相应于样本的样本值，则似然函数为取对数，.令，解得的极大似然估计值为 .从而得的极大似然估计量为 .2、设为取自总体的一个样本,的概率密度为其中参数，求的矩估计.【解】取为母体的一个样本容量为的样本，则用替换即得未知参数的矩估计量为.3、设总体的一个样本, 的概率密度为 其

24、中是未知参数，是已知常数,求的最大似然估计.【解】设为样本的一组观测值，则似然函数为取对数 .解极大似然方程，得的极大似然估计值为.4、设总体服从几何分布 试利用样本值,求参数的矩估计和最大似然估计.【解】因,用替换即得未知参数的矩估计量为.在一次取样下，样本值，即事件同时发生，由于相互独立，得联合分布律为,即得极大似然函数为取对数 解极大似然方程 得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为. 5、设总体的概率密度为为未知参数, 为总体的一样本,求参数的最大似然估计.【解】设为样本的一组观测值，则似然函数为 取对数 .解极大似然方程 .得的极大似然估计值.6、证明第5题中的最大似然估计量为

25、的无偏估计量.【证明】由第5题知的最大似然估计量为故 又 .从而 ，即是的无偏估计.7,、设总体的概率密度为,为未知参数, 为总体的一个样本,求参数的的矩估计量和最大似然估计量.【解】因用替换即得未知参数的矩估计量为，从而得未知参数的估计量为.设为样本的一组观测值，则似然函数为取对数 解极大似然方程 得的极大似然估计值.8、设总体,已知,为未知参数, 为的一个样本, 求参数,使为的无偏估计.【解】由无偏估计的定义，要使为的无偏估计，则又 由题意知总体，从而.且 由对称性有 从而有 ，即.9、设是参数的无偏估计量,且有,试证不是的无偏估计量.【证明】因为是参数的无偏估计量，故，且有即不是的无偏估

26、计量.10、设总体,是来自的样本,试证：估计量;都是的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.【证明】总体,是来自的样本，则；.即估计量都是的无偏估计.又 ；.有 ，从而估计量最有效.11、设是总体的一个样本,证明：是的相合估计量.【证明】总体，则，由样本的独立同分布性知，即是的无偏估计.又，且故 ，有，故是的相合估计量12、设总体的数学期望为,方差为,分别抽取容量为和的两个独立样本,分别为两样本均值,试证明:如果满足,则是的无偏估计量,并确定,使得最小.【解】由题意，且,分别为容量为和的两个独立样本得样本均值，故，.当时，有，即是的无偏估计量.令，由知函数的稳定点为，且，故为函数唯一极小值点.即

27、当时，最小.13、设是总体的一个样本, 的概率密度为,未知，已知,试求的置信水平为的置信区间.【解】由题意，统计量，则给定置信度为时，有由置信区间的定义知，的置信水平为的置信区间为.14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布.已知均方差小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.【解】设是母体的样本容量为的子样，则显像管平均寿命.构造统计量，则由题意，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为的置信区间为：.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差,设投资的年利润率服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水

28、平为0.95). 【解】由题意，构造统计量，则给定置信水平为，有.取，查表可得，故方差的置信度为的置信区间为.16、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.90的置信区间.【解】设是母体的样本容量为的子样，由题意知，.构造统计量，有由题意，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为的置信区间为：.17、生产一个零件所需时间(单位：秒),观察25个零件

29、的生产时间得,.试求和的置信水平为0.95的置信区间.【解】设是母体的样本容量为25的子样，由题意知，.构造统计量，则由题意，查表可得，故参数的置信度为的置信区间为：.构造统计量，则给定置信水平为，有取，查表可得，故方差的置信度为的置信区间为.18、产品的某一指标，已知，未知.现从这批产品中抽取只对该指标进行测定,问需要多大,才能以95%的可靠性保证的置信区间长度不大于0.01?【解】【由题设知，故参数的95%的置信区间为故区间长度，即 解不等式可得 ，即样本容量应该取246.19、设和两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得,若批导线的电阻服从,批导线的电阻服

30、从,求的置信水平为0.90的置信区间.【解】由题设，故的置信水平为0.90的置信区间为.20、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.【解】由题设样本计算可得，.因此,的置信水平为的置信区间为 ，（ B ）1、(02.1.7)设总体的概率分别为 0 1 2 3 其中是未知参数,利用总体的如下样本值: 3, 1, 3, 0,

31、3, 1, 2, 3求的矩估计值和最大似然估计值.【解】由题意可知总体为离散型随机变量，则总体的数学期望为有，由样本值可知，用替换即得未知参数的矩估计量，矩估计值.设是相应于样本的样本值，则似然函数为取对数 .解极大似然方程 .有，从而，又当时，矛盾，故舍去.所以的最大似然估计值2、设和是参数的两个相互独立的无偏估计量,且方差,试确定常数,使得是的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.【解】由题意，和是参数的两个相互独立的无偏估计量，则.要使得是的无偏估计量，有恒成立，即.又，相互独立，且，则令，由知函数的稳定点为，且，故线性估计类中方差最小时，.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.【解】设为取自总体的容量为的简单随机样本，为样本均值，由题意有，即 从而 ，故解得，故样本容量应该取97.同步自测题及参考答案一、选择题1、设个随机变量独立同分布，则 【 】 为的无偏估计量. 为的最大似然估计量. 为的相合估计量. 与相互独立.2、设为总体的一个简单随机样本，为使为的无偏估计，应为 【 】 . . . .3、设总体，其中已知，则总体均值的