塑性成形原理7[1]

1、第七章 应力应变关系,本构关系,塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。,6 Stresses x 6 Strains = 36 Components in relationship,9 Stresses x 9 Strains = 81 Components in relationship,7.1 弹性变形时的应力应变关系,虎克定律,广义虎克定律,E：弹性模量Youngs modulus,：泊松比,剪切模量,简记为,张量形式,比列及差比形式,Hookes law General state,矩阵形式,对于已知应力求应变，则无系数2，对于求能量时，有系数2以

2、代替省略的3 个剪应力、应变量,令,则,上式对于塑性变形时，,则,弹性变形时的应力应变关系的特点,应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.5,7.2 塑性变形时应力应变关系特点,体积不变，泊松比v=0.5 应力、应变为非线性关系 全量应变与应力主轴不一定重合 塑性变化不可逆无单值一一对应关系与加载路径有关 对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高,7.3 增量理论,又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关

3、系的理论。,1、Levy-Mises理论,材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量 材料符合Mises屈服准则 每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合 塑性变形时体积不变,1、Levy-Mises理论,材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量 材料符合Mises屈服准则 每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合 塑性变形时体积不变,0,y,应变增量与应力偏增量成正比,为瞬时的非负系数，加载时为变值，卸载时为0,Levy-Mises方程,差比形式,平面变形,2、应力应变速率方程,应力应变速率方程 ，又称为Saint-Venant塑性流动方程,3、Pr

4、andtl-Reuss理论弹塑性增量方程,总应变增量由弹、塑性两部分组成,增量理论特点,Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的差别在于前者考虑弹性变形而后者不考虑 都指出了塑性应变增量与应变偏量之间的关系 整个变形由各个瞬时变形累加而得，能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂的加载情况 卸载时仍按虎克定律求解,S,O,面,平行于S沿着屈服表面的法线方向,1,2,3,4,O,x,y,复杂加载途径,7.4 全量理论,简单加载，各应力分量按同一比例增加 小变形，和弹性变形属同一数量级 应力分量比例增加，中途不能卸载，因此加载从原点出发； 应力主轴与应变主轴重合 变形体不可

5、压缩 在上述条件下，无论变形体所处的应力状态如何，应变偏张量各分量与应力偏张量各分量成正比,初始应力状态,C 变形过程中单调增函数，理想塑性材料，c为常数,积分,汉基方程不考虑硬化，因此系数中的c为Const,则,令,由Prandtl-Reuss方程得,材料是刚塑性时1/2G=0,1924年汉基提出的,伊留辛发展了汉基理论 小变形 简单加载 刚塑性变形,塑性变形时,则有,与Mises方程，流动方程， 广义Hook定律类似。,应力应变呈单一曲线，且呈幂函数形式,7.5 卸载问题,在卸载过程中弹性变形恢复，而塑性变形保持不变。,卸载至C点的残余应力和应变为,C,B,A,B,C,BC,BC,C,B,

6、卸载应力与应变变化规律,0,加载,卸载,加载,卸载,A,C,O,O,a),b),非线形弹性体即应变硬化塑性体加载与卸载规律,a)非线形弹性体,b)应变硬化塑性体,7.6 应力应变顺序对应规律,塑性变形时，当主应力顺序,不变，且应变主轴方向,不变时，则主应变的顺序与主应力顺序相对应，即,这种规律称为应力应变顺序对应关系,顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律 其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断,中间关系,根据Levy-Mises方程,由于初始应变为零的变形过程，可视为几个阶段组成，在时间间隔t1中，应变增量为,在时间间隔t2中,在时间间隔tn中,由于主轴方向不变，各方向的应变全量（总应变）