matlab线性控制系统分析与设计

1、第6章 线性控制系统分析与设计,MATLAB具有丰富的控制系统分析和设计函数；控制系统工具箱(Control System Toolbox)可供对线性系统分析、设计和建模的各种算法。,6.1 线性系统的描述 6.2 线性系统模型之间的转换 6.3 结构框图的模型表示 6.4 线性系统的时域分析 6.5 线性系统的频域分析 6.6 线性系统的根轨迹分析 6.7 线性系统的状态空间设计,6.1 线性系统的描述,状态空间描述法 传递函数描述法 零极点描述法 离散系统的数学描述,在分析设计系统之前，需要对系统的数学模型进行描述，单变量连续的反馈系统的描述方法：,即使用状态方程模型来描述控制系统，状态方

2、程为一阶微分方程：,6.1.1状态空间描述法,例如，二阶系统,可以用状态方程描述：,语法： G=ss(a,b,c,d) %由a、b、c、d参数获得状态方程模型 G=dss(a,b,c,d,e) %由a、b、c、d、e参数获得状态方程模型,例6.1 写出二阶系统 当 时的状态方程 。,MATLAB中状态方程模型的建立使用ss和dss命令。,zeta=0.707;wn=1; A=0 1;-wn2 -2*zeta*wn; B=0;wn2; C=1 0; D=0; G=ss(A,B,C,D) %建立状态方程模型,控制系统由微分方程描述，经Laplace变换得,6.1.2 传递函数描述法,语法： G=t

3、f(num,den) %由传递函数分子分母得出 说明：num为分子向量，num=b1,b2,bm,bm+1； den为分母向量，den=1,a1,a2,an-1,an。,有理函数,MATLAB中使用tf命令来建立传递函数。,num=1; den=1 1.414 1; G=tf(num,den) %得出传递函数 Transfer function: 1 - s2 + 1.414 s + 1,6.1.3 零极点描述法,语法： G=zpk(z,p,k) %由零点、极点和增益获得 说明：z为零点列向量；p为极点列向量；k为增益。,MATLAB中使用zpk命令可以来实现由零极点得到传递函数模型。,零极点

4、形式是以实数形式表示的。, num=1; den=1 1.414 1; z=roots(num) z = Empty matrix: 0-by-1 p=roots(den) p = -0.7070 + 0.7072i -0.7070 - 0.7072i zpk(z,p,1) Zero/pole/gain: 1 - (s2 + 1.414s + 1), a=1 5 6; b=1 1; p=roots(a) p = -3.0000 -2.0000 z=roots(b) z = -1 g=zpk(z,p,2) Zero/pole/gain: 2 (s+1) - (s+3) (s+2),控制系统的系统

5、函数也可用部分分式法表示,使用residue命令来实现由传递函数得出部分分式的极点和系数。, r,p,k=residue(num,den) r = 0 - 0.7070i 0 + 0.7070i p = -0.7070 + 0.7072i -0.7070 - 0.7072i k = , r,p,k=residue(b,a) r = 2.0000 -1.0000 p = -3.0000 -2.0000 k = ,6.1.4 离散系统的数学描述,1. 状态空间描述法,u为输入向量，x为状态向量，,y为输出向量，n为采样时刻,将离散系统的状态方程描述变换为脉冲传递函数，脉冲传递函数即对差分方程做ZT

6、所得，表达式为：,2. 脉冲传递函数描述法,脉冲传递函数也可以用tf命令实现。 语法：G=tf(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数 说明：Ts为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示，自变量用z表示。,语法： G=filt(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数 说明：Ts为采样周期，当采样周期未指明Ts可以省略，也可 以用-1表示，自变量用z-1表示。,MATLAB中还可以用filt命令产生脉冲传递函数。, a=-1.5 -0.5;1 0; b=1;0; c=0 0.5; d=0; G=ss(a,b,c,d,0.1) %采样周期为0.1s,【例6.2

7、】用状态空间法建立离散系统。,【例6.2】创建离散系统脉冲传递函数,num1=0.5 0; den=1 -1.5 0.5; G1=tf(num1,den,-1) Transfer function: 0.5 z - z2 - 1.5 z + 0.5 Sampling time: unspecified,num2=0 0.5; den=1 -1.5 0.5; G2=filt(num2,den) Transfer function: 0.5 z-1 - 1 - 1.5 z-1 + 0.5 z-2 Sampling time: unspecified,离散系统的零极点增益用zpk命令实现。 语法：

8、G=zpk(z,p,k,Ts) %由零极点得出脉冲传递函数,使用residue命令来实现由传递函数得出部分分式的极点和系数。,3. 零极点增益描述法,G3=zpk(0,0.5 1,0.5,-1) Zero/pole/gain: 0.5 z - (z-0.5) (z-1) Sampling time: unspecified,【例6.2】使用zpk命令产生零极点增益传递函数。,6.2 线性系统模型之间的转换,连续系统模型之间的转换 连续系统与离散系统之间的转换 模型对象的属性,表6.1 线性系统模型转换函数表,z为零点列向量，p为极点列向量，k为增益。,(1) 状态空间模型的获得 由命令ss和d

9、ss实现将传递函数和零极点增益转换为状态空间模型。 语法：G=ss(传递函数) %由传递函数转换获得 G=ss(零极点模型) %由零极点模型转换获得,1. 系统模型的转换,(2) 传递函数的获得 由tf命令实现将系统的状态空间法和零极点增益模型转换为传递函数。 语法：G=tf(状态方程模型) %由状态空间转换 G=tf(零极点模型) %由零极点模型转换,(3) 零极点模型的获得 由zpk命令实现将状态空间法、传递函数转换为零极点模型。 语法： G=zpk(状态方程模型) %由状态方程模型转换 G=zpk(传递函数) %由传递函数转换,【例6.3】将单输入双输出的系统传递函数,转换为状态空间描述

10、。, num=0 3 2;1 2 3; den=3 5 2 1; G11=tf(num(1,:),den) Transfer function: 3 s + 2 - 3 s3 + 5 s2 + 2 s + 1 G12=tf(num(2,:),den) Transfer function: s2 + 2 s + 3 - 3 s3 + 5 s2 + 2 s + 1, G=ss(G11;G12) a = x1 x2 x3 x1 -1.667 -0.3333 -0.08333 x2 2 0 0 x3 0 2 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 ., G1=tf(G) Transfer fu

11、nction from input to output. s + 0.6667 #1: - s3 + 1.667 s2 + 0.6667 s + 0.3333 0.3333 s2 + 0.6667 s + 1 #2: - s3 + 1.667 s2 + 0.6667 s + 0.3333, G2=zpk(G) Zero/pole/gain from input to output. (s+0.6667) #1: - (s+1.356) (s2 + 0.3103s + 0.2458) 0.33333 (s2 + 2s + 3) #2: - (s+1.356) (s2 + 0.3103s + 0.

12、2458),语法： a,b,c,d=ssdata(G) %获取状态空间参数 a,b,c,d,e=dssdata(G) %获取状态空间参数 num,den=tfdata(G) %获取传递函数参数 z,p,k=zpkdata(G) %获取零极点参数,2.模型参数的获取,3.模型类型的检验,表6.2 模型类型检验函数表,6.2.2 连续系统与离散系统之间的转换,随着控制系统中计算机的广泛应用，系统经常由连续系统和离散连接构成，使用A/D、D/A转换连接连续和离散子系统。在分析系统时必须将连续系统转换为性能相当的离散系统。 控制工具箱提供了c2d,d2c和d2d命令实现复杂的相互转换。,语法：Gd=c

13、2d(G,Ts,method) %以采样周期Ts和method方法转换为离散系统 说明：G为连续系统模型；Gd为离散系统模型；Ts为采样周期；method为转换方法，可省略，包括五种： zoh(默认零阶保持器)、foh(一阶保持器)、 tustin(双线性变换法)、mached(根匹配法) 、 prewarp(频率预修正双线性变换法) 。,1. c2d命令,c2d命令用于将连续系统转换为离散系统。,语法： G=d2c(Gd,method) %转换为连续系统 说明：method为转换方法可省略，与c2d相似，少了foh(一阶保持器)方法。,2. d2c命令,d2c命令是c2d的逆运算，用于将离散

14、系统转换为连续系统。,语法： Gd2=d2d(Gd1,Ts2) %转换离散系统的采样频率为Ts2 说明：其实际的转换过程是先把Gd1按零阶保持器转换为原连续系统，然后再用Ts2和零阶保持器转换为Gd2。,3. d2d命令,d2d命令是将离散系统改变采样频率。,a=0 1;-1 -1.414; b=0;1; c=1 0; d=0; G=ss(a,b,c,d); Gd=c2d(G,0.1),【例6.4】将二阶连续系统转换为离散系统,G=d2c(Gd),Gd2=d2d(Gd,0.3),6.2.3 模型对象的属性,LTI系统的三种模型ss、tf、zpk都有自己对应的属性。 1. 模型对象的属性 ss、

15、tf和zpk三种对象除了具有线性时不变系统共有的属性以外，还具有其各自的属性，共有属性如表6.3所示，其各自的属性如表6.4所示。,表6.3 对象共有属性表,表6.4 三种子对象特有属性表,表6.4 三种子对象特有属性表,(2) set命令用于修改对象属性名 语法：set(G,PropertyName,PropertyValue,) %修改对象的某些属性值,3. 直接获取和修改属性 根据对象和属性的关系，也可以直接用“.”符号来获取和修改属性。,2. get命令和set命令 (1) get命令可以获取模型对象的所有属性 语法：get(G) %获取对象的所有属性值 get(G,PropertyN

16、ame,) %获取对象的某些属性值 说明：G为模型对象名；PropertyName为属性名。, num=1; den=1 1.414 1; G=tf(num,den); get(G) %获取所有属性 set(G,den,1 2 1,Variable,z) %设置属性 G.den=1 1.414 1;,6.3 结构框图的模型表示,控制系统的模型通常由相互连接的模块构成，模块间通过串联、并联和反馈环节构成结构框图。,2. 并联结构 SISO的并联结构是两个模块并联在一起，如图6.2所示。 实现并联结构传递函数的命令： G=G1+G2 G=parallel(G1,G2),3. 反馈结构 反馈结构是前

17、向通道和反馈通道模块构成正反馈和负反馈，如图6.3所示。,实现反馈结构传递函数的命令： G=feedback(G1,G2,Sign) 说明：Sign用来表示正反馈或负反馈，Sign = -1或省略则表示为负反馈。,【例6.6】根据系统的结构框图求出整个系统的传递函数， 结构框图如图6.4所示，其中,G1=tf(1,1 2 1) G2=tf(1,1 1); G3=tf(1,2 1); G4=tf(1,1 0); G12=G1+G2%并联结构 G34=G3-G4 G=feedback(G12,G34,-1),求取复杂结构框图的数学模型的步骤： (1) 将各模块的通路排序编号； (2) 建立无连接的

18、数学模型：使用append命令实现各模块未连接的系统矩阵。 G=append(G1,G2,G3,) (3) 指定连接关系：写出各通路的输入输出关系矩阵Q，第一列是模块通路编号，从第二列开始的几列分别为进入该模块的所有通路编号；INPUTS变量存储输入信号所加入的通路编号；OUTPUTS变量存储输出信号所在通路编号。 (4) 使用connect命令构造整个系统的模型。 Sys=connect(G,Q,INPUTS,OUTPUTS),4. 复杂的结构框图,如果各模块都使用传递函数，也可以用blkbuild命令建立无连接的数学模型，则第二步修改如下： 将各通路的信息存放在变量中：通路数放在nbloc

19、ks，各通路传递函数的分子和分母分别放在不同的变量中；用blkbuild命令求取系统的状态方程模型。,【例6.7】根据图6.5所示系统结构框图，求出系统总的传递函数。,方法一：使用append命令 (1) 将各模块的通路排序编号，如图6.6所示。,(2) 使用append命令实现各模块未连接的系统矩阵 (3) 指定连接关系 (4) 使用connect命令构造整个系统的模型,G1=tf(1,1 0); G2=tf(1,1 1 0); G3=tf(1,1 1 0); G4=tf(-2,1); G5=tf(-1,1); G6=tf(1,1 0); G7=tf(-1,1 1); Sys=append(

20、G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7),Q=1 6 5; 2 1 7; 3 2 0; 4 3 0; 5 4 0; 6 2 0; 7 3 0; INPUTS=1; OUTPUTS=4;,G =connect(Sys,Q,INPUTS,OUTPUTS),A,B,C,D=connect(a,b,c,d,Q,INPUTS,OUTPUTS),方法二：从第二步开始使用blkbuild命令来实现 (1) 将各通路的信息存放在变量中 (2) 建立连接矩阵Q指定连接关系，Q矩阵同前面 (3) 使用connect命令构造整个系统的模型,Q=1 6 5; 2 1 7; 3 2 0; 4 3 0; 5 4 0;

21、6 2 0; 7 3 0; INPUTS=1; OUTPUTS=4;, nblocks=7; n1=1; d1=1 0; n2=1; d2=1 1 0; n3=1; d3=1 1 0; n4=-2; d4=1; n5=-1; d5=1; n6=1; d6=1 0; n7=-1;d7=1 1; blkbuild,6.4 线性系统的时域分析,6.4.1 零输入响应分析 系统的输出响应由零输入响应和零状态响应组成，零输入响应是指系统的输入信号为零；零状态响应是指系统的初始状态为零。,线性系统的时域分析是主要分析系统在给定典型输入信号作用下，在时域的暂态和稳态响应，以及系统的稳定性。,语法： init

22、ial(G,x0, Ts) %绘制系统的零输入响应曲线 initial(G1,G2,x0, Ts) %绘制系统多个系统的零输入响应曲线 y,t,x=initial(G,x0, Ts) %得出零输入响应、时间和状态变量响应 说明：G为系统模型，必须是状态空间模型；x0是初始条件；Ts为时间点，如果是标量则为终止时间，如果是数组，则为计算的时刻，可省略；y为输出响应；t为时间向量，可省略；x为状态变量响应，可省略。,1.连续系统的零输入响应,MATLAB中使用initial命令来计算和显示连续系统的零输入响应。,例：某反馈系统，前向通道的传递函数为 反馈通道的传递函数为 ，求出初始条件为1 2 时

23、的零输入响应。,G1=tf(12,1 4); H=tf(1,1 3); GG=feedback(G1,H) G=ss(GG); initial(G,1 2) %绘制零输入响应 impulse(G) %绘制脉冲响应曲线 t=0:0.1:10; y=impulse(G,t) %根据时间t得出脉冲响应,离散系统的零输入响应使用dinitial命令实现。 语法： dinitial(a,b,c,d,x0) %绘制离散系统零输入响应 y= dinitial (a,b,c,d,x0) y,x,n= dinitial (a,b,c,d,x0) %得出离散系统n点的零输入响应 说明：a、b、c、d为状态空间的系

24、数矩阵；x0为初始条件；y为输出响应；t为时间向量；x为状态变量响应；n为点数。,2. 离散系统的脉冲响应,6.4.2 脉冲响应分析,1. 连续系统的脉冲响应 连续系统的脉冲响应由impluse命令来得出。 语法： impulse(G, Ts) %绘制系统的脉冲响应曲线 y,t,x=impulse(G, Ts) %得出脉冲响应 说明：G为系统模型，可以是传递函数、状态方程、零极点增益的形式；y为时间响应；t为时间向量；x为状态变量响应，t和x可省略；Ts为时间点可省略。,2. 离散系统的脉冲响应 离散系统的脉冲响应使用dimpulse命令实现。 语法：dimpluse(a,b,c,d,iu)

25、%绘制离散系统脉冲响应曲线 y,x=dimpluse(a,b,c,d,iu,n) %得出n点离散系统的脉冲响应 y,x=dimpluse(num,den,iu,n) %由传递函数得出n点离散系统的脉冲响应 说明：iu为第几个输入信号；n为要计算脉冲响应的点数； y的列数与n对应；x为状态变量，可省略。,6.4.3 阶跃响应分析,1. 连续阶跃响应 阶跃响应可以用step命令来实现。 语法： step(G, Ts) %绘制系统的阶跃响应曲线 y,t,x=step(G, Ts) %得出阶跃响应图6.10 阶跃响应曲线 说明：参数设置与impulse命令相同。,2. 离散系统的阶跃响应 离散系统阶跃

26、响应使用dstep命令来实现，语法规则与dimpluse相同。,6.4.4 任意输入的响应,1. 连续系统的任意输入响应 连续系统对任意输入的响应用lsim命令来实现。 语法： lsim(G,U,Ts) %绘制系统的任意响应曲线 lsim(G1,G2,U,Ts) %绘制多个系统任意响应曲线 y,t,x=lsim(G,U,Ts) %得出任意响应 说明：U为输入序列，每一列对应一个输入；Ts为时间点，U的行数和Ts相对应；参数t和x可省略。,2. 离散系统的任意输入响应 离散系统的任意输入响应用dlsim命令来实现。 语法： dlsim(a,b,c,d,U) %绘制离散系统的任意响应曲线 y,x=

27、dlsim(num,den,U) y,x=dlsim(a,b,c,d,U) %得出离散系统响应和状态变量响应 说明：U为任意序列输入信号。,6.4.5 系统的结构参数,1. 极点和零点 (1) pole命令计算极点 语法： p=pole(G) 说明： 当系统有重极点时，计算结果不一定准确。,(2) tzero命令计算零点和增益（Transmission zeros） 语法： z=tzero(G) %得出连续和离散系统的零点 z,gain=tzero(G) %获得零点和零极点增益 说明：对于单输入单输出系统， tzero命令也用来计算零极点增益。,2. 闭环系统的阻尼系数和固有频率 damp命令

28、用来计算闭环系统所有共轭极点的阻尼系数和固有频率n。 语法： wn,zeta=damp(G) 3. 时域响应的稳态增益 稳态增益可使用dcgain命令来得出。 语法： k=dcgain(G) %获得稳态增益,6.5 线性系统的频域分析,6.5.1 频域特性 频域特性由下式求出： Gw=polyval(num,j*w)./polyval(den,j*w) mag=abs(Gw) %幅频特性pha=angle(Gw) %相频特性 说明：j为虚部变量。,6.5.2 连续系统频域特性,1. bode图 bode图是对数幅频和对数相频特性曲线。 语法： bode(G,w) %绘制bode图 mag,ph

29、a=bode(G,w) %得出w对应的幅值和相角 mag,pha,w=bode(G) %得出幅值、相角和频率 说明：G为系统模型，w为频率向量，mag为系统的幅值， pha为系统的相角。,2. nyquist曲线 nyquist曲线是幅相频率特性曲线 语法：nyquist (G,w) %绘制nyquist曲线 nyquist (G1,G2,w) %绘制多条nyquist曲线 Re,Im= nyquist (G,w) %由w得出对应的实部和虚部图6.15 nyquist曲线 Re,Im,w= nyquist (G) %得出实部、虚部和频率 说明：G为系统模型；w为频率向量，也可以用wmin,wm

30、ax表示频率的范围；Re为频率特性的实部，Im为频率特性的虚部。,【例6.16】根据传递函数,绘制各系统的nyquist曲线,num=1; den1=conv(1 1,1 2),0; G1=tf(num,den1),den2=conv(1 1,1 2); G2=tf(num,den2),den3=1 1 0; G3=tf(num,den3),nyquist(G1,r,G2,b:,G3,g-.,0.1,180/57.3) %频率范围0.1,180/57.3, w=1:2; re,im=nyquist(G1,w) re(:,:,1) = -0.3000 re(:,:,2) = -0.0750 im

31、(:,:,1) = -0.1000 im(:,:,2) = 0.0250,3*. nichols图 nichols图是对数幅相频率特性曲线，使用nichols命令绘制和计算。 语法： nichols (G,w) %绘制nichols图 nichols (G1,G2,w) %绘制多条nichols图 Mag,Pha= nichols (G,w) %由w得出对应的幅值和相角 Mag,Pha,w= nichols (G) %得出幅值、相角和频率,在单位反馈系统中，闭环系统的传递函数可以写成G(s)/(1+G(s)，因此nichols图的等M圆和等N圆就映射成等M线和等线，MATLAB提供了绘制nic

32、hols框架下的等M线和等线的命令ngrid。 语法： ngrid(new) %清除图形窗口并绘制等M线和等线 说明：new为创建的图形窗口，清除该图形窗口并绘制等M线和等线，如果绘制了nichols图后可省略new，直接添加等M线和等线；产生-40dB40dB的幅值和360o0o的范围，并保持图形。,6.5.3 幅值裕度和相角裕度,语法： margin(G) %绘制bode图并标出幅值裕度和相角裕度 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) %得出幅值裕度和相角裕度 说明：Gm为幅值裕度，Wcg为幅值裕度对应的频率；Pm为相角裕度，Wcp为相角裕度对应的频率(穿越频率)。如果Wcg或W

33、cp为nan为Inf，则对应的Gm或Pm为无穷大。,ngrid(nichols1) %绘制等M线和等线 nichols(G1) %绘制nichols图 w=1:2; Mag,Pha=nichols(G1,w) %获得幅值和相角数值,根据传递函数,，绘制等M线,等线和nichols图,num=1; den1=conv(1 1,1 2),0; G1=tf(num,den1),，并得出系统的幅值裕度和相角裕度。,Mag(:,:,1) = 0.3162 Mag(:,:,2) = 0.0791 Pha(:,:,1) = -161.5651 Pha(:,:,2) = -198.4349, Gm,Pm,Wc

34、g,Wcp=margin(G1) Gm = 6.0000 Pm = 53.4109 Wcg = 1.4142 Wcp = 0.4457,6.5.4 离散系统频域分析,对离散系统的频域分析，主要是绘制离散系统的bode图、nyquist曲线和nichols图，相应的命令是：dbode,dnyquist,dnichols,例：绘制 的系统的bode图,dnum=2 5 1; dden=1 2 3; dbode(dnum,dden,0.1) %绘制bode图，采样周期为0.1s,6.6 线性系统的根轨迹分析,根轨迹是指系统闭环极点随着系统增益变化而变化的轨迹，可以分析系统的暂态和稳态性能。 6.6.1 绘制根轨迹 MATLAB中绘制根轨迹使用rlocus命令。 语法： rlocus(G) %绘制根轨迹 rlocus(G1,G2,) %绘制多个系统的根轨迹 r,k=