立体几何中的向量方法1.ppt

1、3.2立体几何中的向量方法,第一课时,课题引入,立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，研究的主要问题有共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题.,上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题.你是否已经体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法.,为了用向量方法解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.,探求新知,思考1？如何确定一个点在空间的位置？,O,P,基点,在空间中，我们取一定点O作为基点，那

2、么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示.,我们把向量 称为点P的位置向量.,探求新知,空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.,思考2？过空间一点A可以作无数条直线，其中以某非零向量 为方向向量的直线有几条？如何用向量式表示？,思考3？过空间不同两点A、B的直线如何用向量式表示？,点A和 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。,探求新知,思考4？设过点O的两条相交直线确定的平面为，如何用向量形式表示平面内的点P的位置？,O,P,点O和 、不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点P。,思考5？给这一个定点和一个方向(向量),能

3、确定一个平面在空间的位置吗？,探求新知,若直线l平面，为直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量.,过点A，以 为法向量的平面是完全确定的.,思考6？如果另有一条直线m，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系？,探求新知,1.平面的法向量是非零向量;,2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.,探求新知,探究2？你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关

4、系以及它们二面角的大小吗？,设直线l的方向向量为 ，平面的法向量为 ,探究1？若直线l和平面所成的角为，你能用 , 表示吗？,探求新知,设直线l，m的方向向量分别为 ，,平面，的法向量分别为 ，,探究1：平行关系,l,m,线线平行,探究1：平行关系,探求新知,线面平行,l,探究1：平行关系,探求新知,面面平行,探究2：垂直关系,探求新知,设直线l，m的方向向量分别为 ，,平面，的法向量分别为 ，,m,线线垂直,l,线面垂直,探究2：垂直关系,探求新知,面面垂直,探究2：垂直关系,探求新知,l,m,l,m,探究3：夹角,探求新知,线线夹角,l,l,探究3：夹角,探求新知,线面夹角,面面夹角,探究

5、3：夹角,探求新知,探究3：夹角,探求新知,面面夹角,线线夹角,线面夹角,面面夹角,合作探究,例 求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.,已知：直线l,m和平面，,其中l,m ,l与m相交，l,m,求证： ,证：设相交直线l，m的方向向量分别为 ，,平面，的法向量分别为 ，,因为l,m，所以,所以,因为l,m ,且l与m相交，,所以内任一直线的方向向量 可以表示为如下形式,因为,即平面的法线与平面内任一直线垂直.,所以平面的法向量也是平面的法向量，即 ,因此 ,合作探究,3.若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,2.

6、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= .,1.设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 ,则 k= 。,4,-5,-8,深化提高,4,2.直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数.,4.用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算.,课堂小结,3.设直线l的方向向量为 ，对平面内的任一向量 ，若 ，则l.,1.本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问题必要的条件.,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,当堂