高三数学教案：10.4二项式定理(一)

1、课题：教学目的：10 4 二项式定理 (一 )1 掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.2. 会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.教学重点： 二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点： 二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、 其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或

2、技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点二项式定理的证明是一个教学难点这是因为， 证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法在教学中， 努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会， 以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习教学过程 ：一、复习引入： ( ab) 2 a2 2ab b2 c20a2 c21ab

3、 c22b2 ； ( ab) 3a33a2b3ab2b3c30a3c31a2 bc32ab2c33b3 (ab) 4(ab)(ab)(ab)(ab) 的各项都是4 次式，即展开式应有下面形式的各项：a4 ， a3b ， a2 b2 ， ab3 ， b4，展开式各项的系数： 上面 4 个括号中，每个都不取 b 的情况有 1种，即 c40 种，a 4 的系数是 c40 ；恰有 1个取 b 的情况有 c 14 种， a3b 的系数是 c14 ，恰有 2 个取 b 的情况有 c42 种， a2b2 的系数是 c42 ，恰有 3 个取 b 的情况有 c43 种， ab3 的系数是 c43 ，有 4 都取

4、 b 的情况有 c44 种， b4 的系数是 c44 ， (ab)4c40a4c41a3bc42a 2b2c 43a3bc44b4 第 1页共 5页二、 解新 ：二 式定理：(ab) ncn0ancn1 anblc nr an r brlcnnbn (nn ) (ab)n 的展开式的各 都是n 次式，即展开式 有下面形式的各 ：a n ， anb ， an r br ， bn ，展开式各 的系数：每个都不取 b 的情况有 1种，即 cn0 种， an 的系数是 cn0 ；恰有 1个取 b 的情况有 cn1 种， anb 的系数是 c1n ，恰有 r 个取 b 的情况有 cnr种， an r b

5、r的系数是 cnr ，有 n 都取 b 的情况有 cnn 种， bn 的系数是 cnn ， (a b)ncn0ancn1anb l cnr an r brl c nn bn (n n ) ， 个公式所表示的定理叫二 式定理 ，右 的多 式叫(ab)n 的二 展开式 ，它有 n 1 ，各 的系数 cnr (r0,1,ln) 叫二 式系数 ， cnr an r br 叫二 展开式的 通 ，用 tr1 表示，即通 tr1cnr anr br二 式定理中， a1,bx ， (1x)n1 cn1 xlcnr xrlxn三、 解范例：例 1展开 (11)4 x解一： (11)41c41 ( 1)c41(

6、1 )2c43 ( 1)3( 1)414641xxxxxx x2x3x4解二： (11)4( 1)4 ( x1)4( 1)4 x4c41x3c41 x2c43x1xxx14641xx2x3x4例 2 展开 (2x1)6 x解： (2 x1)61(2 x1)6xx313 (2 x)6c61(2 x) 5c62 (2 x)4c63 (2 x)3c62 (2 x) 2c61 (2 x)1x第 2页共 5页64x3192 x2240x 16060121 xx2x3例 3 求 ( xa)12 的展开式中的倒数第4 项解： ( xa)12 的展开式中共13 项，它的倒数第4项是第 10 项，t9 1 c1

7、29 x129 a9c123 x3a9220x3a9例 4 求（ 1） (2a3b)6 ，（2） (3b2a)6 的展开式中的第3 项解：（ 1） t2 1c62 (2 a)4 (3b) 22160a4b2 ，（ 2） t2 1c62 (3b) 4 (2 a) 24860b4a 2 点评： (2a 3b)6 ， (3b2a)6 的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例 5（ 1）求 ( x3)9 的展开式常数项；3x（ 2）求 ( x3)9 的展开式的中间两项3xc9r ( x )9r (3) rc9r 32r93 r解： tr19 x2，3x（ 1）当 93 r0, r6时展开式是常数

8、项，即常数项为t7c96 332268 ；2（2） ( x3 )9的展开式共10项，它的中间两项分别是第5 项、第 6 项，3x4251099153t5489x9122378xc93x3 ， t6 c93x四、课堂练习：1. 求 2a 3b2. 求 3b 2a6的展开式的第3 项 .6的展开式的第3 项 .3.写出 (3x1) n 的展开式的第r+1 项 .23x4.求 x374 项的二项式系数，并求第4 项的系数 .2x的展开式的第5. 用二项式定理展开：第 3页共 5页（1）35x25( ab)；（ ）() .22x11116.化简：（ 1） (1x ) 5(1x ) 5 ；（ 2） (

9、2x 23x 2 )4(2x 23x2 ) 47 xxlg x 5展开式中的第 3项为106 ，求 x 12n8求x展开式的中间项x答案： 1. t21c62 (2 a)6 2 (3b) 22160a4b22.t2 1c62 (3b) 62 (2 a)24860a2b4rn 2 r3.tr 1c nr ( 3 x )n r (1)r1cnr x 32 3x24.展开式的第 4项的二项式系数c7335 ，第 4 项的系数 c73 232805.（1） (a3b )5a55a43b10a3 3210a2b5ab3bb3b2；b（ 2） (x2)51x2x5x40x32x2x32x x 5 x 20xx23 .8x6.（1） (1x) 5(1x)52 20 x 10 x2 ；1111432（ 2） (2 x23x 2 )4(2 x23x 2 )4192xx7.xx lg x5展开式中的第3 项为 c52 x32lg x10 6x3 2l