专题19：反比例函数的应用

1、专题 1 9 ：反比例函数的应用-作者 : _-日期 : _2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题）专题 19：反比例函数的应用一、选择题1. （ 2012 福建福州 4 分）如图，过点 c(1，2) 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，交直线 y x6 于 a、 bk两点，若反比例函数yx(x 0) 的图像与 abc有公共点，则 k 的取值范围是【】a2k9b2k8c2k5d5k8【答案】 a。【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】 点 c(1，2) ，bcy轴， acx轴， 当 x1 时， y 165；当 y2 时， x62

2、，解得 x4。 点 a、b 的坐标分别为 a(4， 2) ，b(1，5) 。根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点c 相交时， k122 最小。设与线段 ab相交于点 (x ， x6) 时 k 值最大，则 kx( x 6) x2 6x (x 3) 29。第 2 页 共 36 页 1 x4， 当 x3 时， k 值最大，此时交点坐标为(3 ， 3) 。因此， k 的取值范围是2k9。故选 a。2. （ 2012 湖北黄石 3 分）如图所示，已知 a( 1 ,y1 ) ，b(2, y2 ) 为反比例函数2y 1 图像上的两点，动 x点 p(x,0) 在 x 正半轴上运动，当线段 ap与线段

3、 bp之差达到最大时，点 p 的坐标是【】a.(1 ,0)b.(1,0)c.( 3,0)d.522,0)(2【答案】 d。【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】 把 a( 1 ,y1 ) ，b(2, y2 ) 分别代入反比例函数 y1 得： y1=2，12x2，y =2a（ 1，2）， b（2， 1）。22在abp中，由三角形的三边关系定理得：|ap bp|ab，延长 ab交 x 轴于 p ，当 p 在 p 点时， papb=ab，即此时线段 ap与线段 bp之差达到最大。设直线 ab的解析式是 y=kx+b，把 a、b 的坐标代入得：第

4、3 页 共 36 页2=1k=1k+b52，解得：5。直线 ab的解析式是 y x1 =2k+bb=222当 y=0 时， x=5 ，即 p（ 5，0）。故选 d。223. （ 2012 湖北荆门3 分） 如图，点 a 是反比例函数 y=2 （x 0）的图象上任意一点，xabx轴交反比例函数y=3的图象于点 b，以 ab 为边作 abcd，其中 c、 d 在 x 轴上，x则 sabcd为【】a 2b 3c 4d 5【答案】 d。【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。【分析】 设 a 的纵坐标是 a，则 b 的纵坐标也是 a把 y=a 代入 y= 2 得， a

5、= 2 ，则x= 2 ，即 a 的横坐标是2 ；同理可得： b 的横坐xxaa标是：3。aab=23=5 。sabcd= 5 a=5。故选 d。aaaa4. （ 2012湖北恩施3 分） 已知直线 y=kx （ k 0）与双曲线 y=3 交于点 a（ x1，y1）， bx（x2， y2）两点，则 x1y2+x2y1 的值为【】a 6 b 9 c 0 d 9【答案】 a。【考点】 反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。第 4 页 共 36 页【分析】 点 a（ x1， y1）， b（ x2， y2）是双曲线y= 3 上的点，x 1?y1 =x2?y2=3。x直线 y=kx （ k

6、0）与双曲线y= 3 交于点 a（ x1，y1）， b（ x2，y2）两点，x 1=x x2， y1= y2x1y2+x2y1= x1y1 x2y2= 3 3= 6。故选a。5. （ 2012 湖北随州 4 分）如图，直线 l 与反比例函数 y= 2 的图象在第一象限x内交于 a、 b 两点，交 x 轴的正半轴于 c 点 , 若 ab：bc=(m一 l) ：1(ml) 则oab的面积 ( 用 m表示 ) 为【】a. m21b.m21c.3 m213 m21mmd.2m2m【答案】 b。【考点】 反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】 如图，过

7、点 a 作 adoc于点 d，过点 b 作 beoc于点 e,设 a( a， a) ，b ( b， b) ， c（ c?0）。ab： bc=(m一 l) ：1(ml) ， ac： bc=m：1。又 adc bec，ad：be=dc：ec= ac：bc=m：1。又ad=a，be=b，dc= c a， ec= c b，第 5 页 共 36 页a： b= m： 1，即 a= mb。直线 l 与反比例函数2的图象在第一象限内交于、b两点，y=ax ya= 2 ， y b= 2 。x axb 2 = 2m ， x a = 1 xb 。x a x bm将又由 ac：bc=m：1 得（ c a）：（ c b

8、）=m：1，即1bm:1，解得 c=x b m+1cx b : c x。mm s oab =s ocb s obc =11cy b1y b1x b m+1c y a2c y a2myb y b22m1x b y b m+1m1x b yb m 212 m 21 m21。2m2m2mm故选 b。6. （ 2012 湖南株洲3 分） 如图，直线 x=t （ t 0）与反比例函数y=2， y=1 的图象分别xx交于 b、 c两点， a 为 y 轴上的任意一点，则 abc 的面积为【】a 3b 3 tc 3d不能确定22【答案】 c。【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系

9、。【分析】 把 x=t 分别代入 y= 2， y=1 ，得 y=2，y=1， b（t ，2 ）、 c（ t ，1）。xxtttt第 6 页 共 36 页bc=2 （1 ）=3 。ttta为 y 轴上的任意一点，点a 到直线 bc的距离为 t 。 abc的面积 = 13t= 3。故选 c。2t27. （ 2012 四川泸州 2 分）如图，矩形 abcd中， c是 ab的中点，反比例函数y k (k 0) 在第一象限的图象经过 a、 c两点，若 oab面积为 6，则 k 的值x为【】a、2b、4c、 8d、 16【答案】 b。【考点】 反比例函数系数k 的几何意义，三角形中位线定理。【分析】 如图

10、，分别过点 a、点 c作 ob的垂线，垂足分别为点m、点 n，点 c 为 ab的中点， ce为amb的中位线。mn=nb=a， cn=b， am=2b。又om?am=on?cn，om=a。 oab面积 =3a?2b2=3ab=6。ab=2。k=a?2b=2ab=4。故选 b。8.（ 2012 辽宁丹东 3 分）如图，点 a 是双曲线 yk 在第二象限分支上的任意x一点，点 b、点 c、点 d分别是点 a 关于 x 轴、坐标原点、 y 轴的对称点若四边形abcd的面积是 8，则 k 的值为【】第 7 页 共 36 页a.-1b.1c.2d.-2【答案】 d。【考点】 反比例函数系数 k 的几何意

11、义，关于原点对称、x 轴、 y 轴对称的点的坐标，矩形的判定和性质。【分析】 点 b、点 c、点 d 分别是点 a 关于 x 轴、坐标原点、 y 轴的对称点，四边形 abcd是矩形。 四边形 abcd的面积是 8，4|k|=8 ，解得 |k|=2 。又双曲线位于第二、四象限，k0。k=2。故选 d。9.（ 2012 辽宁铁岭 3 分）如图，点 a 在双曲线 y4 上，点 b 在双曲线 y kxx（ k0）上， abx轴，分别过点 a、b 向 x 轴作垂线，垂足分别为d、c，若矩形 abcd的面积是 8，则 k 的值为【】a.12b.10c.8d.6【答案】 a。第 8 页 共 36 页【考点】

12、 反比例函数系数 k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，矩形的判定和性质。【分析】 双曲线 yk （k0）在第一象限， k0。x延长线段 ba，交 y 轴于点 e。abx轴， aey轴。 四边形 aeod是矩形。点 a 在双曲线 y4 上， s矩形 aeod =4。x同理 s矩形 ocbe =k 。 s矩形 abcds矩形 ocbe s矩形 aeod k 4 8 ， k=12。故选 a。10.（ 2012 山东德州3 分） 如图，两个反比例函数y= 1 和 y=2 的图象分别是 l 1 和xxl 2设点 p 在 l 1 上， pcx 轴，垂足为c，交 l 2 于点 a，pdy

13、轴，垂足为d，交 l 2 于点b，则三角形pab的面积为【】a 3b 4c 9d 52【答案】 c。【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。第 9 页 共 36 页11. （ 2012 山东临沂 3 分） 如图，若点 m是轴，分别交函数yk1 (x 0) 和 y k2 (xxx结论正确的是【】a poq不可能等于90c这两个函数的图象一定关于x 轴对称【答案】 d。x 轴正半轴上任意一点，过点作ympq0) 的图象于点 p 和 q，连接 op和 oq则下列b pmk1qmk21d poq的面积是k1k22第 10 页 共 36 页【考点】 反比例函数综合题，直角三

14、角形的判定，反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义。【分析】 根据反比例函数的性质逐一作出判断：a当 pm=mo=mq时， poq=90，故此选项错误；b根据反比例函数的性质，由图形可得：k1 0， k2 0，而 pm， qm为线段一定为正值，故pmk1 ，故此选项错误；qmk2c根据 k1 ， k2 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；d|k1 |=pm?mo，| k2 |=mq?mo，11111k1k2 。 poq的面积 =mo?pq= mo（ pm+mq） =2mo?pm+ mo?mq=2222故此选项正确。故选 d。12.（ 2012 山东威海3 分

15、） 下列选项中，阴影部分面积最小的是【】【答案】 c。【考点】 反比例函数的图象和性质。【分析】 根据反比例函数的图象和性质，a， b， d 三个图形中阴影部分面积均为2。而 c 图形中阴影部分面积为3 。故选 c。2二、填空题第 11 页 共 36 页1.（ 2012 广东深圳 3 分）如图，双曲线 yk (k 0) 与o在第一象限内交于xp、q 两点，分别过 p、 q两点向 x 轴和 y 轴作垂线，已知点p 坐标为 (1 ，3) ，则图中阴影部分的面积为【答案】 4。【考点】 反比例函数综合题【分析】 o在第一象限关于 y=x 对称， yk也关于 y=x 对称， p 点坐(k 0)x标是（

16、 1，3），q点的坐标是（ 3， 1），s阴影 =13+13211=4。2.（ 2012 浙江衢州4 分） 如图，已知函数y=2x 和函数 y= k 的图象交于a、 b两点，过点xa 作 aex轴于点 e，若 aoe的面积为4， p 是坐标平面上的点，且以点b、o、 e、p 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的p 点坐标是【答案】 （ 0， 4），（ 4， 4），（ 4， 4）。【考点】 反比例函数综合题，平行四边形的性质。【分析】 先求出 b、 o、 e 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出 p 点的坐标：第 12 页 共 36 页如图， aoe 的面积为4，函数 y= k

17、的图象过一、三象限，x k=8。反比例函数为y= 8x函数 y=2x 和函数 y= 8 的图象交于a、 b 两点，xa、 b 两点的坐标是：（2，4）（ 2， 4），以点 b、o、 e、 p 为顶点的平行四边形共有3 个，满足条件的p 点有 3 个，分别为：p1（ 0， 4）， p2（ 4， 4）， p3（ 4，4）。3. （ 2012 浙江温州 5 分）如图，已知动点 a 在函数 y= 4 (xo) 的图象上， xabx轴于点 b，acy轴于点 c，延长 ca至点 d，使 ad=ab，延长 ba至点，使 ae=ac直.线 de分别交 x 轴， y 轴于点 p,q. 当 qe：dp=4:9 时

18、，图中的阴影部分的面积等于 _.【答案】 13 。3【考点】 反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 过点 d 作 dgx轴于点 g，过点 e 作 efy轴于点 f。a在函数 y= 4 (xo) 的图象上， 设 a（t ，x4 ），t4则 ad=ab=dg= ，ae=ac=ef=t。t第 13 页 共 36 页在 rtade中，由勾股定理，得dead 2ae 24 2t2t4 +16 。tt efq dae，qe：de=ef： ad。qe= tt4 +16 。44t 4 +16。 ade gpd，de：pd=ae： dg。dp=t 3又qe：dp=

19、4： 9， tt4 +164t4 +164：9。解得t28。4：t 33图中阴影部分的面积 = 1ac 21ab 21t21164313 。2222t2334.（ 2012 江苏常州 2 分）如图，已知反比例函数 y= k1k1 0和xy=k 2k 2 0 。点 a 在 y轴的正半轴上，过点 a 作直线 bcx轴，且分别与两个x反比例函数的图象交于点b 和 c，连接 oc、ob。若 boc的面积为 5 ， ac：2ab=2：3，则 k1 =， k2 =。第 14 页 共 36 页5.（ 2012 江苏苏州 3 分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y= 1 图x象的一个分支，第二象限内的图

20、象是反比例函数y=2 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的x直线 与它们分别交于点a、b，过点 a、b 作 轴的垂线，垂足分别为c、 d.若四边形 acdb的周长为 8 且ab0）的图象上，x则 y1 +y 2 =第 17 页 共 36 页【答案】2 。【考点】 反比例函数综合题。【分析】 o1过原点o， o1的半径 o1p1， o1o=o1p1。o1的半径o1p1 与 x 轴垂直，点 p1（x1 ，y1）在反比例函数 y= 1 （x x 0）的图象上，x1=y1 ，x1y1 =1。x1=y1=1。o1与 o2相外切， o2 的半径o2p2 与 x 轴垂直，设两圆相切于点 a，ao2=

21、o2p2 =y2， oo2=2+y2。p2点的坐标为：（2+y2， y2）。1点 p2 在反比例函数 y=x（ x0）的图象上，（2+y ） ?y =1，解得： y =1+2或 12（不合题意舍去）。222y1+y2 =1+（ 1+2 ） =2 。9. （ 2012 福建漳州 4 分）如图，点 a(3， n) 在双曲线 y= 3 上，过点 a 作xacx轴，垂足为 c线段 oa的垂直平分线交oc于点 b，则 abc周长的值是第 18 页 共 36 页【答案】 4。【考点】 反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】 由点 a(3， n) 在双曲

22、线 y= 3 上得， n=1。 a(3，1) 。x线段 oa的垂直平分线交oc于点 b，ob=ab。则在 abc中， ac=1，ab bc=obbc=oc=3， abc周长的值是 4。10.（2012 福建三明 4 分）如图，点 a 在双曲线 y= 2 x 0 上，点 b 在双曲线x4y=x 0 上，且 ab/yx轴，点 p 是 y 轴上的任意一点，则 pab的面积为【答案】 1。【考点】 反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 点 a 在双曲线 y= 2x 0上，点 b 在双曲线 y= 4x 0 上，且 ab/yxx轴，可设 a（x， 2）， （，4x 0。xb x）x

23、第 19 页 共 36 页ab=422 ，ab边上的高为x。xxx pab的面积为 12 x=1 。2x11.（ 2012 湖南湘潭 3 分） 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即y=k0.5m，则 y 与 x 之间的函数关系式是k 0 ），已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为x【答案】 y= 100 。x【考点】 根据实际问题列反比例函数关系式。【分析】 由于点（ 0.5 ，200）适合这个函数解析式，则k=0.5 200=100，y= 100 。x故眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为：y= 100 。x12.（2012 四川成都 4 分）如图，在平面直角坐标系xo

24、y 中，直线 ab与 x轴、 y 轴分别交于点 a，b，与反比例函数 y= k ( k 为常数，且 k 0 ) 在第一象限 x的图象交于点 e，f过点 e 作 emy轴于 m，过点 f 作 fnx轴于 n，直线 em与fn交于点 若 be= 1 (m 为大于 l 的常数 ) 记 cef的面积为 s1 ，oefcbfm的面积为2，则 s1= ( 用含 m 的代数式表示 )ss2【答案】 m1 。m+1【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。第 20 页 共 36 页【分析】 过点 f 作 fdbo于点 d，ewao 于点 w， be = 1 ， fn =

25、1 。bfmewm设 e 点坐标为：（x， my），则 f 点坐标为：（ mx， y）， cef的面积为： s1 = 1 （ mx x）（ my y） = 1 （ m 1）222xy 。 oef的面积为： s =s s s s2矩形 cnom1meofon=mc?cn 1 （ m 1） 2xy 1 me?mo 1 fn?no222=mx?my121x?my1212xy mxy2（ m 1） xy 22y?mx=mxy 2（ m 1）121（ m+1）（ m1） xy ，=（ m 1） xy=2212 s1（ m1） xym1 。2s21 m1m 1 xym+1213. （ 2012 山东聊城3

26、 分） 如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点o，且正方形的一组对边与 x 轴平行，点p（3a， a）是反比例函数yk（k 0）的图象上与正方形的一x个交点若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为【答案】 y3 。x【考点】 待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。【分析】 由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9 可求出 b 的值，从第 21 页 共 36 页而可得出直线ab 的表达式，再根据点p（ 3a， a）在直线ab上可求出a 的值，从而得出反比例函数的解析式：反比

27、例函数的图象关于原点对称，阴影部分的面积和正好为小正方形的面积。设正方形的边长为b，则 b2=9，解得 b=6。正方形的中心在原点o，直线ab的解析式为： x=3。点 p（ 3a， a）在直线ab上， 3a=3，解得a=1。 p（ 3， 1）。k点 p 在反比例函数y（ k 0）的图象上，k=3 1=3 。x3此反比例函数的解析式为：y。x14. （2012 山东日照 4 分）如图，点 a 在双曲线 y= 6x上，过 a 作 acx轴，垂足为 c，oa的垂直平分线交 oc于点 b，当 oa4 时，则 abc周长为 .【答案】 2 7 。【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾

28、股定理，线段垂直平分线的性质。【分析】 根据线段垂直平分线的性质可知ab=ob，由此推出 abc的周长=oc+ac，设 oc=a，ac=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b 的方程组，解之即可求出 abc的周长。设 a（a，b），则 oc=a，ac=b。点 a 在双曲线 y= 6 上， b= 6，即 ab=6。xa第 22 页 共 36 页22222oa=4，ab=4 ，即（ ），即（ ）a b2ab=16a b26=16，a b=2 7 。oa的垂直平分线交 oc于 b，ab=ob。 abc的周长 =oc+ac= a b=27。15. （2012 河南省 5 分）如图，点 a， b

29、 在反比例函数 y= kk 0， x 0 的图像x上，过点 a，b 作 x 轴的垂线，垂足分别为m，n，延长线段 ab交 x 轴于点 c，若 om=mn=nc，aoc的面积为 6，则 k 值为【答案】 4。【考点】 反比例函数综合题。【分析】 设 om=a， 点 a 在反比例函数 y= kk 0，x 0y= k。x上， am=aom=mn=nc，oc=3a。saoc=11k=3k=6。解得 k=4。2?oc?am=3aa2216. （2012 甘肃兰州 4 分）如图，点 a 在双曲线 y= 1 上，点 b 在双曲线 y= 3xx上，且 abx轴， c、 d在 x 轴上，若四边形abcd为矩形，则它的面积为第 23 页 共 36 页【答案】 2。【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】 如图，过 a 点作 aey轴，垂足为 e，点 a 在双曲线 y=1 上， 四边形 aeod的面积为 1。x点 b 在双曲线 y=3 上，且 x轴， 四边形的面积为3。abbeocx四边形 abcd为矩形，则它的面积为 312。三、解答题1. （ 2012 重庆市10 分） 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a0）的图