存在性与恒成立

1、最新资料推荐专题训练恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：afx恒成立afxmax ； afx恒成立afx min2、能成立问题的转化：afx能成立afxmin ； afx能成立afx max3、恰成立问题的转化：afx在 M上恰成立af x的解集为 Mafx 在 M 上恒成立afx 在 CR M 上恒成立另一转化方法： 若 xD , f ( x)A 在 D 上恰成立，等价于 f ( x) 在 D 上的最小值 f min ( x)A ，若 x D ,f ( x)B 在 D 上恰成立，则等价于f ( x) 在 D 上的最大值 f max ( x)B .4、设 函 数 f x 、 g x

2、 ， 对 任 意 的 x1a , b ， 存 在 x2c , d， 使 得 f x1g x2 ， 则f minxg minx5、设 函 数 f x 、 g x， 对 任 意 的 x1a , b， 存 在 x2c , d ， 使 得 f x1g x2 ， 则fmaxxgmaxx 。6、设函数fx 、 g x，对任意的x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1=gx2，则 f x在x1a , b 上的值域 M是 g x在 x2c , d 上的值域 N的子集。即： MN。7、设函数 fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，则 f max xgmi

3、nx8、设函数 fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，则 f min xg maxx9 、若不等式fxgx 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx和图象在函数y g x 图象上方；10、若不等式fxg x 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数yfx 和图象在函数y g x 图象下方；题型一、常见方法1、已知函数f ( x)x22ax1， g( x)a ，其中 a0 ， x 0 xa 的取值范围；1）对任意 x1,2，都有 f ( x)g( x) 恒成立，求实数2）对任意 x11,2, x2 2,4 ，都有 f ( x1 )g(

4、 x2 ) 恒成立，求实数 a 的取值范围；可 对( x)x3x求 导 ，(x)2x4x 210， 故(x)在 x1,2是 增 函 数 ，2x 21( 2x21) 2min ( x)(1)20a2，所以 a 的取值范围是332、设函数 h(x)axb ，对任意 a 1 ,2 ，都有 h( x)10 在 x 1 ,1 恒成立，求实数b 的取值x24范围分析： 思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值， h(x)10hmax (x)10 ；方法 2：变量分离， b10 ( ax) 或 ax 2(10b) x ；x方法 3：变

5、更主元，(a)1axb100 ， a 1 ,2x2简解：方法 1: 对 h(x)g(x)xbaxb 求导， h (x)1 a(xa)(xa) ，xx2x2由此可知， h( x) 在 1 ,1 上的最大值为 h(1 ) 与 h(1) 中的较大者44h(1)104a1b10b39 4a，对于任意 a 1 ,2 ，得 b 的取值范围是 b7444h(1)101a b10b9a24x3、已知两函数f ( x)x2 ，g(x)1m ，对任意 x10,2，存在 x21,2 ，使得 f ( x1 )g x2 ，2则实数 m的取值范围为x解析： 对任意 x10,2 ，存在 x21,2 ，使得 f (x1 )g

6、 x21等价于 g (x)m 在 1,2 上的最2小值 1m 不大于 f ( x)x 2 在0,2上的最小值0，既1m0 ， m14b1444.已知 f (x)2axln x 在 x1 与 x处都取得极值 . 函数 g(x) = x22mx+ m ，若对任意的x2x1 1 ,2 ，总存在 x2 1 ,2 ，使得、 g (x1 )f (x2 )ln x2 ，求实数 m 的取值范围。22【分析：】1）思路、等价转化为函数f (x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决2）思路、对在不同区间内的两个函数f ( x) 和 g( x) 分别求最值，即只需满足fmin(x) gmax(x)

7、 即可简解：（ 1）由 x 22ax1a0ax3x 成立，只需满足 (x)x3x 的最小值大于a 即x2x212x 21解析： Qbln x,f ( x)f (x) 2axx取得极值f (1)0 ， f( 1)0， 22112(x1)(x 1 )2f ( x)33x2x =3x22ab1Q f (x)2axbln x 在 x1 与 x1 处都x2xx22ab 10b1 当 ab1 时，2a4b2解得： a033，所以函数f ( x) 在 x1 与 x1 处都取得极值 .21最新资料推荐1又 函数21 在，上递减，7aby=f ( x)ln x1f (x)ln xmin =f (2)=33x+2

8、63x2又 函数 g(x) = x22mx+m 图象的对称轴是 x=m（ 1）当 m 1 时： g (x)min = g( 1 )= 1 ，依题意有17 成立， m2 时： g (x)min =g(2)=43m ，43m7 ，m31 ， 又m2 ， m618综上： m3+51所以，实数m 的取值范围为 (, 3+ 51 66题型二、主参换位法( 已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足p2 的所有实数 p, 求使不等式 x2px1p2x 恒成立的 x 的取值范围。解：不等式即x1px22x10 , 设 fpx1 px22x1，则 fp在 -2,2上恒大于 0，故有：f 2 0

9、x24x 3 0x 3或 x 1x1 或 x3f 20x21 0x 1或 x12、已知函数 f ( x) ln( exa)(a为常数）是实数集 R 上的奇函数， 函数 gxf ( x)sin x 是区间1,1 上的减函数， ( ) 求 a 的值； ( ) 若 g (x)t 2t1在 x1,1上恒成立，求 t 的取值范围；( ) 分析：在不等式中出现了两个字母：及 t , 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量， 则上述问题即可转化为在, 1内关于的一次函数大于等于0 恒成立的问题。 ( ) 略解：由( ) 知：f ( x)x，g (x)xsin x，在11，上单

10、调递减，g ( x)cosx0Q g( x)cos x在1，1上 恒 成 立 ，1， g ( x)maxg(1)sin1 ，只 需sin1t 2t1，(t 1)2sin110 （其中1 ）恒成立，由上述结论：可令f(t1)t 2sin110(1）t,则t1 0，t1，而 t 2tsin10 恒成立，t1 。t12sin112tsin1t0t0y题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）y| x |y| x |1、当 x1,2时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是 .yaxyaxx2解析 :当 x(1,2) 时，由 x2mx40 得 m4 . m5 .xxO题

11、型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、若对任意 xR , 不等式 | x |ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 _解析：对xR, 不等式 | x |ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知1a1，即 1a1。2、已知函数 fxx22kx2 ，在 x1 恒有 f xk ，求实数 k 的取值范围。分析：为了使 fxk 在 x1,恒成立，构造一个新函数Fxfx k ，则把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0 的问题， 再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令 F xfxkx22kx2k ，则 Fx0 对 x1,恒成立，而 Fx 是开口向上的

12、抛物线。当图象与 x 轴无交点满足0 ，即4k 22 2k0 ，解得2 k1 。当图象与 x 轴有交点，且在x1,时 Fx 0 ，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：0F 10 解得 3k2 ，故由知3k1 。2k12小结：若二次函数 yax2bxc a0 大于 0 恒成立， 则有 a0，同理， 若二次函数 y ax2bx c a 00小于 0 恒成立，则有a0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与0系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 则等价于在区间D 上 fx max

13、A；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxB 成立 , 则等价于在区间D 上的 f x minB .1、存在实数 x ，使得不等式x3x1a23a 有解，则实数 a 的取值范围为 _。解：设 fxx3x1 ，由fxa23a 有解，a23afx min ，又 x 3x1x3x14 ， a23a4，解得 a4或a1 。2、已知函数 fxln x1 ax 22xa0存在单调递减区间，求a 的取值范围2ax2解： 因为函数fx存在单调递减区间，所以f x1ax22x 10xx0,有解 . 即 a12x0,能成立 ,设 u x12.x2xx2x1212uminx1. 于是 ,a1,由 u x11得

14、 ,x2xx由题设 a0 , 所以 a 的取值范围是1,00,小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式 fxM 对 xI 时恒成立fmax (x ) M?， xI 。即 fx 的上界小于或等于M ；不等式 fxM 对 xI 时有解f min (x ) M?， x I 。 或 fx 的下界小于或等于M ；不等式 fxM 对 xI 时恒成立fmin ( x) M?， xI 。即 fx 的下界大于或等于M ；不等式 fxM 对 xI 时有解f max (x) M ， x I . 。 或 fx 的上界大于或等于M

15、 ；题型六、等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法2最新资料推荐1 已知函数f ( x)axln x, x(1,e), 且 f ( x) 有极值（ I）求实数a 的取值范围；（）若lmne ，证明 mnnm ；（）函数g ( x)x3x2, 证明：x1(1,e),x0(1,e), 使得 g (x0 )f ( x1 ) 成立课后作业：1、设 a 1 ，若对于任意的x a, 2a ，都有 y a, a2 满足方程 log a xlog a y 3 ，这时 a 的取值集合为（）（ A） a |1a2（ B） a | a 2（ C） a | 2a3（ D） 2,3xy02、若任意满足xy50的实数

16、x , y ，不等式 a( x2y2 )( xy)2 恒成立，则实数 a 的最大值是 _。y303、不等式 sin 2 x4sin x1a0 有解，则 a 的取值范围是3最新资料推荐4、不等式 axx 4x 在 x0,3 内恒成立，求实数a 的取值范围。5、已知两函数f x7x 228xc ， g x2 x34x 240x 。（ 1）对任意 x3,3 ，都有 fxg x成立，求实数 c 的取值范围；（ 2）存在 x3,3，使 fxgx成立，求实数 c 的取值范围；（ 3）对任意 x1, x23,3 ，都有fx1gx2，求实数 c 的取值范围；（ 4）存在 x1 , x23,3 ，都有 fx1gx2，求实数 c 的取值范围；6、设函数 f ( x)1 x32ax23a2x b (0 a 1, b R) .37、已知 A、 B、C 是直线上的三点，向量 y 2f 1 OB ln x 1 OC 0 .OA， OB， OC满足： OA（ 1）求函数 y f(x)的表达式；（ 2）若 x 0，证明： f(x)2x x 2；（ 3）若不等式 1