专题72--离散型随机变量的期望与方差(理)(解析版)

1、专题72 离散型随机变量的期望与方差（理）专题知识梳理1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称V(X)=为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，V(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)V(aX+b)=a2V(X). (a，b为常数)3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期

2、望、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)=p，V(X)=p(1p).(2)若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)=np，V(X)=np(1p).(3)若X服从超几何分布，即XH(n，M，N)时，E(X)_考点探究考向1离散型随机变量的均值与方差【例】（2016苏锡常镇二调）一个口袋中装有大小相同的个白球和个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有次摸到红球即停止（1）求恰好摸次停止的概率；（2）记次之内(含次)摸到红球的次数为，求随机变量的概率分布与数学期望【解析】（1）设事件“恰好摸次停止”的概率为，则 所以恰好摸次停止的概率为. （2）由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，

3、2，3.， ， ， 的分布列为 所以E(X). 题组训练1.某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.(1) 若n2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；(2) 若n2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n为何值时，三次比赛 恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值.【解析】(1) 当n2时，X可能的取值为0，1，2. P(X0)，P(X1)，P(X2)，则随机变量X的概率分布如下表：X012P所以E(X)0+1+21.(2) 一次参加比赛全是男生或

4、全是女生的概率为P.三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f(P)P(1P)23P36P2+3P，则f(P)9P212P+33(P1)(3P1)，易知当P时，f(P)取得最大值，所以，解得n2.2.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止(1)如果参与者先在

5、乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由【解析】(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.则P(M)，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金x可取0，m，mn，则P(x0)，P(xm)，P(xmn)，E(x)0m(mn).先在乙箱中摸球，参与者获奖金h可取0，n，mn，则P(h0)，P(hn)，P(hmn)，E(h)0n(mn). E(x)E(h).故当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当

6、时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大考向2均值与方差的性质的应用【例】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号.(1)求X的概率分布、均值和方差；(2)若Y=aX+b，E(Y)=1，V(Y)=11，试求a，b的值.【解析】(1)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=.故X的概率分布为X01234P所以E(X)=0+1+2+3+4=1.5.V(X)=(01.5)2

7、+(11.5)2+(21.5)2+(31.5)2+(41.5)2=2.75.(2)由V(Y)=a2V(X)，得a22.75=11，即a=2.又E(Y)=aE(X)+b，所以当a=2时，由1=21.5+b，得b=2.当a=2时，由1=21.5+b，得b=4. 故或题组训练1.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=，k=1，2，3，4，5. 求E(X+2)2，V(2X1)，的值. 【解析】因为E(X)=1+2+3+4+5=3，E(X2)=1+22+32+42+52=11，V(X)=(13)2+(23)2+(33)2+(43)2+(53)2=(4+1+0+1+4)=2，故E(X+2)2=E(X2+4

8、X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27，V(2X1)=4V(X)=8，=.考向3离散型随机变量期望与方差的应用【例】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率

9、都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则B(104，p)(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当0，P(A)1P()1P(0)1(1p)104，又P(A)10.，故p0.001.(2)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和支出1000050000.盈利10000a(1000050000)，盈利的期望为E()10000a10000E()50000，由B(104，103)知，E()10000103，E()104a104E()5104104a1041041035104.E()0104a1041051040a1050a15(元)故每位投保人

10、应交纳的最低保费为15元题组训练1.因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令i(i1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达

11、到灾前产量的倍数(1)写出1、2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元问实施哪种方案的平均利润更大？【解析】(1)1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.1、2的分布列分别为：10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产

12、量超过灾前产量这一事件，P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大(3)令表示方案i的预计利润，则1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以E(1)14.75，E(2)14.1，可见，方案一的预计利润更大2.一个摸球游戏，规则如下:在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球:当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次、2次、3次时，参加者可相应获得游戏费

13、的0倍、1倍、k倍的奖励(kN*)，且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X元.(1) 求概率P(X=0)的值；(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值.【解析】(1) 事件“X=0”表示“有放回地摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P(X=0)=316562=2572.(2) 由题意得，X的可能值为k，1，1，0，且P(X=k)=163=1216，P(X=1)=563=，P(X=1)=316256=572，P(X=0)=316562=2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)=k1216+(1)+1572+02572=k-(元)，为使收益X的数学期望不小于0元，所以k110，即kmin=110.故k的最小值为110.3.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品(1)求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；(2)设X、Y分别为获得A、B两