量子力学第三章算符

1、.第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为： （3.1-1）称为算符。u与v中的变量可能相同，也可能不同。例如，则，x，都是算符。 1算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u，若，则。 （2）算符的相加：对于任意函数u，若，则。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u，若，则。算符的相乘一般不满足交换律。如果，则称与对易。 2几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u，若u=u，则称为单位算符。与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u与v，若，则称为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u，若则称与互为逆算符。即，。

2、并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：，其中为与函数构成的线性算符，a为常数。其解u可表示为对应齐次方程的通解u。与非齐次方程的特解之和，即。因精品.，所以不存在使。一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在使，从而由得：。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。 （4）转置算符 令，则称与的转置算符，是一个向左作用的算符。若算符表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。 定义波函数与的标积为： （3.

3、1-2） 与的标积以及与的标积为： 若上两式中的与都是任意波函数，则称上两式中的与为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中的性质。波函数与在无限远点也应满足连续性条件： 可都等于零，所以得： 可见在任意标积中，。 （5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符 转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。以标记的转置共轭算符，则精品. 若在任意标积中，则称为厄密算符。即厄密算符的定义为： 或写为 （3.1-3）可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因x是实数，而，所以。在任意标积中，因，所以。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明是厄密算符。，所以是厄密算符。 （6

4、）幺正算符 若在任意标积中，则称为幺正算符。设，若为厄密算符，则必为幺正算符。 （7）算符的函数 设函数f（a）的各阶导数都存在，则定义算符的函数f（）为： （3.1-4） 其中表示n个的乘幂，即。例如3.2 算符的对易关系 定义算符的泊松（poisson）括号为： （3.2-1）一般说来，例如，这样的关系或称为对易关系式。是对易关系式中的特例，这时，称与是对易的。 1量子力学中基本对易关系精品. 在位置表象中，即，此式对任意的都成立，所以得： 在动量表象中 ，即，此式对任意的都成立，所以得： 可见在位置表象中与动量表象中都得： （3.2-2） 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对

5、易的。例如，在位置表象中，所含的变量是y，而所含的变量是x，所以=0。又如，在有心力场中，u(x)所含的变量是r，而所含的变量是，所以。此外，相同的算符一定对易。 以表示x，y，z，以表示，则应有： （3.2-3） (3.2-4) （3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。 2线性算符泊松括号的性质 根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：（其证明供练习） （3.2-5） c为常数 （3.2-6） c为常数 （3.2-7） (3.2-8) (3.2-9)精品. (3.2-10) 3其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系 同理可得：，各对易关系可合写

6、为： 采用爱因斯坦记号，则上式可写为： （3.2-11） 其中称为勒维奇维塔（levi-civita）符号。=1，对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，。若中有两个角标相同，则其值为零。具有以下数学性质： （3.2-12） (3.2-13)上式中将改写为称为将反对称化，之所以能将反对称化是由于对角标i，j反对称之故。 （2）角动量算符与动量算符之间的对易关系 （3.2-14） （3）角动量算符的对易关系 （3.2-15）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：精品. （3.2-16） 若令，则可得： （3.2-17） （3.2-18） （4）算符的函数之间的对

7、易关系 （3.2-19） (3.2-20) 必须注意，若，则。3.3 线性厄密算符和力学量算符 1厄密算符的性质 （1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。 设与是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得： 所以也是厄密算符。 （2）厄密算符的本征值必为实数。 设为厄密算符，其本征方程为： ，则 根据（3.1-3）式得： 则 因，则得f=f*，所以f为实数。 （3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。精品. 设，为厄密算符分别对应本征值，的本征函数，则 即 当时得： 上式称为正交关系式。若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得： 当f为分立谱时， （3.3-1） 当f为连续谱时， （3.3

8、-2） 如果中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。例如，当粒子在有心力场中运动时，经向方程是厄密算符的本征方程，其本征值为能量e（对束缚态，e由径向量子数确定）。角量子数l是径向方程中的参变量。径向波函数的正交关系式为： ， 因不同的l值对应不同的径向方程，所以 ， 2、正交化手续 对于线性厄密算符，如果的本征值fn是f度简并的，对应的本征函数为，则这f个本征函数的任意线性组合也是本征方程的解。一般说来，这f个本征函数不一定是正交的，但通过它们的线性组合一定可以构成f个正交的本征函数。通常的正交化手续如下：取 从与的正交性可以确定b1精品. = 则得：

9、 若先将归一化，则得： 从的正交性得： 则得： 若先将归一化，则得： 从的正交性得： 则得： 则得： 依此类推，可求出各系数，使彼此正交。 3、力学量算符 在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都是线性厄密算符。假设力学量算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的力学量，这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力学量的本征函数与

10、被展开的波函数才能具有相同的时间与空间。精品. 当力学量算符的本征值fn为分立谱时，在位置表象中，设本征基组满足正交归一条件： 满足上式的也称为幺正基组。通常只是的函数而与t无关。含时波函数对的展开式不含时的波函数也可对展开为： （3.3-3）实际上是的简写。以乘上式并对整个空间积分得： ，则得： （3.3-4）若已归一化，即，则得： = （3.5-5）若已知，则由（3.3-4）式可求得cn(t)；若已知cn(t)，则由（3.3-3）式可求得，所以与cn(t)是等价的。cn(t)中的变量是fn与t，所以cn(t)是f表象中的波函数，cn(t)的归一化条件是。当cn(t)已归一化时，在t时刻测到

11、fn的几率为。注意，对分立谱，为几率而非几率密度。 将（3.3-4）式代入（3.3-3）式得： =由上式可看出，应有： （3.3-6）上式所显示的性质称为本征基组的封闭性。 对于的本征函数，在箱归一化下对应的本征值为分立谱：。其本征函数的封闭性条件为：精品.其中dn=1。当l时，px由分立谱变为连续谱。这时，由可知，dn应以代替，的下标n应改为px，则本征函数的封闭性条件为： 如果将并入的归一化系数，则归一化系数由变为，这与2.2中的讨论是一致的。 当力学量算符的本征值f为连续谱时，在位置表象中，设本征函数满足正交为一条件： 满足上式的也称为为幺正基组。对的展开式为： （3.3-7） 以乘上式

12、并对全空间积分得： ，则得： （3.3-8） 为f表象中的波函数。若，则可得的归一化条件为： （3.3-9）当已归一化时，在t时刻在f表象中测得f的几率密度为。本征基组的封闭性条件为： （3.3-10） 如果的本征值既有分立谱fn又有连续谱f，则展开式为：精品. （3.3-11） (3.3-12)f表象的波函数由cn(t)与cf(t)组成。归一化条件为： （3.3-13）本征基组的封闭性条件为： （3.3-14） 上面的讨论可归纳为量子力学中关于力学量算符的一个基本假设：量子力学中表示力学量的算符一般都是线性厄密算符，力学量算符的本征函数组成完备系。当体系处于归一化波函数所描写的状态时，测量力学量f所得的数值，在单次测量中必定是算符的本征值之一，测得分立谱中fn的几率是，测得连续谱中ff+df的几率是，cn与cf是对的幺正本征基组的展开系数。 4、角度坐标变量 考虑球坐标系下或柱坐标系下的角度坐标变量，在位置表象中，应有，但量子力学中通常并不将视为能作用于波函数的算符，而只将作为以及 ，cos等中的变量。这是因为：（1）不是周期函数，。但当增加时，波函数应保持不变，可见是周期函数，而不是周期函数。如果的变化范围为（，），则不是空间位置的单值函数；如果02，则不是空间位置的单值函数；如果02时，粒子在