(好资料)第6章c--数据结构课件(吴伟民-严蔚敏编著)

1、1,1. 完成第6章自测卷有关内容，算法设计题一定要写出思路。 2. 预习实验二： 3个方案表示三种级别,作 业,2,第6章 树和二叉树（ Tree ,法3：无需求树深k，便可快捷求出完全二叉树的叶子数： n0= n/2 / 取大于n/2的最小整数值 可由二叉树性质5轻松证明！ (编号为i的结点，其孩子编号必为2i和2i+1),已知最后一个结点编号为n，则其双亲（n/2或(n-1)/2)肯定是最后一个非叶子结点。其编号之后的全部结点都是叶子了！ 故，n0=n-n/2或n-(n-1)/2= n/2,4,问：用二叉链表法（l_child, r_child）存储包含n个结点的二叉树，结点的指针区域中

2、必有 个空指针。,思考：二叉链表空间效率这么低，能否利用这些空闲区存放有用的信息或线索？,所以， 空指针个数2n(n-1)=n+1个。,n+1,分析： n个结点必有2n个链域； （见二叉链表数据类型说明） 除根结点外，二叉树中每一个结点有且仅有一个双亲（直接前驱），所以只会有n1个结点的链域存放指针，指向非空子女结点（即直接后继）。,5,二、线索二叉树（Threaded Binary Tree）,普通二叉树只能找到结点的左右孩子信息，而该结点的直接前驱和直接后继只能在遍历过程中获得。 若将遍历后对应的有关前驱和后继预存起来，则从第一个结点开始就能很快“顺藤摸瓜”而遍历整个树了。,存放前驱指针,

3、存放后继指针,如何预存这类信息？,例如中序遍历结果：B D C E A F H G，实际上已将二叉树转为线性排列，显然具有唯一前驱和唯一后继。,1. 定义 2. 生成 3. 遍历,利用空链域（n+1个空链域）,6,规定：,1）若结点有左子树，则lchild指向其左孩子； 否则， lchild指向其直接前驱(即线索)；,2）若结点有右子树，则rchild指向其右孩子； 否则， rchild指向其直接后继(即线索) 。,为区别两种不同情况，特增加两个标志域（各1bit),约定:,当Tag域为0时,表示正常情况;,当Tag域为1时,表示线索情况.,右孩子或后继,左孩子或前驱,LTag,RTag,7,

4、附：有关线索二叉树的几个术语：,线索链表：用含Tag的结点样式所构成的二叉链表 线 索：指向结点前驱和后继的指针 线索二叉树：加上线索的二叉树 线 索 化：对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程,讨论：增加了前驱和后继等线索有什么好处？ 能方便找出当前结点的前驱和后继，不用堆栈也能遍历整个树。,8,A,G,E,I,D,J,H,C,F,B,例：某先序遍历结果如下表所示，请画出对应的二叉树。,（多带了两个标志！）,9,2. 线索二叉树的生成,线索化过程就是在遍历过程中修改空指针的过程： 将空的lchild改为结点的直接前驱； 将空的rchild改为结点的直接后继。,非空指针呢？仍然指向孩子

5、结点（称为“正常情况”）,10,悬空？,悬空？,解：该二叉树中序遍历结果为: H, D, I, B, E, A, F, C, G 所以添加线索应当按如下路径进行：,为避免悬空态，应增设一个头结点,例1：画出以下二叉树对应的中序线索二叉树。,11,注：此图中序遍历结果为: H, D, I, B, E, A, F, C, G,对应的中序线索二叉树存储结构如图所示：,12,例2：【 2000年计算机系考研题】给定如图所示二叉树T，请画出与其对应的中序线索二叉树。,解:因为中序遍历序列是：55 40 25 60 28 08 33 54 对应线索树应当按此规律连线，即在原二叉树中添加虚线。,13,线索二

6、叉树的生成算法（算法6.6, 见教材P134）,目的：在依某种顺序遍历二叉树时修改空指针，添加前驱或后继。,注解：为方便添加结点的前驱或后继，需要设置两个指针： p指针当前结点之指针； pre指针前驱结点之指针。,技巧：当结点p的左/右域为空时，只改写它的左域（装入前驱pre），而其右域（后继）留给下一结点来填写。 或者说，当前结点的指针p应当送到前驱结点的空右域中。,若p-lchildNULL,则p-Ltag=1;p-lchildpre; /p的前驱结点指针pre存入左空域 若pre-rchildNULL, 则pre-Rtag1;pre-rchild=p; /p存入其前驱结点pre的右空域,

7、14,3. 线索二叉树的遍历,理论上，只要找到序列中的第一个结点，然后依次访问结点的后继直到后继为空时结束。,但是，在线索化二叉树中，并不是每个结点都能直接找到其后继的，当标志为0时，R_child=右孩子地址指针，并非后继！需要通过一定运算才能找到它的后继。,以中序线索二叉树为例： 对叶子结点（RTag=1），直接后继指针就在其rchild域内； 对其他结点（RTag=0），直接后继是其右子树最左下的结点； （因为中序遍历规则是LDR，先左再根再右）,15,程序注解 (非递归，且不用栈）： P=T-lchild; /从头结点进入到根结点； while( p!=T) while(p-LTag=

8、link)p=p-lchild; /先找到中序遍历起点 if(!visit(p-data) return ERROR; /若起点值为空则出错告警 while(p-RTag=Thread ) p=p-rchild; Visit(p-data); /若有后继标志，则直接提取p-rchild中线索并访问后继结点； p=p-rchild; /当前结点右域不空或已经找好了后继，则一律从结点的右子树开始重复 的全部过程。 Return OK;,线索二叉树的中序遍历算法（算法6.5, 参见教材P134）,LTag=0,RTag=1,16,算法流程：,演 示 程 序,17,提前介绍：二叉树的应用,平衡树 排序

9、树 字典树 判定树 带权树 最优树,特点：左右子树深度差 1 特点：“左小右大”（见实验二的方案1） 由字符串构成的二叉树排序树 例如，12个球只称3次分出轻重 特点：路径长度带权值 带权路径长度最短的树，又称 Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。,18,路 径： 路径长度： 树的路径长度： 带权路径长度： 树的带权路径长度： 霍 夫 曼 树：,6.5 Huffman树及其应用,一、最优二叉树（霍夫曼树）,由一结点到另一结点间的分支所构成,路径上的分支数目,从树根到每一结点的路径长度之和。,结点到根的路径长度与结点上权的乘积,预备知识：若干术语,树中所有叶子结点的带权路径长度之和,带

10、权路径长度最小的树。,ae的路径长度,树长度,2,10,19,Huffman树简介：,树的带权路径长度如何计算？,经典之例：,WPL=36,WPL=46,WPL= 35,哈夫曼树则是：WPL 最小的树。,Huffman树,Weighted Path Length,20,(1) 由给定的 n 个权值w0, w1, w2, , wn-1，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林F = T0, T1, T2, , Tn-1 ，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉

11、树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。 在 F 中删去这两棵二叉树。 把新的二叉树加入 F。,构造霍夫曼树的基本思想：,构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：,权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。,先举例！,21,例1：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？,法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。 取 d=00，i=01，a=10，n=11,怎样实现Huffman编码？,法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。 取 d=0; i=10,

12、a=110, n=111,最快的编码是哪个？,是非等长的Huffman码！,先要构造Huffman树！,22,操作要点1：对权值的合并、删除与替换 在权值集合7,5,2,4中，总是合并当前值最小的两个权,构造Huffman树的步骤：,注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。,23,操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编号！,Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit72bit5+3bit(2+4)=35,特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码,将 Huffman树 与 Huffm

13、an编码 挂钩,24,例2（严题集6.26）：假设用于通信的电文仅由8个字母 a, b, c, d, e, f, g, h 构成，它们在电文中出现的概率分别为 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10，试为这8个字母设计哈夫曼编码。如果用07的二进制编码方案又如何？,霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最少。这种编码已广泛应用于网络通信中。,解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。权值集合 w=7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10， 按哈夫曼树构造规

14、则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。,25,w4=19, 21, 28, 32,为清晰起见，重新排序为:w=2, 3, 6, 7, 10, 19, 21, 32,5,6,w1=5, 6, 7, 10, 19, 21, 32,w2=7, 10, 11, 19, 21, 32,w3=11, 17, 19, 21, 32,11,17,28,w5=28,32,40,w6=40,60,w7=100,哈夫曼树,26,对应的哈夫曼编码（左0右1）：,Huffman码的WPL2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03) =1.44+0.92+0.25=2.61,WPL3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3,二进制码,27,另一种结果表示：,28,例3（实验二方案3）：设字符集为26个英文字母，其出现频度如下表所示。,注：若圆满实现了此方案，平时成绩将以满分计。,先建哈夫曼树，再利用此树对报文“This program is my favorite”进行编码和译码。,要求编程实现：,29