《二次函数》中考总复习.ppt

1、,二次函数中考第一轮复习课件,一、二次函数的定义,定义：一般地，形如y=axbxc （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ）的函数叫做_. 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？,3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？,巩固一下吧！,1，函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时， （1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；,当 时，是二次函数；,当 时，是一次函数；,当

2、时，是正比例函数；,驶向胜利的彼岸,考考你,驶向胜利的彼岸,2，函数 当m取何值时，,（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？,（1）若是二次函数，则 且 当 时，是二次函数。,（2）若是反比例函数，则 且 当 时，是反比例函数。,小结：,二、二次函数的图象及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右

3、侧, y随着x的增大而减小.,(0,c),(0,c),小结：,2,2,2,开 口 向 下,开 口 向 上,y轴(x=0),x=h,( 0,0 ),( 0,k ),( h,0 ),( h,k ),当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大，函数值 y 变化越慢。 只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。,点评：二次函数的几种表现形式及图像,(顶点式),(一般式),1. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号： a 0; c 0; b2 - 4ac 0; b 0;,x,y,O,基础演练,变式1：若抛物

4、线 的图象如图，则a= .,变式2：若抛物线 的图象如图，则ABC的面积是 。,小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;,2、下列各图中可能是函数 与 ( )的图象的是( ),小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象,3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是_ 对称轴是_。,画二次函数的大致图象:先配成顶点式，再按照以下步骤画： 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线 当然，细画抛物线应该按照：列

5、表（在自变量的取值范围内列）、描点（要准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来画。,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线，则 画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次 函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点来 画,3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),增减性:,当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大,最值:,当 时,y有最 值,是,小,函数值y的

6、正负性:,当 时,y0 当 时,y=0 当 时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,4、二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）,C,5、,（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y0？,已知二次函数,2、已知抛物线顶点坐标（h, k）和一个普通点，通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x

7、2,0)和另一个普通点,通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),三、求抛物线解析式的三种方法,练习,x=-2,(-2，-1),0,3、根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。,4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6

8、）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,开口方向、大小: 向上a0 向下ao,对称轴与y轴比较 : 左侧ab同号 右侧ab异号,与y轴交点 : 交于正半轴co 负半轴c0，过原点c=0.,- 与1比较,- 与-1比较,与x轴交点个数,令x=1，看纵坐标,令x=-1，看纵坐标,令x=2，看纵坐标,令x=-2，看

9、纵坐标,四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,o,y,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,快速回答：,典型例题1. 如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图像，则a 0;b 0;c 0;a+b+c 0; a-b+

10、c 0;b2-4ac 0;2a-b 0;,=,由形定数,典型例题2. 已知a0，c0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（ ）,A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限,A,由数定形,1.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( ),B,2.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的x取值范围 是 .,-3x1,.,-3,-3,点击中考:,3、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示，下列结论： a+b+c0，a-b+c0； abc0；b=2a 中正确个数为 ( ) A.4个

11、 B.3个 C.2个 D.1个,A,4、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0),C,当x= 1时,y=a+b+c,当x=-1时,y=a-b+c,a 0,x=,=-1,D,5.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、 c间的关系判断正确的是( ) A.ab 0 D.a-b+c 0,6.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图，则不等式bx+a0的 解为 ( ) A.x B.x C.x D.x ,D,a 0,b 0,c 0,a 0,b 0,D,7、若抛物线y=a

12、x2+3x+1与x轴有两 个交点，则a的取值范围是 ( ) A.a0 B.a C.a D.a 且a0,1、已知抛物线 yx-mx+m-1.,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_；,= 1,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_；,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_。,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_.,1,= 2,= 0,练习：,2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论： a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，

13、抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。,（2） 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是_,1,-1,0,x,y,abc b 2a+b=0 =b-4ac 0,结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。,五、二次函数抛物线的平移,温馨提示： 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.,0,2,2,4,-2,-4,-2,4,2,6,2,x,y,y=x2-1,y=x2,y=x2,向下平移 1个单位,y=x2-1,向左平移 2个单位,y=(x+2)2,y=(x+

14、2)2,y=(x+2)2-1,(0,0),(-2,-1),y=(x+2)2-1,上下左右平移抓住 顶点的变化,例：,平移法则：左加右减，上加下减,练习 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,（4）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像

15、，其对称轴是 ，顶点是 ，当x_ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （5）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x=_ 时，y有最 值，是 .,y=2(x-3)2,直线x=3,(3，0),3,3,y= -3(x+1)2,(-1，0),直线x=-1,-1,大,0,（6）将抛物线y=2x23先向上平移3单位，就得到函数 的图象，再向 平移_ 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.,y=2x2,右,3,（7）函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( ) A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状

16、4.已知抛物线y=2x21上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1x20，则y1 y2(填“”或“”) （8）已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？,C,上下左右平移,抓住顶点的变化!,记住：,六、二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,归纳如下：,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b

17、2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,具体这样理解：1、 当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2时，y0,即ax2+bx+c0 ; 当x1xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,2、当a0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x10,即ax2+bx+c0 ;当xx2时，y0, 即ax2+bx+c0.,3、 当a0, =0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在

18、x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当xx1（或xx2）时，y0,即ax2+bx+c0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c0.,y0,4、当a0.,y0,5、当a0, 0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y0 .,y0,无论 x 取何值，都不可能有y0。,例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1,(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。,（2

19、）当m为何值时，函数y的图像经过原点。,（3）指出（2）的图像中，使y0时， x的取值范围及使y0时， x的取值范围,2、求抛物线 与y轴的交点坐标; 与x轴的两个交点间的距离. x取何值时，y0?,1、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0 ）的值永远为正的条件是_,a0, b-4ac0,-3,1,6,(-1,8),-1,练习,3、(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x

20、1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=,5.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ ）,-3.3,B,6.根据下列表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24 C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26,C,(1).用描点法作二次函数y=x2

21、+2x-10的图象；,7、利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.解法1：,(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2). 作直线y=3；,(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；,利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.,(3).观察估计抛物线y

22、=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；,解法2,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同

23、a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.,七、二次函数基础知识的综合运用,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x

24、-5,3、如图， 已知抛物线 y=ax+bx+3 （a0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C (1) 求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. (3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 (4) 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标,3、如图， 已知抛物线y=ax+bx+3 （a0）与 x轴交于点A

25、(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C (1) 求抛物线的解析式；,（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.,Q,(1,0),(-3,0),(0,3),y=-x-2x+3,Q(-1,2),(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由,以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。 作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。,(1,0),

26、(-3,0),(0,3),(-1,0),(4) 如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标,E,F,(1,0),(0,3),(-3,0),(m,-m-2m+3 ),八、二次函数在实际生活中的应用：,同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！,（一）何时获得最大利润？,水柱形成形状,篮球在空中经过的路径,何时获得最大利润？,问题：已知某商品的进价为每件40元。现在 的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能

27、使利润最大？,来到商场,解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.,y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250,当x=5时，y的最大值是6250.,定价:60+5=65（元）,(0 x30),怎样确定x的取值范围,解:设每件降价x元时的总利润为y元.,y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20

28、（x-2.5）2+6125 （0 x20） 所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.,答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.,由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,怎样确定x的取值范围,（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 特别注意：若顶点横坐标在自变量的取值范围内，则顶点纵坐标就是最值；若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，则要根据二次函数的增减性来确定最值。,解这类题目的一般步骤,某商店

29、购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?,解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元,我来当老板,1、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃 园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成已 知墙长为18米(如图所

30、示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米 (1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围,（二）面积最大问题：,来到农场,(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值 (3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围 答案：(1)y302x(6x15)(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，最大值为112.5平方米(3)6x11,2、(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。,(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？,(0x10),(1)求y与x的函数关系式及自变

31、量的取值范围；,(2)怎样围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？,3、如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面 积为y平方米。,4、如图，在一面靠墙的空地上用长 为24 m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆 的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m， 面积为S m2。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取 值范围；,4、如图，在一面靠墙的空地上用长 为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆 的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm， 面积为Sm2。 (2)当x取何值时，所围成花圃的面积最 大？最大值是多少？,4、如图，在一面靠墙的空地上用长 为24m的篱笆，围成中间隔有两道

32、篱笆 的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm， 面积为Sm2。 (3)若墙的最大可用长度为8m，求围成 的花圃的最大面积。,5、何时窗户通过的光线最多,某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?,6、用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？,7、如图是一块三角形废料，A=30， C=90，AB=12。用这块废料剪出一 个长方形CDEF，其中，点D、E、F分

33、 别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方 形CDEF的面积最大，点E应选在何处？,8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设PBQ的面积为 S(cm2)，移动时间为t(s)。 (1)求S与t的函数关系；,8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm， BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的 速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的 速度移动。如果P、Q分别从A、B同时 出发，设PBQ的面积为 S(cm2)，移动时间为t(s)。 (2)当移动时间为多少时，

34、 PBQ的面积最大？是 多少？,9、如图，ABC中，B=90，AB= 6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边 向B以1cm/s的速度移动；点Q从B开始 沿BC边向C以2cm/s的速度移动。如果 P、Q同时出发，问经过几秒钟, PQB的面积最大？最大面积 是多少？,10、在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为

35、Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； t为何值时S最小？求出S的最小值。,11、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).,(1)求A、B两点的坐标；,（2)设OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0t6)，试求S 与t的函数表达式；,(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？,喷泉(1),请您欣赏生活中的抛物线,焰火,具有二次函数的图象抛物线的特征,如图所示,

36、公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为 水流形状较为漂 亮,要求设计成 水流在离OA距离 为1m处达到距水 面最大高2.25m.,（三）喷泉与二次函数问题：,来到公园,(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？,喷泉与二次函数,解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25).,设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.2

37、5.,喷泉与二次函数,解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25)., C(2.5,0), D(-2.5,0),喷泉与二次函数,当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0); 同理,点D的坐标为(-2.5,0).,解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25)., C(2.5,0), D(-2.5,0),喷泉与二次函数,根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.,(2)若水流喷出的抛物线形状 与(1)相同,水池的半径为3.5m

38、, 要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？,喷泉与二次函数,设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7)2+729/196., C(3.5,0), D(-3.5,0),B(1.57,3.72),喷泉与二次函数,解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为 (0,1.25),点C坐标为(3.5,0).,或设抛物线为y=-x2+bx+c, 由待定系数法可求得抛物线表达为: y=-x2+22/7X+5/4., C(3.5,0), D(-3.5,0),B(1.57,3.72),喷泉与二次函数,解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为

39、 (0,1.25),点C坐标为(3.5,0)., C(3.5,0), D(-3.5,0),B(1.57,3.72),喷泉与二次函数,解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为 (0,1.25),点C坐标为(3.5,0).,由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.,（四）桥拱与二次函数问题：,例1某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽16m，涵洞顶点O到水面的距离为24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？,来到小桥旁,分析： 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称

40、轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式,A,B,解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。 由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4）， 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入 ,得 所以 因此，函数关系式是,B,A,解一,解二,解三,例2：,图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？,继续,来到小桥旁,可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:,当拱桥离水面2m时,水面宽4m,即抛物线过点(2,-2),这条抛物线所表示的二次函数为:,当水

41、面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:,当水面下降1m时,水面宽度增加了,返回,解二,如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.,这条抛物线所表示的二次函数为:,当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:,当水面下降1m时,水面宽度增加了,可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:,此时,抛物线的顶点为(0,2),返回,解三,如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.,返回,例1、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m

42、,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.,（五）隧道与二次函数,来到隧道旁,解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.,AB=4,A(-2,0) B(2,0),OC=4.4,C(0,4.4),设抛物线所表示的二次函数为,抛物线过A(-2,0),抛物线所表示的二次函数为,汽车能顺利经过大门.,例2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？,（1）卡车可以通过.,提示：当x=1时，y =3.75, 3.7524.,（2）卡车可以通过.