量子力学期末考试题及解答

1、一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式; 解答：由波函数的概率波解释可知，当已经归一化时，坐标的取值概率密度为 （1）将上式的两端分别对时间求偏微商，得到 （2）若位势为实数，即，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式 （3） （4）将上述两式代入（2）式，得到 （5）若令 （6）有 （7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。2.若线性谐振子处于第一激发态 求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数。解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知 （1）利用积分公示 （2）可以得到归一化常数为 （3）坐标的取值概率密度为 （4）由坐标概率密度取

2、极值的条件 （5）知有五个极值点，它们分别是 （6）为了确定极大值，需要计算的二阶导数 （7）于是有 取极小值 （8） 取极小值 （9） 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为 （11）3.半壁无限高势垒的位势为 求粒子能量在范围内的解。解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为I、II和III。在三个区域中，满足有限性要求的波函数分别为 （1）其中 （2） （3）由处的连接条件 （4）知 （5）即要求 （6）于是 （7）再由处的连接条件 （8）得到 （9）由上式可得 （10）此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用图解法求解。由于余切为负值，所以角度在第2或第4

3、象限。若令 （11）则式（10）可以写成 （12）若用作图法求解上式，则其解是曲线 （13）与 （14）在第2或第4象限的交点。4. 带电线性谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量为、电荷为、角频率为。解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为 （1）设哈密顿算符满足本证方程 （2）利用配方的方法改写其势能项为 （3）若令 （4） （5）则定态薛定谔方程可以写为 （6）此即正常的线性谐振子的能量本证方程，它的解为 (7)利用式（4）、（5）可以得到电场中线谐振子的本证解为 （8） （9）5.已知做一维运动的粒子处于束缚定态 求粒子的能量及所处的位势。其中，为归一

4、化常数，。解答：将一维束缚定态薛定谔方程 （1）改写为 （2）利用已知的波函数，计算它的一阶导数 （3）进而求出的二阶导数 （4）将上式代入式（2）,得到 （5）若取处的位势为零，则能量本征值为 （6）将上式代入（5）式，立即得到位势的形式 （7）6.设质量为的粒子处于一维势阱之中 式中，。若粒子具有一个的本征态，试确定此势阱的宽度。解答：对于的情况，三个区域中的波函数分别为 （1）式中 ， （2）利用波函数在处的连接条件知，。取，于是 （3）在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 （4）得到 （5）于是有 （6）此即能量满足的超越方程。 当时，由于 （7）故 （8） 最后，得到势阱的宽度为

5、（9）7.设粒子处于如下势场 若，求在处的反射系数和透射系数。解答：具有能量的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为 （1） （2）式中 （3）利用波函数在处的连接条件，得到 ； （4）将、用来表示，则有 ； （5）于是反射系数与透射系数分别为 ； （6）把式（3）代入式（6）得到反射系数为 (7)进而可得透射系数为 (8)当时，有 （9） 8.质量为m的粒子处于一维位势 中，写出其能量本征值时满足的方程。9. 设质量为m的粒子处于一维势阱之中若已知该粒子在此阱中存在一个能量为态，试确定此势阱的宽度。解答：三个区域中的波函数分别为 （1）式中 ， （2）利用波函数在处的连接条件知，。取，于

6、是 （3）在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 （4）得到 （5）于是有 （6）此即能量满足的超越方程。10.有一个粒子沿轴方向运动其波函数为，试求：（1）将此波函数归一化；（2）求出粒子按坐标的概率密度分布函数；（3）问在何处找到粒子的概率最大？为多少？解答：（1）的共轭复数为利用归一化条件 得到 归一化后的波函数为 （2）粒子的概率密度为 其中，得到（1） 概率最大时： 11.一个质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动。求粒子在阱内外的能量本征值和本征函数。二、 力学量的算符表示1.计算对易子解答：对于任意的波函数，有 由于是一个任意的波函数，所以 2.计算对易子解答：对于任意的波函数，有

7、 由于是一个任意的波函数，所以 3.计算对易子解答：对于任意的波函数，有 由于是一个任意的波函数，所以 4.定义轨道角动量算符，计算，其中 解答：利用对易子代数的运算规则，有 5.定义轨道角动量算符，计算，其中 解答：利用对易子代数的运算规则，有 = 6.定义轨道角动量算符，计算，其中 解答：利用对易子代数的运算规则，有 7.证明算符是厄密算符。证明：因为与不对易，与都不是厄密算符，所以不能直接判断算符的厄密性质，但是 因为是厄密算符，所以也是厄密算符。8.证明算符是厄密算符。证明：利用与的厄密性质及 ，得到 显然，是自共轭算符，所以它是厄密算符。9.证明厄密算符的本征值是实数。证明：利用厄密

8、算符的定义，取任意状态，有 所以厄密算符在任意态下的平均值总是实数。用厄密算符属于本征值的本证函数的复共轭左乘 然后对全空间做积分，并利用的归一化条件，得到 上式的左端就是算符在其本征态下的平均值，于是有 由于厄密算符在任意态下的平均值都是实数，所以厄密算符的本征值一定是实数。10.证明厄密算符的无简并本证函数满足正交归一化条件。证明：对于算符的任意两个归一化的本证函数与，利用算符的厄密性质 （1）可得 （2）整理得 (3)当时， (4)当时，由本证函数的归一化条件知 (5)上述两式可以统一写成 (6)上式就是厄密算符本证函数的正交归一化条件。11.证明：若算符与分别满足本证方程 和则必有。证

9、明：当算符和有共同本证函数系时，利用 和有 (1) (2)将上述两式相减，立即得到 (3)对于任意状态，总可以向完备系展开，即 (4)用从左作用上式两端，利用式（3）得到 (5)根据的任意性知 (6)12.若算符与满足对易关系，且算符满足本证方程的本征值是无简并的，则也是算符的本征态。证明： （1）用算符作用（1）式两端，有 （2）由上式可知也是算符的对应本征值的本征态，它与只能差一个常数，若设其为，则有 （3）说明不但是算符的本征态，而且也是算符的本征态。13.证明下述两个平均值公式 （1） （2）是等价的。式中为时刻在态上测量得的概率。先由（1）（2）在状态上，力学量的平均值为 由力学量平

10、均值的定义可知，展开系数的模方是时刻在状态上测量力学量得值的概率，故取值概率和平均值分别为 再由（2）（1）由展开假定可知 其中展开系数为 将上述两式代入（2）式，利用封闭关系，得到 14.设粒子处于状态 求（1）在上分别测量和的可能取值与相应的取值概率； （2）在上同时测量和，测得，和，的概率； （3）先在上测量得到后，紧接着测量的可能取值与相应的取值概率； （4）先在上测量得到后，紧接着测量的可能取值与相应的取值概率。解答：首先，判断是否是归一化的状态，由 知 其余。于是有 所以已经是归一化的状态。其次，计算四种情况下各力学量的可能取值与相应的取值概率。（1）在态上，算符的本征值 相应的取

11、值概率公式为 具体计算结果为 算符的本征值 相应的取值概率公式为 具体计算结果为 （2）因为算符与是对易的，所以两者有共同的本证函数系，并且可以同时取确定值。相应的取值概率分别为 （3）先在状态上测量得后，状态已经变到的本征态上，而它恰好是的对应本征值的本征态，所以这时再测量必将得到确定值，或者说，测量值的概率是1。但是，由于在状态上测量得的概率是，所以，如果从出发，则测得的概率应是。（4）在状态上测量后，使得状态变到一个新的状态 为了求出在上的可能取值与相应的取值概率，必须将归一化，令 于是由 得 归一化后的为 在状态上测量得和的概率分别为 如果从状态出发，则相应的取值概率分别为15.推导力

12、学量算符的运动方程 推导:在任意满足薛定谔方程的状态上，力学量的平均值为 （1）将上式两端对时间求导，有 （2）由薛定谔方程及其共轭方程知 （3）当是实数时，有，将式（3）代入式（2），并且利用的厄密性质，有 （4） （5）引入一个新的算符，它是用算符的平均值定义的，即 （6）算符称为力学量算符的时间微分算符。由（5）式可知 （7）16.证明位力（Virial）定理若哈密顿算符为 (1)对于定态而言，则有 (2)证明：因为 (3)将（1）式代入（3）式，得到 （4）其中 （5） （6）于是有 （7）对于定态而言，因为 （8）所以 （9）上式与时间无关，故有 （10）将（10）式代入（7）式即得

13、（2）式。17.海尔曼费恩曼定理对哈密顿算符的束缚本征态而言，有 其中，是算符中的一个参数，是对应的本正能量。证明：因为所以有 18.设粒子在宽为的非对称的一维无限深方势阱中运动，若粒子处于状态 求粒子能量的可能取值与相应的取值概率。解答：已知在非对称的一维无限深方势阱中运动的粒子的能量本证解为 （1） (2)由展开假定可知 (3)其中展开系数为 (4) 由（4）式知，波函数是归一化的。于是能量的可能取值与相应的取值概率为 ，取其它值的概率为零。19.线性谐振子在时处于状态 其中。分别求出和时能量的取值概率及平均值。解答;已知线性谐振子的能量本证解为 特别是，当时有 于是，时的波函数可以改写成

14、 容易验证它是归一化的波函数。并且，由展开假定知 其中 于是时能量的取值概率为 能量取其他值的概率皆为零。能量的平均值为因为 所以时的波函数可以写成 显然，哈密顿量为守恒量，它的取值概率及平均值不随时间改变，故与时的结果完全相同。20.设氢原子在时处于状态 求其能量、角动量平方及角动量分量的取值概率及平均值；写出在时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量分量的取值概率及平均值。解答：已知氢原子的本证解为 将向氢原子的本征态展开 不为零的展开系数只有三个，即 显然，题中所给出的状态并未归一化，容易求出归一化常数为，于是归一化后的波函数为 能量的取值概率为 ，平均值为 不为零的角动量平方

15、的取值概率只有 平均值为 角动量分量的取值概率为 ，平均值为 在时刻，体系的波函数为 由于能量、角动量平方及角动量分量算符皆为守恒量，所以它们的取值概率及平均值不随时间改变，故与时的结果完全相同。21.在时刻，氢原子处于状态 式中为氢原子的第个本征态。计算时能量的取值概率与平均值，写出的波函数。解答：已知氢原子的本证解为 ， 由波函数归一化条件可知归一化常数为 不为零的能量的取值概率为 ，能量平均值为 当时，波函数为 22.线性谐振子在t=0时处于态上，其中为线性谐振子第n个本征值对应的本证函数。（1） 求在态上能量的可测值、取值概率与平均值；写出t0时刻的波函数及相应的能量取值概率与平均值。

16、23.设氢原子处于状态 在此状态下，计算、。（提示：）解答：状态是氢原子的归一化基态。利用定积分公式 计算径向坐标的平均值 =势能的平均值为 24.类氢离子（核电荷为）中电子处于束缚态，在此束缚态下，计算平均值与。解答：已知类氢离子的本证值为 （1）式中为类氢离子的玻尔半径，为类氢离子中电子的折合质量。由位力定理知 (2)在状态下，总能量 (3)所以得到 (4)类氢离子的哈密顿算符为 (5)将视为参数，得到 (6)由于 (7)所以 (8)利用赫尔曼费恩曼定理，由式（6）和时（8）有 (9)25.质量为的粒子，在阱宽为的非对称一维无限深势阱中运动，当时，粒子的状态，其中为粒子的的本征函数。求：（

17、1）时能量的取值几率及能量平均值；（2）时波函数；（3）时能量的取值几率及能量平均值。三、 表象理论1.已知在和的共同表象中，当时，算符的矩阵形式为 求其本征值及相应的本证函数。解答：在和的共同表象中，的本证方程为 相应的久期方程为 于是得到满足的代数方程 显然。当时，将其代回本证方程得 由上式可知 于是有 利用归一化条件 得到 当 时，本证函数的矩阵形式为 同理可以求出时相应的本证函数的矩阵形式分别为，2.已知在和的共同表象中，当时，算符的矩阵形式为 求其本征值及相应的本证函数。3.已知算符、满足，证明，并在表象中求出的矩阵表示。解答：由题给条件可知 （1）设算符满足的本证方程为 （2）则有

18、 （3）由（1）式可知 （4）显然有 （5）在自身表象中，算符的矩阵形式为 （6）设算符在表象中的矩阵形式为 （7）利用 （8）得到 (9)再利用 (10)又得到 (11)只有否则算符。最后，根据条件 (12)即 (13)可定出 (14)在表象中的矩阵形式为 (15)4.设厄密算符，满足 ，分别在和表象中写出算符、的矩阵表示，并求出它们的本征值和本证函数，最后给出由表象到表象的幺正变换矩阵。解答：设算符满足本证方程 用算符左乘上式两端，并利用，得到 于是有 所以，算符在自身表象中的矩阵形式为 同理可知，算符在自身表象中的矩阵形式为 设算符在表象中的矩阵形式为 利用关系式，知 求出 利用算符的厄

19、密性质，得到 利用关系式，定出 式中为任意实常数。于是算符在表象中的矩阵形式为 同理可知，算符在表象中的矩阵形式为 在表象中，算符的本征值为，相应的本证函数为 算符的本征值为，相应的本证函数为 在表象中，算符的本征值为，相应的本证函数为。算符的本征值为，相应的本证函数为 由表象到表象的幺正变换矩阵就是算符在表象中的本证函数按列排成的矩阵，即 5.证明在的共同本征态下，。证明：由于是的本征态，所以有 利用对易关系 得 同理，利用对易关系 得 6.求在的共同本征态下，的平均值。解答：和的本证方程为 由对易关系得（右乘） （1）由对易关系得（左乘） （2）由（2）式得 此式代入（1）式得 因此 即

20、但，因此 从而 7.求在的共同本征态下，的平均值。解答：和的本证方程为 由对易关系得（右乘） （1）由对易关系得（左乘） （2）由（2）式得 此式代入（1）式得 因此 即 但，因此 从而 8.求在的共同本征态下，的可能取值及相应的取值概率。解答：在下，的可能取值显然为零。的可能测值是，（因为），如果设相应的概率分别为，则 （1）容易证明，在共同本征态下，因此得 所以 （2）又因为 因此，在下 而 所以 （3）由（1）、（2）、（3）式解得 9.设和是与泡利算符对易的两个矢量算符，证明 证明：将等式左端写成分量形式，即 利用 及 得到 10.证明，并求出它们的本征值。证明：在泡利表象下 所以有

21、设的本征值为，本证矢为，的本证方程为 其久期方程为 解得 同理可得，的本征值也是111.求的本征值及相应的本证函数。解答：设的本征值为，本证矢为，的本证方程为 （1）其久期方程为 （2）解得 将代回方程（1）得：再利用归一化条件得， 同理可得 12.求的本征值及相应的本证矢。13.证明，并由此求出的本征值。14.若体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中，用矩阵方法证明 证明：在能量表象中，有 （1）换一种方法计算同一个矩阵元，即 （2）由上面两式知 （3）已知对易关系 （4）对上式两端计算对角元，即 （5）整理后得到 （6）15.已知算符的矩阵表示为，求的本征值与本征函数。16.求自旋为的算

22、符在方向的投影 的本征值和相应的本证矢量。在其两个本征态上，求的取值概率和平均值。四、定态微扰论1.设一维非线性谐振子的哈密顿量为 式中，试用微扰论方法计算基态能量的一级近似值，并与精确值进行比较。2.设一维非线性谐振子的哈密顿量为 式中，（为实常数）求二级近似下的能量本征值。解答：已知 ， 计算一级微扰：计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为零： 计算： 又，所以 3.设一量子体系的哈密顿量为，其中 ，的实数。求二级近似下的能量本征值，并与精确值进行比较。解答：利用无简并微扰论公式 （1） （2） （3）如果直接求解哈密顿算符满足的本证方程 （4）则相应的久期方程 （5）可知本征值为 （6）由于微扰论的使用条件为 （7）所以（6）式中的第二项可以写成 （8）将上式取至二级近似，并代入式（6）得到 （9） （10）4.在表象中，若体系的哈密顿量的矩阵形式为 其中，的实数，