圆中常用的作辅助线的八种方法

1、阶段方法技巧训练（一）,专训2圆中常用的作辅助 线的八种方法,1,2020/10/20,在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要 添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至 关重要圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧 用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所 对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周 角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及 “作垂直，证半径”等,2,2020/10/20,1,方法,作半径，巧用同圆的半径相等,1如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD 的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径 上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半 圆O的直径上，点G在

2、大正方形的边AB上若小正 方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径,3,2,如图，连接OA，OF. 设OAOFr cm，ABa cm. 在RtOAB中，r2 a2， 在RtOEF中，r242 ， a216164a . 解得a18，a24(舍去) r2 8280. r14 ，r24 (舍去) 即该半圆的半径为4 cm.,解：,4,2,在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题,5,2,2,方法,连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等,2如图，圆内接三角形ABC的外角ACM的平分线 与圆交于D点，DPAC，垂足是P，DHBM， 垂足为H.

3、求证：APBH.,6,2,如图，连接AD，BD. DAC、DBC是DC所对的圆周角 DACDBC. CD平分ACM，DPAC，DHCM， DPDH. 在ADP和BDH中， ADPBDH. APBH.,证明：,7,2,本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到DACDBC，为证两三角形全等创造了条件,8,2,3,作直径，巧用直径所对的圆周角是直角,方法,3如图，O的半径为R，弦AB，CD互相垂直， 连接AD，BC. (1)求证：AD2BC24R2；,9,2,(1) 如图，过点D作O的直径DE，连接AE，EC，AC. DE是O的直径， ECDEAD90. 又CDAB，ECAB

4、. BACACE. BCAE. BCAE. 在RtAED中，AD2AE2DE2， AD2BC24R2.,证明：,10,2,(2)若弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根 (ADBC)，求O的半径及点O到AD的距离,(2)如图，过点O作OFAD于点F. 弦AD，BC的长是方程x26x50的两个根 (ADBC)， AD5，BC1.,解：,11,2,由(1)知，AD2BC24R2， 52124R2. R . EAD90，OFAD， OFEA. 又O为DE的中点， OF AE BC . 即点O到AD的距离为 .,12,2,本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题

5、带来了方便,13,2,4,证切线时辅助线作法的应用,方法,4如图，ABC内接于O，CACB，CDAB且 与OA的延长线交于点D. 判断CD与O的位置关 系，并说明理由,14,2,CD与O相切，理由如下： 如图，作直径CE，连接AE. CE是直径，EAC90. EACE90. CACB，BCAB. ABCD， ACDCAB. BACD. 又BE，ACDE. ACEACD90，即OCDC. 又OC为O的半径，CD与O相切,解：,15,2,5,遇弦加弦心距或半径,方法,5如图所示，在半径为5的O中，AB，CD是互相 垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP 的长为() A3 B4 C3 D4,C

6、,16,2,6【中考贵港】如图所示，AB是O的弦， OHAB于点H，点P是优弧上一点， 若AB2 ，OH1， 则APB的度数是_,17,2,6,遇直径巧加直径所对的圆周角,方法,7如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的 O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点,18,2,(1)求证：ABC为等边三角形,(1) 如图，连接AD， AB是O的直径， ADB90. 点D是BC的中点， AD是线段BC的垂直平分线 ABAC. ABBC，ABBCAC， ABC为等边三角形,证明：,19,2,(2)求DE的长,(2)如图，连接BE. AB是直径， AEB90，BEAC. ABC是等边三角形，

7、 AEEC，即E为AC的中点 D是BC的中点，故DE为ABC的中位线 DE AB 21.,解：,20,2,7,遇切线巧作过切点的半径,方法,8如图，O是RtABC的外接圆，ABC90， 点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.,21,2,(1)求证：PB是O的切线；,(1) 如图，连接OB，OAOB， OABOBA. PAPB， PABPBA. OABPABOBAPBA. 即PAOPBO. 又PA是O的切线，PAO90. PBO90. OBPB. 又OB是O的半径， PB是O的切线,证明：,22,2,(2)已知PA ，ACB60，求O的半径,(2)如图，连接OP， PAPB， 点P在线段A

8、B的垂直平分线上 OAOB， 点O在线段AB的垂直平分线上 OP为线段AB的垂直平分线,解：,23,2,又BCAB， POBC. AOPACB60. 由(1)知PAO90. APO30. PO2AO. 在RtAPO中，AO2PA2PO2， AO23(2AO)2. 又AO0， AO1，O的半径为1.,24,2,8,巧添辅助线计算阴影部分的面积,方法,9【中考自贡】如图所示，点B，C，D都在O上， 过点C作ACBD交OB的延长线于点A，连接CD， 且CDBOBD30，DB6 cm.,25,2,(1)求证：AC是O的切线；,(1)如图，连接CO，交DB于点E， O2CDB60. 又OBE30， BEO180603090. ACBD，ACOBEO90. 即OCAC. 又点C在O上， AC是O的切线,证明：,26,2,(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积 (结果保留),(2)OED