魏杰信号与系统电子教案l08_ch4

1、信号与系统Signals andSystems魏杰电子信息工程学院第4章 信号的频域分析4.1 连续时间周期信号的频域分析4.2 连续时间非周期信号的频域分析4.3 离散周期信号的频域分析4.4 离散非周期信号的频域分析4.5 信号的时域抽样和频域抽样2学习要求1.从数学概念、物理概念及工程概念深刻理解周期信号频谱的概念及非周期信号频谱密度的概念。掌握连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离 散非周期信号的频域分析方法，从数学概念、物理概念及 工程概念理解信号时域与频域的关系。掌握常见连续时间信号的频谱，以及傅里叶变换的基本性 质、物理含义及应用。深刻理解和灵活应用时域抽样定理和频域抽样

2、定理。能够利用MATLAB进行信号的频域分析。2.3.4.5.3重点和难点本章的重点是连续时间信号与离散时间信号的频域分析本章的难点是连续时间信号与离散时间信号的频域分析44.1 连续时间周期信号的频域分析4.1.1 周期信号Fourier级数表示4.1.2 周期信号的频谱4.1.3 连续Fourier级数的基本性质4.1.4 连续周期信号的功率谱54.1 连续时间周期信号的频域分析什么是变换？通过提取信号特征进行信号分析的一种工具（数学工具）变换 另一种特征简言之，一种特征傅里叶变换：（F-变换）时域（时间域）本章的意义：频域（频率域）作为信号与系统分析的一种非常重要的工具可广泛应用于通信及

3、数字信号处理领域也是研究其它变换方法的基础本课程重中之重64.1 连续时间周期信号的频域分析1822年，Fourier证明了将周期信号展开为正弦级数原理傅里叶级数将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合。意义：从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的响应， 利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,以及每个正弦分量通过系统后的变化。74.1.1 周期信号的Fourier级数表示1.周期信号展开为傅里叶级数条件周期信号 x (t) 应满足Dirichlet条件，即：(1) 在一个周期内绝对

4、可积，即满足(2) 在一个周期内的不连续点的个数有限；(3) 在一个周期内的极大值和极小值点的个数有限。8注意：条件(1)为充分条件但不是必要条件； 条件(2)(3)是必要条件但不是充分条件。T2 0x(t) dt -T0 24.1.1 周期信号的Fourier级数表示2. 指数形式傅里叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中n = 1的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量n = 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量n = N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义： 周期信号 x(t) 可以分解为不同频率虚指数信号之和9C=

5、1T0 +t0 x(t)e- jnw0tdtnTt00x(t) = C e jnw0tnn =-4.1.1 周期信号的Fourier级数表示3. 三角形式傅里叶级数利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式-1(e- jnw0t )n=1w tw tw tx(t) = C+=C+ CjnjnjnC eC eC e000-n0nn0nn=-n=1= an + jbn= an - jbnCC则有令-nn22= a0C由于C 是实数，所以 b = 0，故0002将C0 、Cn、 C-n代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式10若x (t)为实函数，则Cn 具有共轭偶对称性。即Cn

6、= C *-n4.1.1 周期信号的Fourier级数表示3. 三角形式傅里叶级数2t0 +T0其中：a=直流分量x(t)dt0T02t0t0 +T0tx(t) cos(nw t)dt,n=1,2a=余弦分量n0T020t0 +T0x(t) sin(nw t)dt, n=1,2b=正弦分量n0T0t011x(t) = a0 + acos(nw t ) + bsin (nw t )2n0n0n=14.1.1 周期信号的Fourier级数表示3. 三角形式傅里叶级数 纯余弦形式傅里叶级数jn = arctan (-bnan )其中A=+ b2a2nnna0/2称为信号的直流分量，An cos(nw

7、0 t + jn) 称为信号的n次谐波分量。12x(t) = a0 + Acos(nw t + j)2n0nn=14.1.1 周期信号的Fourier级数表示4. 对称特性(1) 纵轴对称信号x(t) = x(-t)x (t)At-T0-T0 / 2T00T0 / 224T0 2T0 2x(t) cos(nw t)dt =w t)dta=x(t) cos(nn00T02T0-T200T0 2x(t) sin(nw t)dt = 0b=n0T0-T20纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦各次谐波分量。134.1.1 周期信号的Fourier级数表示4. 对称特性(2) 原点对称

8、信号x(t) = -x(-t)x (t)At0-A2T0 2x(t) cos(nw0t)dt = 02an =T02-T04T0 2T0 2x(t) sin(nw t)dt =w t)dtb=x(t) sin(nn00T0T0-T200 14原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦各次谐波分量。T0 / 2-T0 / 24.1.1 周期信号的Fourier级数表示4. 对称特性(3) 半波重叠信号x(t) = x(t T0x (t)2)At-T0-T0 / 20T0 / 2T015半波重叠周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。4.1.1 周期信号

9、的Fourier级数表示4. 对称特性(4) 半波镜像信号x(t) = -x(t T0x (t)2)AT0/2T0t0-A半波镜像周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。16说明 ：某些信号波形经上下或左右平移后， 才呈现出某种对称特性x(t)ALL去掉直流分量后，- 3T- 2T-T0Tx(t)2T3T信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。LA / 2L- 3T - 2T-T0T2T3T174.1.2 周期信号的频谱1. 频谱的概念周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和不同的时域信号，只是傅里叶级数的

10、系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。Cn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。18x(t) = C e jnw0tnn =-例1试计算图示周期矩形脉冲信号 x (t) 的傅里叶级数展开式。x (t)At-t/2 0t/2-TT00解:该周期信号 x (t) 显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。tT0211x(t)e- jnw0tdt =Ae- jnw0t dtC=2tnTTT-0-0022因此，x(t) 的指数形式傅里叶级数展开式为nw tAt2x(t) = Cnen =- Sa( 0)ejnw tjnw t

11、w=0=00TT219n=-00=At Sa( nw0t )T02例1试计算图示周期矩形脉冲信号 x (t) 的傅里叶级数展开式。x (t)At-t/2 0t/2-TT00由于x (t) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式傅里叶级数展开式为解:w tx(t) = At + t2An()w tSa(0) cosn0TT2n=100若t =T /2，则有0= 2x (t) =A + 2 A (cos w t - 1 cos 3w t + 1 cos 5w t -L)w0000T202350例2试计算图示周期三角脉冲信号 x (t) 的傅里叶级数展开式。x (t)1t-2-1102解:该周期信号显然

12、满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在1x(t)e- jnw0tdt = 1 (T0 201te- jnw0t dt)-te- jnw0tdt +C=nT02-T2100101e- jnw0tdt)(te- jnw0te- jnw0t dt - te- jnw0t=-+0-1102 jnw-100w= 2 = 1=(cos n -1)0T(n)2021试计算图示周期三角脉冲信号 x (t) 的傅里叶级数展开式。例2x (t)1t-2-1102-2(n)2n为奇数n = 0others解:(cos n -1) = 1C=1 2n(n)20周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为w= 2 = 0T0

13、2212n2 (2m -1)2x(t) = C e jnw0t =-e j (2m-1)w0tn =-m=-试计算图示周期三角脉冲信号 x (t) 的傅里叶级数展开式。例2x (t)1t-2-1102解:w t由 x(t) = C+jn2R (C e)00enn=1周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为w= 2 = 0T0= 1 -2444cosw t -cos 3w t -cos 5w t -L00029225223x(t) = 1 - 4cos (2m -1)w t 2(2m -1)20m=1x (t) = 3cos(w t + 4)0例3求 Cn 。x (t) = 3cos(w t

14、 + 4)01解:j (w- j (wt +4)t +4)= 3+ ee002j 433w tw t- j 4- j=+jeeee 20 20根据指数形式傅里叶级数的定义可得C= 3 e j4 ,= 3 e- j 42= 0,n 1CC-11n2244.1.2 周期信号的频谱2. 频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。e jjnCn= Cn相位频谱幅度频谱25例4画出周期矩形脉冲信号的频谱图。x (t)At-t/2t/2-T0T00CnAtT0- 22ttnw00 w0 = 2p T026C= At Sa( nw0t )nT20例5已知连续周期信号的频

15、谱如图，试写出(w0= 3)。信号的Fourier级数表示式Cn4332211nw0C3-9-6-3C0 = 403= 369= 1= 2C1解： 由图可知C2w tx(t) =jnC e0nn=-= 4 + 3(e jw0t+ e- jw0t ) + (e j 2w0t + e- j 2w0t ) + 2(e j 3w0t + e- j 3w0t )= 4 + 6 cos(w0t) + 2 cos(2w0t) + 4 cos(3w0t)274.1.2 周期信号的频谱3. 频谱的特性(1) 离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为w0 的谱线组成的。28信号周期 T0越大，w0就越小，则谱线越密。

16、反之， T0越小，w0就越大，则谱线越疏。4.1.2 周期信号的频谱3. 频谱的特性(2) 幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多， 高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。x (t) 不连续时，|Cn|按1/n 的速度衰减x (t)连续而其一阶导数不连续时，|Cn|按1/n2的速度衰减294.1.2 周期信号的频谱3. 频谱的特性(3) 信号的有效带宽02p /t 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即信号的有效带宽与信号时域的持续时间t

17、成反比。即t 越大，其wB越小；反之，t 越小，其wB 越大。30w= 2Bt4.1.2 周期信号的频谱3. 频谱的特性(3) 信号的有效带宽信号的有效带宽有多种定义方式。物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：信号带宽须与传输信道匹配传输系统设计内容之一314.1.2 周期信号的频谱4. 相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变324.1.3 连续Fourier级数的基本性质线性特性若x (t) C,x(t) C11n22n对称特性若 x (t)为实信号，则jn= -j-n Cn |=| C- n |3

18、3则有a1 x1 (t) + a2 x2 (t) a1 C1n + a2 C2n4.1.3 连续Fourier级数的基本性质时移特性若x(t) Cn频移特性若x(t) Cn34则有x(t)e jMw0t Cn-M则有x(t - t) e- jnw0t0 C0n4.1.3 连续Fourier级数的基本性质卷积性质若x (t)和x(t)均是周期为T 的周期信号，且120x (t) C,x(t) C11n22n微分特性x (t) 若Cn35则有x (t) jnw0Cn则有x1 (t) * x2 (t) T0C1n C2n例6求图示周期信号的傅里叶级数。x (t)2nntn=1x(t) = 1.5 -

19、Sa() cos()122t-4-3-2-11234x (t)12t-4-3-2-11234x (t) = 0.5 + Sa( n) cos( nt )x1(t)2222n=1t-4-3-2-1123436x (t) = x (t) - x(t)124.1.4 连续周期信号的功率谱帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理| x(t) |2 dt =n=-P = 1T0T0 22Cn-T2037周期信号的功率频谱： |Cn|2 随nw0 分布的特性称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。例7试求周期矩形脉冲信号在其

20、有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，t=1/20。x (t)AtttT- T-0022解：周期矩形脉冲的傅里叶系数为将A=1，T0=1/4，t = 1/20，w0= 2p/T0 = 8p 代入上式C= 1 Sa( nw0 ) = 1 Sa( n)n5405538C=At Sa( nw0t )nT20例7试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，t=1/20。x (t)AtttT- T-0021 2解：T022P =x(t)dt = 0.2信号的平均功率为T0-T20包含在有效带宽(0 2p /t )内的各谐波平均功率为44+ 2| C |22= 0.1806P =| C |2 = C1n0nn =-4n =1P1 = 0.1806 = 90%P0.20039例7试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，t=1/20。x (t)周期信号的功率谱A1Sa 2 ( n)2=Ctn2t2255TCn-0021 25C= 1 Sa( n)8pn55nw040- 4040- Ttx(t) = 2e- j2w0t求其功率。+ 3e- jw0