第3章运动定理1动量

1、力学易凡第三章牛顿力学的运动定理（一）动量3.11.质点的动量质点的动量定理= m drp = mv动量的定义dt动量的单位Kg.m/ s量纲式 LMT-1 = ma =d (mv )=dp由牛顿第二定律FdtdtFdt = dp或动量定理（微分形式）意义：力的时间积累效应导致动量发生变化。F=dpdtFdt= dp2.力的冲量（impulse）力的时间积累称为冲量 dI= Fdt = dp （动量定理的微分形式）元冲量冲量定义（动量定理的积分形式）动量定理的意义：力F作用于质点m的时间积累（冲量导致质点m的动量变化。tttI= tdI= tFdt = td p =

2、p(t ) - p(t0 )000动量定理的说明动量P和冲量I为矢量，在直角坐标系描述为p = pxi+ py j + pzk = mvxi+ mvy j + mvzkI= Ixi+ I y j + Izk= ( px - px 0 )i+ ( py - py0 ) j + ( pz- pz 0 )k其中tIx= tFxdt = mvx - mvx 00tI y =Iz=Fydt = mvy - mvy0Fzdt = mvz - mvz 0t0tt0动量定理的说明上述形式仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的冲量tI= tFdt = m(v - v0 )由冲量定义0冲量是过程量，当惯性系

3、选定后，它与参照点选择无关。动量定理形式特征：（过程量）=（状态量的增量）动量定理常用于碰撞过程。动量定理的说明碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短（瞬间）的过程。在这短暂过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变。这种 瞬间过程，也称作冲击过程，作用力通常叫做冲力。冲击过程的特征：相比冲击力，某些常规作用力，如重力，摩擦力等可忽略冲击力对质点作用的效果是速度发生陡变，位移可以不计。p碰撞过程的平均冲击力：rFdt r It-t0trrrp- p0tF =0t-tt-t00【例3.1】质量 m的垒球以速率 v=140g=40m/s沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角 60o飞出。求棒对垒球

4、的平均打击力。设棒和球的接触时间为Dt=1.2ms。因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻力的冲量可以忽略。 r rrFDt = mv2- mv1 r rrmv2FDt = mv- mvF Dt21v= v= v2160o30o1F= 2mv cos 30mvDtm=140g= 20.1440cos 301.210-3= 8.1103 (N)平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。【例3.2】一圆锥摆，质量为m的小球绕着铅直轴以转动，摆绳与轴成角。a、b为圆周直径的两点。求小球由ab的过程中，绳的张力施于小球的冲量

5、。zbb Tmyootytaaxxmg【解】建立如图的坐标系oxyz 。张力T为Tx TzT = Txi + Ty j + Tzk= -T sinq coswt，Ty = -T sinq sinwt= T cosqp /wp /wIx= 0Tdt =0-T sinq coswtdtp /w= -T sinq 0coswtdt = 0p /wp /wIy = 0Tydt =0-T sinq sin wtdtTwp /wT sinqsin wtdt =sinq (cosp - cos 0)= -0= - 2T sinqwT cosqdt = T cosqp /wp /w00I=T dt =wzzm

6、gcosqT cosq= mgT=or= p= - 2 mg tanq，I I= 0，ImgwwxyzI= - 2 mg tanq j + pmgkwwmgw4 tan2 q + pI=+ I=222Iyz三质点系的动量定理1.由两个质点m1和m2构成的质点系t0时刻，m1、m2的速度和动量分别为, p10 =m1v10、p20 = m2v20v10、v20t时刻，m1、m2的速度和动量分别为= m2v2v1、v2, p1 =m1v 、 p2在作用过程中外力F1，内力 f12外力F2，内力 f21m1受力：m2受力：（ m2施予的力）（ m1施予的力）选定参照系（惯性系）对于m 有t+)dt

7、= m v- m v(Ff=p -p111211110110t0t对于m 有+f)dt = m v- m v(F=p-p222122220220t0两式相加tttt+f)dt +(F+f(F)dt11222100tt=+ F)dt +( f12 +(F1f21 )dt2tt00= (m1v1 + m2v2 ) - (m1v10 + m2v20 )= ( p1 +p2 ) - ( p10 +p20 )令（合外力）（总动量）F= F1 + F2p =p1 +p2、p0 =+p10p20而 - f21+ 0f12f12f21 ttFdt =p -p0得到0 与质点的动量定理形式完全一样2.N个质点构

8、成的质点系N个质点m1、m2、mi、mN构成的质点系外力（externalforce）：系统外部对质点系内质点的作用力内力（internalforce）：系统内部各质点间的相互作用力特点：成对出现；大小相等方向相反推论：质点系的内力之和为零。i jfij =02.N个质点构成的质点系由N个质点m1、m2、 mi、 mN构成的质点组考虑第i个质点miNfiN= fij受力Fi （外力）+ +（内力）fi1fi 2jit0时刻的速度和动量分别为t时刻的速度和动量分别为vi 0、 pi 0vi 、 pi据动量定理应有t(F+ f)dt = m v- miv=p- piijiii 0ii 0t0j将N

9、个质点的方程相加，左边为NNNtt(Fi + fij )dt = ttFi dt + (ttfij )dt =( fij )dti , j j i000j ititjiitt Fi dt + ti=F )dt +fijdt(ttt0000iijiF = Fii令（质点系的合外力） fiji, j j ii ( i j )=( fij +f ji ) 0且左边为tFdtt0NNN(mivii- mivi 0 ) = mivii- mivi 0i右边NNp = mivii= mivi 0i令p0（质点系的总动量）则右边=p -p0ttFdt =p - p0最后得到0质点系的动量定理 （积分形式）：

10、系统总动量的变化等于质点系所受到合外力的冲量。n 说明质点组的动量定律形式与单质点一样，但式中F是整个质点系所受到的合外力，p是系统的总动量。tI=Fdt =p - p0令为合外力对质点系的冲量t0上式是质点系动量定律的积分形式Fdt=dp质点系动量定理的微分形式 质点系总动量的时间变化率等于所受合外力动量定理仅适用于惯性系，在非惯性系中，须引入惯性力的冲量内力的冲量不会改变质点组的总动量，但会改变质点组中各质点的动量。或者说，内力将导致各质点的动量重新分配动量定理与牛顿定律的关系：牛顿定律仅适用于单质点，动量定理却适用于质点系对一个质点来说，牛顿定律说的是力的瞬时效果，而动量定理说的是力对时

11、间的积累效果。孤立体系的动量守恒定律F= Ft= 0I=Fdt = 0p(t0 ) = A若合外力则it0ip(t) -p(t0 ) = 0p(t) =即有或则称系统的动量守恒F= Fi 0Fx，y，z之一为0若合外力但ipx=px 0，p =p0，p =p0则有 常称为质点系在某个方向的动量不变或“守恒”n 孤立体系的动量守恒定律： 不受外力或所受外力的矢量和为零的体系，系统的总动量不变（恒矢量）。动量守恒定律的几点说明动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒当外力内力且作用时间极短时（如碰撞）可认为动量近似

12、守恒动量守恒定律虽然由牛顿第三定律导出，但它比牛顿第三定律适用范围更广。在牛顿第三定律不成立时，只要计及场的动量，动量守恒定律仍然成立。动量守恒定律可以直接从空间的平移不变性（一种时空对称性）导出。时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律， 动量守恒定律比牛顿定律更普遍更基本，在宏观和微观领域均适用。例3.3长为L，质量为m的软绳盘放在水平台上。用手抓住绳的一端以恒定速率v0向上提起，求当提起高度为x时受的拉力。Txv0xo【解】以软绳为质点系。p = m xvt时刻：绳提起高度x ，动量0Lp = m ( x + dx)vt+dt时刻：绳提起高度 x+x ，动量0L绳受力：重力mg，手拉力T

13、，地面弹力N。应用动量定理(T + N - mg)dt =p - p =m ( x + dx)v- m xv= m v dx000LLL即m vdx= m v2 ; dx(T + N - mg) = v dt000LdtLN=m (L - x) gLT + m (L - x) g - mg =m v2 0LL T=x mg + m v2 最后得0LLT= m v2当x = 0,0LT= mg + m v2x = L, 0L例3.4质量密度为的链条从光滑的桌面上由静止开始下滑，求链条下滑运动规律。ox【解】以链条为质点系，以桌面为参照系。t时刻，链条下滑长x ，动量p = l xvtdt时刻，链

14、条下滑长xdx ，动量p = l( x + dx)(v + dv) = l xv + lvdx + l xdv + ldxdv据动量定理Fdt = dp =p -p =lvdx + l xdv + ldxdvFdt = lvdx + l xdv忽略二阶小量，则有F= l ( x + dx) gFdt = l ( x + dx) gdt = l xgdt得到即l xgdt = lvdx + l xdvx dv + v dx - xg = 0dtdtdx而得到微分方程= vdtx dv + v2 - gx = 0dt1 dv2dvdvdxdv解微分方程= v=dtdxdtdx2dx dv= 2(

15、gx - v)22x dv2方程为+v- gx = 022dxdxxdv2= 2( gx - v2 ) =2v2即有2g -dxxxy = 2 gx - v2令则3dv22v2dy= 22g -3=g - 2 g +3=dxdx= -x2v2- 42232 yg +xg - v) = -2(3xxxdy = - 2dx即解得yxln y = -ln x2 + cyx2 = c ln yx2 = cort = 0, x = 0即得c = 0初始条件 2 xg - v2 x = 0所以 323= 0 dx 223或即= =v2xgxg - v2 dtdx2gdt即= 2dx=3xg t + c =

16、x6因为所以t = 0, x = 0c = 0gtg t2最后得到x =x =66四 .质心运动定理和质心参考系1.质心F = dp= d p由质点系动量定理的微分形式：dtdti它在形式上相同与牛顿定律的动量表示式相同，但其含义并不相同。F =ma牛顿第二定律是对质点而言，等价于而质点系内各质点的运动情况各不相同，加速度也不相同，不能简单等效于： F= ma（m是质点系的总质量）1.质心F= maC但对质点系而言，确实存在一个特殊点C，而使成立，这里ac是该特殊点的加速度。定义该特殊点为质心，并认为体系的总质量都集中在质心处。2.质心的位置由N个质点构成的质点系mi;i= 1,2, ,。N在

17、确定的参照系中，各质点的位矢为 ri定义：对于确定的质点系，其质心的位置用质心位矢rc表示：Nmi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12NN2.质心的位置mi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12N说明质心位矢rc是矢量，在直角坐标系下，质心的坐标为：NNNmi ximimi zi i =1mii =1yixc=yc=zc= i =1, i =1,NNNmii =1mii =1推广至连续质量分布的质点系111M M M x=y=xdm,ydm,zzdmccc( M = dm)质心的位

18、矢并不是各质点位矢的算术平均值，而是以质量为权重的加权平均。选择不同坐标系，质心位矢rc表达式不同。但质心与各质点 间的相对位置仅与质点系的质量分布有关，与参照系的选择z无关。mNrmjrcNm1rjr1miyrior2m2x3.质心运动定理质心的速度vc d m r m rm vdt iiiiiidr d v=icdt iM iMcdt M质心的动量Pcpc = Mvc= mivi= pi = pii 质心动量的意义：质点系的各质点全部集中在质心上，以vc速度运动。 质心的动量 Pc 等于质点系的总动量P；质心运动定理由质点系动量定理的微分形式Ni=1NNdp= d ddt ddrF=pi=

19、mivi= =miidtdtdt dti=1i=1Nd 2 mi rid 2d 2rNNmi rimi i=1 = M= c dt 2dt 22Ndt i=1 i=1mii=1d 2rF= Fii=M=Mac c dt 2d 2rM = mi ,i=ac c dt 2n 质心运动定理：体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在合外力作用下的加速度质心运动定理描述了物体质心的运动。体系的内力不影响质心的运动。质心的动量定理由质点系动量定理的微分形式dpdpcF=Fdt = dpcdtdtttFdt = Mvc- Mvc 00n 上式即是质心的动量定理外力对体系的冲量等于质心动量的增量例3.5用

20、质心概念求解例3.3m x xx2质心坐标= L2=xcm2L质点系外力：拉力T，弹力N，重力mgd 2 x= T + N - mg应有m c dt22xv0x=xx =x =x;( x = v)c02LLLv2vx=x = 0L 0 Lcm v2mx= T + N- mgcL0N=1 (L - x)mgLT=x mg + m v20LL与例3.3的结果一样4.质心参照系（质心系）定义：某坐标系，其坐标原点在质心处，坐标轴与固定系的坐标轴始终保持平行， 这样的坐标系即称为质心坐标系，简称质心系。zmiSriczriocxrcSyyori = ric+ rcx（1）各质点的运动视为两部分运动的叠

21、加质点mi的位矢相对惯性系（静系s） 相对质心系（动系s）riric= r + rr应有icic 质心系的特点r= r + rv= v + v速度即iicciicc各质点随质心一起作平移运动（相对质心静止）质心系不一定是惯性系，也可能不是惯性系！（2）质心系是零动量系v= v + vm v= m v + m v证明即由iicciiiicicm vm v+ m v=对全部质点m 求和iiiiciciiiii= m v- m vm v即iiciiiciimivii= pi = pi，mivc = Mvc = pc = pim v 0iici（3）在质心系，可不考虑平动惯性力的影响Fii= F =

22、0ac = 0则质心系为惯性系若Fi= F 0ac 0若i则质心系为非惯性系，各质点有平动惯性力= -miacFioFo= Fio= -miac = (-mi )ac= -F合惯性力iiiFo + F 0则在质心系下，质点系的合外力被惯性力抵消，所以质心系是零动量系。例3.6在光滑平面上，m1和m2以v1和v2碰撞后合为一体（完全非弹性碰撞）。求碰撞后二者的共同速度v。在质心参考系观察，碰撞前后二者的运动如 何？在惯性系中观察= m1v1 +m1v2vc碰撞前质心速度：m1 +m2无外力，质心速度不变。碰撞后二者共同速度为质心速度= m1v1 +m1v2v = vcm1 +m2n 在质心系中观

23、察五经典力学中的变质量问题1. 经典力学中讨论的变质量体系的特征所研究的体系质量不为常数，而是随时间变化。这种变化是由于外部不断有新质量进入体系，或体系内部不断有质量输送给外部；变化部分的质量无限小，可视为质量元dm；体系中所有质点运动状态相同，因而可用一个质点来描写体系的运动这样的“变质量体系”，质量发生变化， dm 0dt称之为“经典力学中的变质量问题”。几点注意体系中的总质量（质量主体与质量附体）不变；变化的是质量主体研究质量元不断的加入或离去对质量主体运动状态的影响，实质是质量元与质量主体的碰撞问题；变质量问题（模型）有：软绳下落、火箭升空、流星对地球的撞击、冰的融化等等；2.变质量体

24、系的运动方程ttdtdmvvdvvdvu质量离去 dm0方程推导的出发点非变化的主要质量部分为质量主体，变化的（将进入或离去）的质量元为质量附体体系总质量主体质量附体质量将质点组的动量定理的微分形式应用该问题中m+dmmn 方程推导（设质量减少，dm0） t时刻，体系质量：m（主体附体） 速度：v动量： p = mv t+dt时刻，主体质量： m + dm(dm 0)，附体质量 dmv + dvv + dv + u 主体速度： 动量：， 附体速度：p = (m + dm)(v + dv ) - dm(v + dv + u)= mv + mdv + vdm + dmdv - vdm - dmdv

25、 - udm= mv + mdv - udm u是附体脱离主体瞬间，它相对于主体的速度在相互作用瞬间，体系的动量变化dp =p - p = mv + mdv - udm - mv dp = mdv - udmFdt = dp = mdv - udm由可得= m dv- dm uFdtdt即 上式为变质量体系的运动方程m dv= F+dm u dtdt方程说明F是作用于质量主体上的外力设F= F+ FDmm在主体与附体的相互作用（碰撞）瞬间，通常外力与质量成正比（如重力）此时DmFDm当Dt 0,Dm 0, 0FDm所以F= Fm方程说明u是质量元dm相对质量主体m的速度m与时间有关质量元dm，若是离开主体dm0反作用力Fpm dv= dm u设外力F=0，则有dtdt=dm um dv若令即有= FFppdtdtFp定义为反作用力，它源于质量元dm对质量主体m的作用，即碰撞。附体离开主体时：dm0F= dm u 0若u与v反方向，Fp为推力dt附体加入主体时：dm0F= dm u 0若 u 与 v 同方向，F为推力ppdt反