立体几何大题练习(文科)

1、立体几何大题练习（文科）：1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD底面ABCD（1）求证：平面SBD平面SAD；（2）若SDA=120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面SAB的面积【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值【解答】（1）证明：在梯形ABCD中

2、，ABDC，ABC=90，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，BCD=90，可得BD=a，CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得AD=a，则BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；（2）解：SDA=120，且三棱锥SBCD的体积为，由AD=SD=a，在SAD中，可得SA=2SDsin60=a，SAD的边AD上的高SH=SDsin60=a，由SH平面BCD，可得aa2=，解得a=1，由BD平面SAD，可得BDSD，SB=2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则SAB的面积为SA

3、a=a=【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【分析】（1）利用ABEF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，利用线面垂直的性质定理可知FGAD，结合线面垂直的判定定理可知AD平面EFG，从而可得结论【解答】证明：（1）因为ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面，所以ABEF

4、，又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，因为BCBD，FGBC，所以FGBD，又因为平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因为ADEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACCB，点M和N分别是B1C1和BC的中点（1）求证：MB平面A

5、C1N；（2）求证：ACMB【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以C1NMB，即可证明MB平面AC1N；（2）证明AC平面BCC1B1，即可证明ACMB【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1MBN，C1M=BN所以MC1NB为平行四边形所以C1NMB因为C1N平面AC1N，MB平面AC1N，所以MB平面AC1N；（2）因为CC1底面ABC，所以ACCC1因为ACBC，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1因为MB平面BCC1B1，所以ACMB【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题

6、的能力，属于中档题4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=90，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点（）证明：PA平面BMQ；（）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MNPA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为ADC=90，Q为AD的中点，所以N为AC的中点（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为PAC的中位线，故MNPA，又M

7、N平面BMQ，所以PA平面BMQ（5分）（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MKPD，（7分）又PD底面ABCD，所以MK底面ABCD又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，（10分）所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=.，（11分）则点P到平面BMQ的距离d=（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（1）求证：B1C1平面A1DE；（2）

8、求证：平面A1DE平面ACC1A1【分析】（1）证明B1C1DE，即可证明B1C1平面A1DE；（2）证明DE平面ACC1A1，即可证明平面A1DE平面ACC1A1【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，（2分）又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE（4分）又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE（6分）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE（8分）又BCAC，DEBC，所以DEAC，（10分）又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1AC=C，所以DE平面ACC1

9、A1（12分）又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC（1）求证：PA平面CMN；（2）求证：AM平面PBC【分析】（1）推导出MNAD，PCAD，ADAC，从而AD平面PAC，进而ADPA，MNPA，再由CNPA，能证明PA平面CMN（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQPC，从而MQ平面PBC，再求出AQ平面，从而平面AMQ平面PCB，由此能证明AM平面P

10、BC【解答】证明：（1）M，N分别为PD、PA的中点，MN为PAD的中位线，MNAD，PC底面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面PAC，ADPA，MNPA，又PC=AC，N为PA的中点，CNPA，MNCN=N，MN平面CMN，CM平面CMN，PA平面CMN解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，MQ是PCD的中位线，MQPC，又PC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC，ADAC，ACD=60，ADC=30DAQ=ADC=30，QAC=ACQ=60，ACB=60，AQBC，AQ平面PBC，BC平面PBC，AQ平面PBC，MQAQ=Q，平面AMQ平面P

11、CB，AM平面AMQ，AM平面PBC【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题7如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：面PAB平面PDC【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EFPA，利用直线与平面平行的判定定理证明EF平面PAD；（2）先证明CDPA，然后证明PAPD利用直线与平面垂直的判定定

12、理证明PA平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB面PDC【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点所以在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD；（2）平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD因为CDPD=D，且CD、PD面PDC所以PA面PDC又PA面PAB，所以面PAB面PDC【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平

13、行的判定的应用，考查逻辑推理能力8如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分别为AD、PC中点（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE平面PBC【分析】（1）取PB的中点G，连接FG、AG，证得底面ABCD为正方形再由中位线定理可得FGAE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，则AGFE，运用线面平行的判定定理可得EF平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD平面PAB，即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC平面PAB，EF平面PBC，再由面面垂直的判定定理，

14、即可得证【解答】（1）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG，因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，所以底面ABCD为正方形E、F分别为AD、PC中点，FGBC，AEBC，FGAE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，AGFE，AG平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA平面ABCD，可得PAAD，又ADAB，PAAB=A，AD平面PAB，则点F到平面PAB的距离为EA=1（2）证明：由（1）知AGPB，AGEF，PA平面ABCD，BCPA，BCAB，ABBC=B，BC平面PAB，由AG平面PAB，BCAG，又PBBC=B，AG平面PBC，

15、EF平面PBC，EF平面PCE，平面PCE平面PBC【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题9在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F分别是PB，BC的中点求证：（1）PC平面DEF； （2）平面PBC平面PBD【分析】（1）由中位线定理可得PCEF，故而PC平面DEF；（2）由直角梯形可得BCBD，结合BCPD得出BC平面PBD，于是平面PBC平面PBD【解答】证明：（1）E，F分别是PB，BC的中点，PCEF，又

16、PC平面DEF，EF平面DEF，PC平面DEF（2）取CD的中点M，连结BM，则ABDM，又ADAB，AB=AD，四边形ABMD是正方形，BMCD，BM=CM=DM=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，又BCPD，BDPD=D，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBC平面PBD【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题10如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平ABD面；（2）若AE平面BCD，BDCD，求证：平面AEF平面ACD【分析】（1）利用线面平行的性质可得BDEF，从而得出EF平面ABD；（2）由AE平