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文档简介

1、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,5.积分恒等式的证明 解法思路: （1）变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式； （2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。 （3）用中值定理,18,19,20,6.积分不等式的证明 与积分等式的证明对应，解法思路: （1）通过定积分估值性质比较大小； （2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题函数的单调性； （3）利用重要不等式，如柯西不等式：,21,22,23,7.积分中值问题 解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。,24,

2、25,定积分的应用,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,26,例1. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,27,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,28,例2.（0702）设D是位于曲线,下方、x轴上方的无界区域 。 求区域 D 绕

3、x 轴旋转一周所成旋转体的 体积V(a); (II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.,29,30,解： (I),=,=,(II),得,即 a = e,（唯一的驻点）,31,故所求旋转体体积为,例3. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解: 曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,32,例4. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,33,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,34,例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .,(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ?,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h ,35,(1) 求,由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导, 得,at (升) ,36,(2) 将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对

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