3数字信号处理讲义ch4_4双线性变换法

1、数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟域频率变换脉冲响应不变法双线性变换法利用MATLAB设计IIR DF双线性变换法变 换 推 导W和w 的关系双线性变换法设计DF的步骤双线性变换法问题的提出采用脉冲响应不变法例如上节用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器， 设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为1 - e- Wp0H ( z) =1 - e-W pz -1-3DF的频谱有混叠-6解决方法-9采用双线性变换法0双线性变换法0.20.40.60.81Normalized fr

2、equencyGain,dbWp=0.2pWp=0.6p双线性变换法的基本原理原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统1dy(t ) + ay(t ) = x( t ) H ( s) =s + adtkT(k -1)TkT(k -1)TkTdy(t)dt + ay(t)dt =x(t)dtdt(k -1)T用梯形面积近似积分 yk - yk - 1T xk + xk - 12双线性变换法T yk + yk - 1 2双线性变换法的基本原理原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统dy(t ) + ay(t ) = x( t )1 H ( s ) =s + adt(1 + aT ) yk -

3、(1 - aT ) yk - 1 = T (xk + xk - 1)2H ( z ) =2(T / 2)(1 + z -1 )21=2 1 - z-1(1 + aT / 2) - (1 - aT / 2)z -1+ aT 1 + z -1将H(z)和H(s) 比较可得H ( z ) = H ( s )-1s = 2 1- z双线性变换法T 1+ z -1双线性变换法的基本原理稳定性分析2 1- z-12 T + ss =T 1+ z-1z =2 T - s令s=s+jw，则有(2 / T + s )2 + w 2(2 / T -s )2 + w 2z=双线性变换法双线性变换法的基本原理稳定性分

4、析(2 / T + s )2 + w 2(2 / T -s )2 + w 2z=1)s0,|z|1s域右半平面映射到z域单位圆外双线性变换法因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统双线性变换法的基本原理W和w 的关系2 1 - z -1s =T 1 + z -1令s=jw，z=e jW ，则有W2 1 - e- jW2 ejW / 2- e- jW / 22jw =jtan()T 1 + e- jWTejW / 2+ e- jW / 2T2双线性变换法w =2 tan( W )T2双线性变换法的基本原理W和w 的关系ww = 2 tan(W/ 2)TwswpWpH ( jw)H(ejW)

5、WWpWs双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的优缺点优点：无混叠缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤1. 将数字滤波器的频率指标Wk转换为模拟滤波器的频率指标wk =2 tan( k )wkT22. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。H ( z ) = H ( s )-1s = 2 1- zT 1+ z -1双线性变换法双线性变换法设计DF的步骤w = 2tan()T2双线性变换设计模拟滤波器Wp,Wswp,wsH(s)H(z)利用MATLABH ( z ) = H (s)2 1- z

6、-1s =T 1+ z -1numd,dend = bilinear(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量双线性变换法例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不 变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标w= 2 tan( W p )pT2(2) 设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc = wp故H (s) =111s / wc + 1=s / wp+ 1sT2 tan

7、(W p / 2)+ 1例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不 变法设计的DF比较。解：(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器1H ( s) =sT+ 12tan( W p / 2)/ 2)(1 + z -1 )(1-a )1+ z-1tan(W=pH ( z ) =1-az-121 + tan( / 2) + (tan( / 2) - 1)z -1ppa = 1 - tan( W p / 2)1 + tan( p / 2)结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见一般取T=2例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤

8、波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不 变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为tan(Wp / 2)(1 + z -1 )H 双(z) =1 + tan(/ 2) + (tan(/ 2) - 1)z -1pp脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为1 - e-WpH 脉(z) =-W1 - epz -1取Wp =0.6p，令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。10.73dB000.6Normalized frequency1Amplit

9、ude脉冲响应不变法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。双线性变换法Wp =0.6p例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不 变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=0.6*pi;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*11;a=1-exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512); h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);

10、plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1);xlabel(Normalizedfrequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0set(gca,xtick,0 grid;0.71);Wp/pi1);例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2w= 2 tan( W p ) = 0.3249w= 2 tan(Ws) = 1.3764spT2As15dBT2Ap2db,(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）-110

11、0.1 Aslg()ws100.1 Ap-1wN =0.5851=2c(100.1As- 1)1/ 2 N0.34232lg(w/ w)1spH(s) =Lsss 2+ 0.8275s + 0.34232)+2 w+ 1(wcc例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB解：(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器H (z) = H (s)-1s= 2 1- zT 1+ z -1= 0.1578 + 0.3155 z -1 + 0.1578 z -21 - 0.6062 z -1 + 0.2373z -

12、2例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dBAp= 0.3945As= 15.0000Gain,db0-5-10-15-20-25-30-35-40-45-5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized frequency例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap2dB,As15dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。脉冲响应不变Ap= 1.1187As= 12.3628双线性变换Ap= 0.3945As= 15

13、.0000Gain,dB0-5-10-15-20-25-30-35-40-45-5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized frequency脉冲响应不变法双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计方法一w =W/T模拟频率变换设计原型s 低通滤波器W ,Ww ,ww,wH(s )pspspLw = 2tan() 2T复频率变换注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器11s + p1 - e- plT z -1l脉冲响应不变法双线性变换法H(z)H(s)2 1- z-1s =T 1+ z-1双线性变换法非低通IIR数字滤波器的设计方法二w =W/T

14、 数字频率变换 设计原型Wp,Wswp ,ws低通滤波器W p , WsH L (s ) 2T w =tan() 211s + p1 - e- plT z -1lZ域变换脉冲响应不变法H(z)H L (z)双线性变换法2 1- z-1s =T 1+ z-1双线性变换法例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad, Wp2=2.9880rad, Ap1dB ,Ws1=2.9203rad, Ws2=2.9603rad, As 10dB解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。(1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标w = 2 tan

15、(W )取T=2，利用得模拟带阻指标为T2wp1=6 rad/s, wp2=13 rad/s, ws1=9 rad/s, ws2=11 rad/s,Ap1dB, As 10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad, Wp2=2.9880rad, Ap1dB ,Ws1=2.9203rad, Ws2=2.9603rad, As 10dB解:模拟带阻指标wp1=6, wp2=13, ws1=9, ws2=11,Ap1dB, As 10dB(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标B = ws2 - ws1 = 2w0ws1ws2Bwp2= 9.9499Bw

16、p1w= max = 0.3714,p- w 2+ w 2- w 2+ w 2p10p20Ap1dB, As 10dBws = 1例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad, Wp2=2.9880rad, Ap1dB ,Ws1=2.9203rad, Ws2=2.9603rad, As 10dB解:Ap1dB, As10dBwp = 0.3714, ws = 1原型模拟低通指标(3) 设计原型BW型模拟低通滤波器-110 0.1 Aslg()w0.1 A-1w= s= 0.577410pN = 2 c(100.1A- 1)1/ 2Ns2 lg( ws / wp )原型

17、模拟低通滤波器的系统函数为10.3333H(s ) =Lsss 2+ 0.8165s + 0.3333)+22 w+ 1(wcc例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad, Wp2=2.9880rad, Ap1dB ,Ws1=2.9203rad, Ws2=2.9603rad, As 10dB0.3333解:H(s ) =Ls 2+ 0.8165s + 0.3333(4) 由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器s 4+ 198s 2 + 9801=H BS (s) = H L (s ) Bss+ 4.899s+ 210s+ 485s + 9801432s =s

18、 +w022(5) 由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器H (z) = H (s)-1s= 2 1- zT 1+ z -1= 0.9522 + 3.7327 z -1 + 5.5624 z -2 + 3.7327 z -3 + 0.9522 z -41 + 3.8241z -1 + 5.5601z -2 + 3.6412 z -3 + 0.9067 z -4利用MATLAB实现IIR数字滤波器BW型数字滤波器确定数字滤波器的阶数及3dB截频Wc N, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As)其中Wp, Ws为归一化角频率。 例Wp=0.1p, 则Wp=0.1num,d

19、en=butter(N,Wc, ftype); ftype= high , stop双线性变换法例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad, Wp2=2.9880rad, Ap1dB ,Ws1=2.9203rad, Ws2=2.9603rad, As 10dB解: Wp=2.8113 2.988/pi;Ws=2.9203 2.9603/pi;Ap=1;As=10;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As);num,den=butter(N,Wc,stop); w=linspace(0,pi,512); h=freqz(num,den,w); plot(w/p

20、i,20*log10(abs(h);grid;set(gca,xtick,Wp(1) Ws(1) Ws(2) Wp(2);利用MATLAB实现IIR数字滤波器CB I型数字滤波器确定数字滤波器的阶数及参数WcN, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As)DF系统函数分子、分母多项式的确定num,den = cheby1(N,Ap,Wc) num,den = cheby1(N, Ap, Wc,high) num,den = cheby1(N, Ap, Wc) num,den = cheby1(N, Ap, Wc,stop)* 带通、带阻中W=W1, W2双线性变换法低通高通带通

21、带阻利用MATLAB实现IIR数字滤波器CB II型数字滤波器确定数字滤波器的阶数及参数WcN, Wc = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As)DF系统函数分子、分母多项式的确定num,den = cheby2(N,As,Wc) num,den = cheby2(N, As, Wc,high) num,den = cheby2(N, As, Wc) num,den = cheby2(N, As, Wc,stop)* 带通、带阻中W=W1, W2双线性变换法低通高通带通带阻利用MATLAB实现IIR数字滤波器椭圆(C)型数字滤波器确定数字滤波器的阶数及参数WcN, Wc = elli

22、pord(Wp, Ws, Ap, As)DF系统函数分子、分母多项式的确定num,den = ellip(N,Ap,As,Wc) num,den = ellip(N,Ap,As,Wc,high) num,den = ellip(N,Ap,As,Wc) num,den = ellip(N,Ap,As,Wc,stop)* 带通、带阻中W=W1, W2双线性变换法低通高通带通带阻MATLAB中IIR设计的主要函数IIR滤波器最小阶数的计算buttordcheb1ordcheb2ordellipord综合设计buttercheby1cheby2ellipbesself离散化bilinear impin

23、var频率变换lp2lplp2hp lp2bplp2bs模拟低通原型 (prototype) buttapcheb1apbesselap ellipapcheb2ap例：利用MATLAB实现数字低滤波器Wp=0.2p , Ws=0.4p, Ap1dB , As 40dBWp=0.2*pi;Ws=0.4*pi;Ap=1;As=40; wp=tan(Wp/2);ws=tan(Ws/2); N,Wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s);num,den=butter(N,Wc,s);num,den=bilinear(num,den,0.5); w=linspace(0,0.9*pi,512)

24、; H=freqz(num,den,w); plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为Wp的数字高通滤波器解：取T=2，则AF HP的3dB截频为wp= tan(W p / 2)AFLP 的3dB截频为wp= 1/ wp= 1/ tan( W p/ 2)满足条件的LP AF为1H L ( s) = s / wp1+ 1满足条件的HP AF为s( s) = H(1/ s) =HHPL1/( swp) + 1tan(W p / 2) + s例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频

25、率为Wp的数字高通滤波器s( s) =HHPtan(W p / 2) + s1 - z -1=H ( z ) = H HP ( s )1- z -1tan( W p / 2)(1 + z(1 - z -1 ) + (1 - z-1-1)s =-11+ z1=/ 2) 1 - 1 - tan( W p / 2) z -11 + tan( W p1 + tan( W p / 2)1 - tan( W p / 2)(1 + a )1 - z -1令：a =H( z ) =,1 + tan( W p / 2)1 - a z -12例:用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为W0，3dB带宽为DW的数字带阻滤波器。解：取T=2。设数字带阻的3dB截频分别为W1和W2，且W2W1。w k= tan(W k / 2),k = 0,1,21)模拟带阻滤波