第三章 最优投资组合理论

1、第三章 最优投资组合（理论）,例子：,Triad投资公司允许其客户投资在以下几种证券 证券A 是无风险证券，回报率为 4%. 证券B 期望回报率为 19% ，回报率标准差为 25%. 证券C期望回报率为 10% ，回报率标准差为 15%.,你的客户倾向于投资证券 C，因为他不愿意承担证券 B那么高的风险，又希望投资的回报比 A高。,证券回报率的期望值和标准差 如何估计 如果估计有偏差，有什么后果，如何控制不良结果 如果你是 Triad 投资公司的咨询顾问，你是否有更好的投资方法，使得客户的投资在不增加风险的条件下，有更高的期望回报率 怎样恰当的度量证券的风险 是否存在策略，回报为15，但不承担

2、风险 是否对不同的客户，提出不同的投资策略 如果有更多的证券可供投资，结论又如何,主要内容,一些基本概念 可行集、证券组合前沿、有效集 不存在无风险债券 存在无风险债券 风险的分散化与风险的正确度量 投资者的最优证券组合 两基金分离定理,1. 简介,投资过程的两个重要任务： 证券分析和市场分析：评估所有可能投资工具的风险和期望回报率特性 在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合最优投资组合理论 选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大 选择的对象：均值-标准差平面上的可行集,The optim

3、ization technique is the easiest part of the portfolio construction problem. The real arena of competition among portfolio managers is in sophisticated security analysis. GIGO-Garbage in-Garbage out,证券组合理论的三个基本原理： 正确衡量一个证券风险的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。 风险由系统和非系统风险组成 系统风险不能分散掉，非系统风险可以分散掉 形成证券组合能够减小非系统风险 投资者厌恶

4、风险，投资在风险证券需要风险酬金 风险酬金仅仅是对承担的系统风险的补偿 不同投资者对待证券组合风险-期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画 投资者仅仅关心系统风险,The optimal portfolio of risky assets is exactly the same for every one, no matter what their tolerance for risk-two-fund separation One interesting consequence of having these two conflicting objectives is that the in

5、vestor should diversify by purchasing not just one security but several. Investors should control the risk of their portfolio not by reallocation among risky assets, but through the split between risky and free assets. Top-down analysis capital allocation decision asset allocation decision security

6、selection decision,一期投资模型：投资者在期初投资，在期末获得回报。 一期模型是对现实的一种近似，如对零息债券、欧式期权的投资。虽然许多问题不是一期模型，但作为一种简化，对一期模型的分析是分析多期模型的基础。,完全竞争的金融市场（完善市场） 交易是无成本的，市场是可以自由进出的 信息是对称的和可以无偿获得地 存在很多交易者，没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响 无税收，无买、卖空限制 证券无限可分，借贷利率相等 历史，成立的前提条件,2. 一些基本概念,证券组合 证券组合回报率和期望回报率（刻画收益率） 证券组合回报率的方差和标准差（刻画风险）,由于期末的收益是不确定的

7、，所以回报率为随机的。 价格与回报率之间是一一决定的关系，给定价格，就可算出回报率，反过来，给出了回报率，就可决定价格。 在以下的章节里，通常以回报率为研究对象，并假设，字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值。,2.1 两种证券形成的证券组合,证券组合：以投资在各种证券上的财富的相对比例来刻画。 例子：你有1000元投资在IBM公司和Merck公司股票。如果你在两种股票上各投资500元。 例子：如果你投资1500元在IBM公司股票，投资-500元在Merck公司股票。,回报率：假设两种证券1和2，它们的回报率 以均值和方差-协方差刻画 期望回报率 方差-协方差,例子

8、：IBM公司和Merck公司股票的月回报率 期望回报率 (0.0149, 0.0100) 方差-协方差,例子（续）：假设你投资600元在IBM公司股票，投资400元在Merck公司股票。如果这个月IBM公司和Merck公司股票实现的回报率各为2.5%和1.5%。你的证券组合的实现回报率、期望回报率、非期望回报率、证券组合回报率方差各为多少？,回报率 期望回报率 非期望回报率,证券组合回报率方差,2.2多种证券形成的证券组合,回报率 期望回报率 方差-协方差矩阵,例子： （1）证券和证券组合的值 证券 在证券组合 每股的初始 在证券组合初始 名称中的股数 市场价格 总投资 市场价值中的份额 A

9、100 40元 4,000元4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元7,000/17,200=0.4070 C 100 62元 6,200元6,200/17,200=0.3605 证券组合的初始市场价值=17,200元 总的份额=1.0000,在表（1）中，假设投资者投资的期间为一期，投资的初始财富为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%，24.6%，22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元因为(46.48-40)/40=16.2%，43.61元因为43.61-35/35=24.

10、6%，76.14元因为76.14-62/62=22.8%。,（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率 证券 在证券组合 每股的期末 名称中的股数 预期价值 总的期末预期价值 A10046.48元46.48元 100=4,648元 B20043.61元43.61元 200=8,722元 C10076.14元76.14元 100=7,614元 证券组合的期末预期价值=20,984元 证券组合的期望回报率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00%,在表（2）中，先计算证券组合的期末期望价值，再利用计算回报率的公式计算回报率，即，从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富，

11、然后用去除这个差。尽管这个例子里只有三种证券，但这种方法可以推广到多种证券。,（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率 证券 在证券组合初 证券的 在证券组合的期望 名称始价值中份额 期望收益率 回报率所起的作用 A0.2325 16.2% 0.2325 16.2%=3.77% B0.4070 24.6% 0.4070 24.6%=10.01% C0.3605 22.85 0.3605 22.8%=8.22% 证券组合的期望回报率=22.00%,在表（3）中，把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和，这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值。,证券组合的回报 证券组合的期

12、望回报率,回报率方差和标准差,例子：对于前面的A，B，C三种证券 这里 表示证券 和 之间的协方差。,假设A，B，C三种证券的方差-协方差矩阵为 则证券组合 的方差为,一般,2.3 分散化(Diversification),分散化能缩小风险 证券形成的组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。 例子：两种证券的回报率具有相同的标准差 =35%，考虑证券组合（0.5, 0.5),Example,Best Candy stock SugarKane stock,The reward and risk of three alternative (the rate of return o

13、f T-bills is 5%),只要 ，则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。 直观解释 只要证券相互之间地相关系数小于1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。,一定的风险不能被分散掉 在一个“充分分散”(well-diversified) 的证券组合中: 每种证券的方差对证券组合风险的贡献很小。 证券之间的协方差决定证券组合的风险。所以，证券风险的正确度量应该与证券之间的协方差有关。 例子：n种证券形成的等权证券组合,3.投资者的效用函数和无差异曲线,投资者的效用函数 A 是风险回避系数，A越大，投资者越不喜欢风险 A大

14、于0，风险厌恶者 A等于0，风险中性 A小于0，风险偏好,无差异曲线 所有风险厌恶者的无差异曲线如图1所示，在均值-标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。 A 对无差异曲线的影响,图1：风险回避者的无差异曲线,4. 不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择 假设在无摩擦市场上存在N种可交易风险证券，所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等。这N 种可交易风险证券的回报率以向量 表示， 表示期望值向量。 而这N 种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以 表示,证券组合的期望收益率和方差 给定证券组合 期望回报率 方差 当证券的种类越来越多时，证券组合回报

15、率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差。,4.1 可行集,可行集 由N 种可交易风险证券中的任意 K 种形成的证券组合构成的集合称为可行集。 在均值-标准差平面上来刻画可行集。,例子：两种证券形成的可行集（无卖空）,假设证券1的期望回报率 ，标准差为 ；证券2的的期望回报率 ，标准差为 。设由证券1、2形成的证券组合 分别有,例子：两种证券形成的可行集（无卖空）,证券组合的期望回报率,例子：两种证券形成的可行集（无卖空）,假设证券1、2收益率的相关系数为 ，则证券组合回报率的标准差为 每个证券组合回报率的标准差的上、下界 证券组合D： 上界在 =1时达到，下界在 =-1时达

16、到,证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）,证券组合收益率的标准差的上下界（无卖空）,下界,上界,下界,例子：两种证券形成的可行集（无卖空）,分散化导致风险缩小。 实际的可行集一维双曲线例子； =0，-0.1,=-1,=1,=0,=-0.1,例子：两种证券形成的可行集（有卖空）,例子：两种证券形成的可行集（有卖空）,分散化导致风险缩小。 实际的可行集一维双曲线例子； =0，-0.1,=-1,=1,=0,=-0.1,例子：两种证券形成的可行集：可行集的方程,假设 =0 ，由1、2两种证券形成的可行集在均值-标准差平面上的表示。 证券组合 的期望回报率 标准差为 通过找出 与 之间的关系,可行集

17、的方程,得到 为一双曲线方程,最小方差证券组合MVP(minimum-variance portfolio),三种以上证券形成的可行集,可行集的两个重要性质 （1）只要N 不小于3，可行集对应 于均值-标方差平面上的区域为二维的。 （2）可行集的左边向左凸。 可行集,三种证券形成可行集的例子,三点形成地区域,4.2 有效集,有效集定理 投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合： （1）对给定的回报，风险水平最小 （2）对给定的风险水平，回报最大； 满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。,下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。,把有效集定理第一条应用

18、到可行集,给定期望回报率，找方差最小的证券组合,证券组合前沿,定义：一个证券组合称为前沿证券组合，如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。 定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。,证券组合前沿的性质 性质1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。 Therefore, we just need to calculate the weights for two portfolios. The two that are easiest for us to calculate are the MVP and the portfolio with the high

19、est 性质2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。,证券组合前沿的方程 任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：,在期望-标准差平面上的证券组合前沿,单个证券与证券组合在均值-标准差平面上的位置,把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿,在证券组合前沿上，给定风险，找期望回报率最高的证券组合。,有效集和非有效集,最小方差证券组合 定义：比最小方差证券组合回报高的前沿证券组合称为有效证券组合，既不是最小方差证券组合又不是有效证券组合的前沿证券组合称为非有效证券组合。,问题：先利用第二条，再利用第一条，得到的有效集是否一样？,例：（续）只有两种证券时的特例,假设市场上只存在两

20、种证券1和2。 2具有较高的期望回报率和较高的标准差。相关系数,例：只有两种证券时的特例,例：可行集、证券组合前沿和有效集,期望回报率 1 MVP 2 标准差,例：不同相关系数时的证券组合前沿,相关系数越小，曲线弯曲越厉害。 极限状况 每对证券只有一个相关系数。 当只有两种证券时，可行集与证券组合前沿一致,当证券组合中的证券种类越来越多时，证券组合前沿性能提高：向左上方移动,4.3 风险厌恶者的最优证券组合,利用效用函数求最优证券组合,不存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略,不同风险厌恶程度的投资者的最优投资策略,Two mutual funds （只有在所有投资者对期望、方差-协方差矩

21、阵的预期相同时才成立） a limited number of portfolios may be sufficient to serve the demands of a wide range of investors, this is the theoretical basis of the mutual fund industry.,5. 具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择,由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。 到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。 对大多数投资者而言，货币市场基金是最容易获得的无风险资产。 买卖债券只不过是手

22、段，而实质是存在无风险借贷的市场。,假设在无摩擦市场上存在 N 种可交易风险证券和一种无风险证券。以 表示无风险利率。,步骤,首先利用例子分三步讨论： 无风险证券与单一风险证券形成的证券组合 由风险证券形成证券组合前沿 由无风险证券与所有风险证券形成证券组合前沿 其次，推广到一般情形,例子：,A，B，C三种证券 期望回报率向量为 方差-协方差矩阵为 无风险债券的无风险利率为,无风险证券与单一风险证券形成的证券组合（只允许买入无风险证券）,挑选风险证券A（可以是证券组合） 考虑证券A和无风险证券形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制）,5种证券组合,证券组合的期望回报率和标准差,期望

23、回报率 标准差,由证券A和无风险证券构成的5种证券组合的期望回报率和标准差,由证券A和无风险证券构成的5种证券组合,无风险证券与单一风险证券形成的证券组合（只允许卖出无风险证券）,考虑证券A和无风险证券形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意对权的限制）,考虑证券A和无风险证券形成的可行集、证券组合前沿、有效集（注意权的限制） 4种证券组合,由证券A和无风险证券构成的5种证券组合的期望回报率和标准差,由证券A和无风险证券构成的9种证券组合,如果卖空风险证券，投资在无风险证券,CAL (Capital Allocation Line),E(r),E(rp) = 16.2%,rf = 4%,p =

24、 12.08%,0,P,F,) S = 12.2/12.08,E(rp) -,rf = 12.2%,The reward to risk ratio is the return premium per unit of portfolio risk Sharpe ratio The CAL shows all risk-return combinations possible from a portfolio of one risky asset and the risk free return.,由风险证券形成证券组合前沿,证券组合前沿的方程 任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程

25、：,在期望-标准差平面上的证券组合前沿,在前沿上任意挑选证券组合5，与无风险证券形成可行集、证券组合前沿、有效集,让证券组合5跑遍整个前沿,所有风险证券与无风险证券形成可行集、证券组合前沿、有效集,切点证券组合,如何求这个切点 求切线方程 求风险酬金-风险比最大证券组合 Sharpe Ratio,推广到一般情形,N种风险资产形成的证券组合前沿方程,N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿,理论上,N种风险资产和无风险资产形成的证券组合前沿方程,风险厌恶者的最优投资策略,Risk Aversion and Allocation Greater levels of risk aversion l

26、ead to larger proportions of the risk free asset. Lower levels of risk aversion lead to larger proportions of the portfolio of risky assets. Willingness to accept high levels of risk for high levels of returns would result in leveraged combinations. 利用效用函数求最优证券组合,Utility Function,U = E ( r ) - .005

27、A s2 Where U = utility E ( r ) = expected return on the asset or portfolio A = coefficient of risk aversion s2 = variance of returns,CAL with Risk Preferences,E(r),T,Lender,Borrower,The lender has a larger A when compared to the borrower,存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质,分离性质：,分离性质（只有在所有投资者对期望、方差-协方差矩阵的预期相

28、同时才成立）：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风险证券组合 最优证券组合选择过程可以分成两步： 决定最优风险证券组合 依据风险厌恶的程度在无风险证券和风险证券之间配置资本。 Investors should control the risk of their portfolio not by reallocation among risky assets, but through the split between risky free assets. The most straightforward way to control the risk of the portfolio i

29、s through the fraction of the portfolio invested in Treasury bills and other money market securities versus risky assets. When we shift wealth from the risky portfolio to the risk-free asset, we do not change the relative proportions of the various risky assets within the risky portfolio. Rather, we reduce the relative weight of the risky portfolio as a whole in favor of risky-free assets.,考虑A、B、C三种证券，市场的无风险利率为4%，我们证明了切点证券组合T由A、B、C三种证券按0.12，0.19，0.69的比例组成。如果假设1-10成立，则，第一个投资者把一半的资金投资在无风险资产上，把另一半投资在T上，而第二个投资者以无风险利率借到相当于他一半初始财富的