线性代数电子教案《第3章》.ppt

1、2002/3,天津商学院,1,第3.4节 向量组的线性相关性,线性组合和线性表示 等价 向量组线性相关和线性无关,2002/3,天津商学院,2,首先举例说明线性表示 、线性组合等概念,1. 线性表示 线性组合 等价,2002/3,天津商学院,3,根据定义1,有非零解的齐次线性方程组的通解的意义为:方程组的任一解都可由方程组的基础解系线性表示;或者说基础解系的线性组合刻划了齐次线性方程组的全部解.,2002/3,天津商学院,4,2002/3,天津商学院,5,B,2002/3,天津商学院,6,证明 设,2002/3,天津商学院,7,B,2002/3,天津商学院,8,2002/3,天津商学院,9,方

2、程组有唯一解:,2002/3,天津商学院,10,解 令矩阵,2002/3,天津商学院,11,对矩阵进行初等行变换,得,返回,2002/3,天津商学院,12,继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得,2002/3,天津商学院,13,这是无穷多种表达式之中的一个.,2002/3,天津商学院,14,课堂练习,练习答案或提示,返回,2002/3,天津商学院,15,2. 向量组线性相关和线性无关,2002/3,天津商学院,16,证明,(1)显然.,2002/3,天津商学院,17,2002/3,天津商学院,18,解 令矩阵,2002/3,天津商学院,19,另解,2002/3,天津商学院,20,解 令矩

3、阵,对矩阵进行初等行变换,得,2002/3,天津商学院,21,2002/3,天津商学院,22,2002/3,天津商学院,23,2002/3,天津商学院,24,2002/3,天津商学院,25,如果一个向量组中部分向量线性相关，则整个向量 组线性相关.,即 部分相关,则整体相关. 或整体无关,部分必无关.,性质2,返回,2002/3,天津商学院,26,2002/3,天津商学院,27,2002/3,天津商学院,28,2002/3,天津商学院,29,课堂练习,2.(1)线性无关;(2)线性相关;,练习答案或提示,2002/3,天津商学院,30,第3.5节 向量组的秩,向量组的最大无关组 秩的概念 有关

4、性质 典型例题,返回,2002/3,天津商学院,31,即: 向量组中线性无关的部分组不唯一存在； 线性无关的部分组包含向量的个数也可能不一样.,1. 向量组的最大无关组、秩的概念,2002/3,天津商学院,32,(2)* 该向量组中任意r+1个向量（如果有的话）都线 性相关.,注意: “最大”是指该部分组是向量组中包含向量个数 “最多”的线性无关向量组.,2002/3,天津商学院,33,由零向量组成的向量组没有最大无关组; 在包含非零向量的向量组中有最大无关组,且最大无关组所含向量个数不小于1; 线性无关向量组的最大无关组是这个向量组本身. 一个向量组的最大无关组可能不是唯一的;,2002/3

5、,天津商学院,34,与向量组,返回,2002/3,天津商学院,35,证明 (1)根据最大无关组的定义,向量组可由它的最大无关组线性表示;又它的最大无关组可由该向量组线性表示是显然的.故向量组与它的最大无关组可以互相线性表示,即等价. (2)由等价的传递性,得向量组的两个最大无关组之间等价.,两个最大无关组含有相同个数的向量.,定理3.5.1 向量组与它的最大无关组等价;向量组的两个最大无关组之间等价.,2002/3,天津商学院,36,仅含零向量的向量组不存在最大无关组,规定秩为零; 任意含非零向量的向量组的秩大于1; 线性无关向量组的秩即向量组所含向量个数;,2002/3,天津商学院,37,2

6、. 有关性质,推论 等价向量组的秩相等.,* 根据定义即可证明。,不仅阐明了矩阵的行向量组与列向量组的内在关系,而且可以得到求向量组的秩的方法.,2002/3,天津商学院,38,2002/3,天津商学院,39,性质3证明：,( 1 ) 考虑矩阵的列向量组, 记为 组C、组A、组B，最 大无关组分别 为组C0、组A0、组B0，则 组C0每个向 量均可由 组（A0，B0）的向量线性表出，由于组C0 线性无关，故 组C0所含向量个数不大于组（A0，B0） 所含向量个数。结论成立。,( 2 ) 记C=AB，则C的列向量组可由A的列向量组线 性表示，而C的行向量组可由B的行向量组线性表示。 结论成立。,2002/3,天津商学院,40,2002/3,天津商学院,41,3. 典型例题,解 构造矩阵,2002/3,天津商学院,42,解 构造矩阵,返回,2002/3,天津商学院,43,解 构造矩阵,对矩阵进行初等行变换将其化为行最简形,得,2002/3,天津商学院,44,行,2