数学物理方程第三章行波法与积分变换法word版

1、第三章 行波法与积分变换法(第十三讲)l 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。l 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。l 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。3.1 一维波动方程的达朗贝尔（Dalembert）公式一、 达朗贝尔公式考察如下Cauchy问题： （1）作如下代换; （2）利用复合函数求导法则可得同理可得代入（1）可得0。先对求积分，再对求积分，可得d的一般形式这里为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 （3）由（3）第二式积分可得，利用(3)第一式可得所以，我们有 （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。例 求解柯西问题：解：其特

2、征方程为由此可得特征线方程为因此作变换从而可得0从而有由初始条件可得所以有，从而可得故而可知。二、 特征方程、特征线及其应用考虑一般的二阶偏微分方程称下常微分方程为其特征方程。由前面讨论知道，直线为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波在特征线上取值为常数值，右行波在特征线上取值为常数值，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。注：此方法可以推广的其他类型的问题。（第十四讲）三、 公式的物理意义由其中表示一个沿x轴负方向传播的行波，表示一个沿x轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以

3、行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。四、 依赖区间、决定区域、影响区域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间x-at,x+at内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间x-at,x+at称为点（x,t）的依赖区间对初始直线t=0上的一个区间x1,x2，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与x1,x2合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在x1,x2中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间x1,x2上的初始条件决定，与x1,x2之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为x

4、1,x2的决定区域。因此，在区间x1,x2上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（）则经过时间t后，受到区间x1,x2上初始扰动影响的区域为而此区域之外的波动不受x1,x2上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为x1,x2的影响区域。注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间x1,x2内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。补充：Fourier变换一、 定义设为定义在，若积分存在，称为的Fourier变换。称为的逆Fourier变换。记 二、 性质1 线性性质若已知 则有2 对称性若，则。3 相

5、似性若，则4 延迟性若，则若5 频移性若，则，。6 微分性若，则，特别。7 积分性若，则。8 卷积性若 则。第十五讲3.3 积分变换法举例例1、 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为的热源，杆的初温为，求t0时杆上温度分别情况。解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier 变换法求解。用表示的Fourier变换，关于x对上方程作Fourier变换可得此为一阶ODE，在由原问题的初始条件作Fourier变换可得上常微分方程的定解条件从而可得再利用Fourier逆变换可得原问题的解。由Fo

6、urier变换表知再由Fourier变换的卷积性质知。总结：积分变换法解定解问题的一般过程1 根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化；2 对所得简化问题求解；3 运用逆变换，求得原问题的解。例2一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C0 ，求杆上温度分布规律。解：由题意可知，等价于求下定解问题此问题不能用Fourier变换法（？）。要用Laplace变换法求解。若关于x作Laplace变换，则需要有u关于x的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t的Laplace变换。记，则作Laplace变换可得从而可得由定解条件知，当时，U有

7、界，从而可得又，故为求原问题的解，下用Laplace逆变换，查表可知令，则知再由Laplace变换的微分性质知最后，由Laplace变换卷积性知。注：从例1 和例2解的表达公式不难看出：函数对热传导问题起重要作用。令则例1的解可写为此公式为Possion公式，称函数为热传导方程的基本解。它表示在杆上处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。故有时称基本解为瞬时单位点热源的影响函数。例3用Laplace变换法求解定解问题：解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记，对方程做拉氏变换可得 用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解 又上常微分方程相应的齐次问题的通解为所以，上常微分方程的通解为， 再由定解条件可得AB0，从而故而，原定