第5章第1节数列的概念与简单表示法

1、一、数列的基本知识 1数列的定义 按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的通项公式 如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,一定顺序,序号n,1(1)数列是否可以看作一个函数？若是，则其定义域是什么？(2)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？,3数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,4数列的分类,有限,无限,2如何根据数列的通项公式判定数列的单调性？,5数

2、列的表示法 、 、 、递推法,列表法,图象法,解析法,解析：观察分子、分母得分子的形式为n(nN*)分母为2n1(nN*)的形式，故B选项符合 答案：B,答案：B,答案：A,解析：易知a22，a310，所以a2a320. 答案：20,5数列an的前n项和Snn21，则an_.,【考向探寻】 1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 2运用观察、归纳、猜想的方法求通项公式,由数列的前几项求通项公式,【典例剖析】 (1)(2013宜春模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：,他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4

3、,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A289B1 024 C1 225D1 378,(1)先求出三角形数和正方形数的通项公式，然后验证即可 (2)观察an与n的关系，归纳规律，写出an.,答案：C,(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需根据以下几方面的特征进行分析 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等，并对此进行归纳、联想,(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整 (3)观

4、察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,【考向探寻】 1利用an与Sn的关系求通项公式an； 2利用递推关系求通项公式an.,根据条件求数列的通项公式,(1)已知数列an中，a10，an1an(2n1)(nN*)，则an_；,解：(1)由题意知an1an2n1. ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 013(2n5)(2n3) (n1)2， 该数列的通项公式为an(n1)2.,(1)根据条件求数列的通项公式时，首先要对所给的条件进行分析，判断所属的类型，然后再结合相应的方法求

5、解 (2)解题中要注意转化、待定系数等方法的运用,利用anSnSn1(n2)求通项公式时，一定要验证n1时的情形若n1时，an适合SnSn1，则通项公式为一个表达式；否则要写成分段函数的形式,【活学活用】 2已知an满足a13，an12an1，则an_. 解析：由条件知an112(an1) 数列an1是以a114为首项，以2为公比的等比数列 an142n12n1， an2n11. 答案：2n11,【考向探寻】 1与数列有关的单调性、最值等问题 2数列与函数、方程的综合问题,数列的综合应用,当n9时，an1an0， 即an1an；当n10时，an1an0， 即an1an.9分 故a1a2a3a9a10a11a12， 数列an中有最大项，为第9项和第10项. 12分,(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，同时转化思想也是解题的常用方法 (2)数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法,本例解题过程中易出现只得出a9这一项，而忽视了a9a10，从而导致误解,【活学活用】 4设函数f(x)log2xlogx2(0 x1)，数列an满足f(2an)2n(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列的单调性,忽视n的取值范围致误,数列是一种