平行四边形的存在性问题

1、平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便针对训练1如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P若以A、C、P、M为顶点的四边形是

2、平行四边形，求点M的坐标 解析、由yx22x3(x3)(x1)(x1)24，得A（3，0），B（1，0），C（0，3），P（1，4）如图，过PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M因为AM1/PC，AM1PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1因为点P(1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(2，1)因为AM2/CP，AM2CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(1，4)重合，所以点A

3、(3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(4，1)因为PM3/AC，PM3AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3因为点A(3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+2x3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标 解析 由yx2+2x3(x1)(x3)，得A(1，0)，B(3，0) 如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分

4、，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2 当x2时，y =x2+2x33此时点M的坐标为(2，3) 如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM/AB，PMAB4 所以点M的横坐标为4或4 如图2，当x4时，y =x2+2x35此时点M的坐标为(4，5) 如图3，当x4时，y =x2+2x321此时点M的坐标为(4，21)第2题图1 第2题图2 第2题图33将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为

5、N，与x轴的交点从左到右依次为D、E在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由 解析、抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB2抛物线c2在平移的过程中，与抛物线c1关于原点对称所以四边形AMEN是平行四边形如果以点四边形AMEN是矩形，那么AEMN所以OAOM而OM2m23，所以(1m)2m23解得m1（如图） 第3题图 另解探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB2，AB边上的高为，所以AB

6、M是等边三角形 同理DEN是等边三角形 当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合 因为起始位置时BD2，所以平移的距离m1 4已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标解析、（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3 如图1，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为 将代入，得x1所以点M的坐标

7、为因此 （2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以 解得，所以二次函数的解析式为 （3）如图2，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E 在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m 因此点C的坐标可以表示为(4m，32m) 将点C(4m，32m)代入，得 解得或者m0（舍去） 因此点C的坐标为（2，2） 5如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时

8、，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长 解析（1）QB82t，PD （2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形说理如下：在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 已知PD/BC，当PQ/AB时，四边形PDBQ为平行四边形 所以，即解得 此时在RtCPQ中， 所以， 因此B

9、QBD所以四边形PDBQ不是菱形 如图1，作ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形 过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8 在RtAPE中，所以 当PQ/AB时，即解得 所以点Q的运动速度为 第5题图1 （3）以C为原点建立直角坐标系 如图2，当t0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0) 如图3，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4) 直线EF的解析式是y2x6 如图4，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）经验证，点M（，t）在直线EF上 所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF第5题图2 第5题图3 第5题图4 另解第（3）题

10、求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，PQ的中点为(2，2) 设点M的运动路径的解析式为yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)， 得 解得a0，b2，c6 所以点M的运动路径的解析式为y2x66如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|OB|15，|OB|OC|，ABC的面积SABC15，抛物线yax2bxc(a0)经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于

11、x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解析 （1）设OA的长为m，那么OBOC5m 由ABC的面积SABC15，得m5 所以点A、B、C的坐标分别为(1，0)、(5，0)、(0，5) 设抛物线的解析式为ya(x1) (x5)，代入点C(0，5)，得a1 所以抛物线的解析式为y(x1) (x5)x24 x5 （2）抛物线的对称轴为直线x2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x24 x5) 如图1，当E在x轴上方时，EF2(x2)

12、，EHx24 x5 解方程2(x2)x24 x5，得或（舍去） 此时正方形的边长为 如图2，当E在x轴下方时，EF2(x2)，EH(x24 x5) 解方程2(x2)(x24 x5)，得或（舍去） 此时正方形的边长为第6题图1 第6题图2 第6题图3（3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，5)，所以BC与x轴正半轴的夹角为45过点B作BMBC，且使得BM过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么BMN是等腰直角三角形在RtBMN中，斜边BM，所以BNMN7因此点M的坐标为(2，7)或(12，7)经检验，点(2，7)在抛物线y(x1) (x5)上；点(12，7)不在这条抛物线上所以点M的坐

13、标是(2，7) 另解第（3）题也可以这样思考：设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x24 x5)由于BMN是等腰直角三角形，BNMN，所以5xx24 x5解得x2或x5（与点B重合，舍去） 所以点M的坐标是(2，7)这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：当M在点B的右侧时，方程为x5(x24 x5)，这个方程和点M在点B的左侧时的方程是同一个方程7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3a经过A(1,0)、B(0,3)两点，与x轴交于另一点C，顶点为D（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F

14、为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图2，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求APQ的最大面积和此时Q点的坐标 图1 图2解析（1）抛物线的解析式为yx22x3，C(3,0)，顶点D(1,4) （2）如图1，直线BD为yx3，E(3,0)过ABE的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F 点E(3,0)向左平移2个单位得到点A(1,0)，那么点B(0,3) 向左平移2个单位得到点F1(2,3)经验证，F1(2,3)在抛物线上 F2不在抛物线上由B(0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E(3,0)，那么点A(1,0)

15、先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F3(4,3)经验证，F3(4,3)不在抛物线上 （3）如图2，直线AP的解析式为yx1过点Q作y轴的平行线交AP于H设Q(x, x22x3)，那么H(x, x1)因此SAPQSAQHSPQH所以当时，APQ的最大面积为此时Q第7题图1 第7题图28已知抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）（1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且ABC为直角三角形，求a，b的值；（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由 解析（1）抛物线对称轴

16、是直线x2 （2）点B(0,0)关于对称轴x2对称的点C为(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)当ABC为直角三角形时，ABC为等腰直角三角形，ABAC，BAC90所以点A的坐标为(2,2)或(2,2)将A(2,2)代入yax(x4)，得于是因此当A(2,2)代入yax(x4)，得于是因此 （3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且ABC为等腰直角三角形由A(2,b)，得B(2b,0)、C(2b,0)于是可得抛物线的解析式为ya(x2b)(x2b)代入A(2,b)，得bab2所以9如图，已知双曲线与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点（1）求证四边形ACBD是平行四边形；（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式解析（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OAOB，OCOD所以四边形ACBD是平行四边形 （2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线yx对称时，OAOBOCOD