讲座多元微分学

1、最新资料推荐第八章多元函数微分学第一节基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1 二元函数的定义定义 1 设 x ， y ， z 是三个变量如果当变量 x ， y 在在一定范围 D 内任意取定一对数值时， 变量z 按照一定的法则 f 总有确定的数值与它们对应， 则称变量 z 是变量 x ，y 的二元函数，记为 z f ( x, y) . 其中 x ， y 称为自变量， z 称为因变量 . 自变量 x ， y 的取值范围 D 称为函数的定义域 .二 元函数在 点x0 , y0所取得的 函数值记 为z xx0 ， z ( x ,y) 或 f ( x0 , y0 )yy00 02 二元函数的定

2、义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点不包括边界的区域称为开区域， 连同边界在内的区1最新资料推荐域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域能用封闭曲线围成的区域称为有界区域， 反之称为无界区域开区域如 : ( x, y) 1 x2y24yyoxxo闭区域 如:( x, y) 1x2y24注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关， ，与用什么字母表

3、示自变量与因变量无关例 1求下列函数的定义域，并画出的图形(1)zln 1 x2y2（2） zarcsin(xy)解（ 1） 要使函数有意义，应有 1x2y20即x2y21，定义域为有界开区域( x, y) x2y 21（ 2 ） 要 使 函 数 有 意 义 ， 应 有 x y1 ， 即2最新资料推荐1xy1定义域为无界闭区域( x, y)1xy13 二元函数的几何意义设 P( x, y) 是二元函数 zf (x, y) 的定义域 D 内的任一点 , 则相应的函数值为zf ( x, y) , 有序数组 x ，y ， z 确 定 了 空 间 一 点 M (x, y, z) , 称 点 集( x,

4、 y, z) zf ( x, y),( x, y) D 为二元函数的图形 .二元函数 zf ( x, y) 的图形通常是一张曲面 .注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关 .二、二元函数的极限与连续1二元函数的极限以点 P0 ( x0 , y0 ) 为中心，为半径的圆内所有点的集3最新资料推荐合 ( x, y) (xx0 )2( y y0 ) 2称为点 P的邻域，记0作 U ( P0 , ) 定义 2设二元函数 zf ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )的某一邻域内有定义（点P0 可以除外） , 点 P(x, y)

5、是该领域内异于P0 的任意一点如果当点 P(x, y) 沿任意路径趋于点 P0 ( x0 , y0 ) 时 , 函数 f ( x, y)总无限趋于常 数 A ， 那 么 称 A 为 函 数 zf ( x, y) 当( x, y) ( x0 , y0 ) 时的极限，记为limf ( x, y) A或limf ( x, y) Ax x0( x, y) ( x0 , y0 )y y0说明：（1）定义中 PP0的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数 .（2）倘若沿两条不同的路径，limf

6、(x, y)不相等，x x0y y0limf ( x, y)不存在，这是证明多元函数极限则可断定 x x0y y0不存在的有效方法（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等 .4最新资料推荐例 2lim sin(x2 y)求极限 x 0x2y2y 0解其中limsin(x2y)lim sin( x2y)x2yx2y2x 0x 0x2 y x2y2y 0y 0x2 y1sin( x2 y)0x2y22 xlimy2x 0 x2y0例 3 证明limx3 y不存在x6y2x 0y 0证明：设 y3limx3 ylimkx6k其6626

7、2kx，则 x0xy2x0xkx1ky0y0值随 k 的不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：（1）令点 P( x, y) 沿 ykx趋向于 P0 (x0 , y0 ) ，若极限值与k 有关，则 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在 ;（2）找出两种不同趋近方式，使lim f (x, y) 存在，但x x0y y0两者不相等，则此时f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在;2二元函数的连续性定义 3 设函数 zf ( x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某一邻域内有定义，如果处连续 .x x0, y0 ), 则称函数

8、f ( x, y)在点P0(x0 , y0 )lim f (x, y) f (x0yy05最新资料推荐定义 4 设函数 z f ( x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，分别给自变量 x ， y 在 x0 ， y0 处以增量 x ， y ，得全增量z f (x0x, y0y)f (x0 , y0 )如果极限limz0x0y0则称 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处连续如果函数 zf ( x, y) 在区域 D 内每一点都连续 , 则称函数 f ( x, y) 在区域D 内连续 .如 果函 数 zf ( x, y)在 点 P0 ( x0 ,

9、y0 ) 不连 续 ，则称 点P0 (x0 , y0 ) 是函数f (x, y) 的间断点 .例 4求 lim xy x2xyy 3解 因为函数 f (x, y) xxyy 是初等函数 , 且点 (2,3) 在该函数的定义域内 , 故 limx yf (2,3)5x 2xy6 .y 3例 5讨论函数 f (x, y)x2xyy2 ,x2y200,x2y20的连续性解当 (x, y)(0,0)时， f (x, y) 为初等函数 , 故函数在( x, y)(0,0)点 处 连 续 . 当 ( x, y)(0,0)时 ， 由 例 6知lim f ( x, y)lim2 xyy2不存在 , 所以函数

10、f (x, y) 在点(0,0)x 0x 0 xy 0y 06最新资料推荐处不连续，即原点(0,0) 是函数的间断点3有界闭区域上连续函数的性质性质 1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值性质 2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值三、偏导数1. 偏导数的定义定义 5设函数 zf ( x, y) 在 P0 (x0, y0 ) 的某邻域内有定义 ,固定 y y0 , 在 x0处给自变量 x 以增量 x , 相应地得到函数 z 关于 x 的得增量 ( 称为偏增量 ):xz f ( x0x, y0 ) f (x0

11、 , y0 )如果极限 lim0x zlimf ( x0x, y0 )f (x0 , y0 )xxx0x存在 , 则称此极限值为函数z f (x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处对 x的偏导数 , 记为zxx x0y y0， f xxx， zx xx0或 fx (x0 , y0 ) .0yy0yy0类似地 , 函数 zf ( x, y) 在点 ( x0,y0 ) 处对 y 的偏导数定义为 :limy zlimf ( x0 , y0y)f ( x0, y0 )，y 0yy0y记为zyx x0y y0， f yxx0， zy xx0 或 f y (x0, y0 ) .yy0yy07最

12、新资料推荐例 6求 zx23xy y2 在点 (1, 2)处的偏导数 .解把y看 成 常 数 , 得 z2x 3y ， 则xzx2 1328 ；x 1 y 2把 x 看成常数 , 得 z3x 2y ，则 zyy3 1227.x 1 y 2例 7求函数 f (x, y)arctan x 的偏导数y解:z11yy2 ，z1xxxx2 yx2x1x2y2x2y21yy例 8222设 ux2y2z2，证明uuu1 .xyz证明：因为 ux ， uy ， uz ，xuyuzu22u2x2y2z2u 2所以uu1xyzu2u2例 9已知理想气体的状态方程(为常数 ).PV=RTR求证： PVT1VTPRT

13、PRTRTVRPV证:,因为 PVVV 2；VPT P； TRTV. 所以PVTRTR VRTPVTPV2PR1RPV注：偏导数的记号z ,z 是一个整体 , 不能看成微xy商, 否则导致运算错误例 10求 f ( x, y)x2xyy2, x2y20 在点 (0,0)处的偏0,x2y208最新资料推荐导数 .x 00解: fx (0,0)f (0x,0) f (0,0)(x)202limlim0x 0xx0xy 00f (0y,0)f (0,0)( y)2020 .f y (0,0) limlimy 0yy0y注意 : (1)二元函数在某点存在偏导数 , 并不能保证函数在该点连续, 与一元函

14、数可导必连续是不相同的(2) 在分界点处的偏导数，用偏导数定义求(3) 由偏导数的概念可知， f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处关于 x的偏导数f x ( x0 , y0 ) 显然就是偏导数f x ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的函数值；fy ( x0 , y0 ) 是偏导数 fy ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的函 数值从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数2. 偏导 数的 几何 意义：设 P0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ) 为曲 面zf ( x, y) 上的一点

15、，过P0 作平面 y y0 截此曲面 z f (x, y) 得一曲线，其方程为zf ( x, y0 ) ，则导数f x ( x0 , y0 ) 就是曲线zf ( x, y0 ) 在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0, y0 ) 处的切线对x 轴的斜率（设切线与 x 轴的倾斜角为，则 fx (x0 , y0 )tan）9最新资料推荐同样，偏导数f y (x0 , y0 ) 是曲面 zf ( x, y) 与平面 xx0 的交线在点 P0 (x0 , y0 , f ( x0 , y0 ) 处的切线对y 轴的斜率（设切线与 y 轴的倾斜角为，则 f y ( x0 , y0 ) tan ）3、

16、高阶偏导数函数 zf ( x, y) 的两个偏导数zf x ( x, y) ， zf y (x, y) 它们xy都是 x ， y 的二元函数 , 如果这两个函数关于x ， y 的偏导数也存在 ,即z ，z ，z，z ，称它xxyxx yyy们为二元函数 zf ( x, y) 的的二阶偏导数二元函数的二元偏导数最多有4 个将xz表为 2 z2 或 f xx ( x, y) 或 zxx ；xxyz表为 2 z 或 f xy (x, y) 或 zxy ；xxyxz 表为 2 z 或 f yx (x, y) 或 zyx ；yyx10最新资料推荐yz表为 2 z2 或 f yy ( x, y) 或 zy

17、y yy其中，z2 zfxy ( x, y) zxy，z2 zxx yx yf yx ( x, y) zyxyy x是二阶混合偏导数类似地 , 二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数zf ( x, y) 的三阶偏导数最多有8个：fxxx ， f xxy ， f xyx ， f xyy ， f yxx ， f yxy ， f yyx ， f yyy一般地， n 1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的 n 阶偏导数，二元函数 z f ( x, y) 的 n 阶偏导数最多有 2n 个二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而zx和 z 称为函数的一阶偏导数y注：二阶偏导数的计算方法是逐次求

18、偏导数定理（求偏导数次序无关的定理）如果函数z f ( x, y) 的两个二阶混合偏导数2 z ，2 z 在区域 D 内连x yy x续, 则对任何 ( x, y) D 有2 z2 z .x yy x即二阶混合偏导数连续的条件下, 混合偏导数与求导的次序无关 , 对更高阶的偏导数也有类似的结论4. 全导数的定义11最新资料推荐设 z f (u, v) ， u(t ) ， v(t) ，且 f、 、 均可导，则关于 t 的一元函数 z f (t ),(t ) 也可导，且有dzfduf dvdtudtv dtz 对 t 的导数叫全导数四、全微分1. 定义设函数 zf ( x, y) 在点 P0 (x

19、0 , y0 ) 的某邻域内有定义 , 给 x ， y 在 (x0 , y0 ) 分别以增量x 、 y ，相应地得到函数的全增量 z ，若其可表示为zAxB y o()其中 A 、 B 与 x 、 y 无关( x)2( y)2 o( ) 为 x 0 ，y 0 时 的高阶无穷小则称函数f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处可微A x B y称为f ( x, y)在 000)处的全微分，记为P (x, ydz ( x, y )00当zf ( x, y)在zf x (x0 , y0 ),Axxx0yy0dz ( x0 , y0 )zxzyx xy xx0x0y y0yy0df (x

20、0, y0 )A xB yP0 ( x0 , y0 )可微时，zfy ( x0 , y0 )， 于 是By x x0yy0注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即xdx ，ydy ，则全微分又可记为dzz dxz dy .xy五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系12最新资料推荐定理 2若函数 zf (x, y) 在点 P(x, y) 处可微，则函数在点 P( x, y) 连续定理 3（可微的必要条件）如果函数z f (x, y) 在点 P( x, y) 处可微，则在该点处的两个偏导数z、 z 必都xy存在，且 dzz dxz dy xy定理 4（可微的充分条件）若函数zf ( x,

21、y) 的两个偏导数z 、 z 在点 P(x, y) 的某领域存在，并且在点xyP( x, y) 处连续，则函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 处必可微注：若 zf ( x, y) 在 P( x, y) 处 ,z 、 z 都存在 , 不能保xy证 z f ( x, y) 在 P( x, y)处可微分 .例如： f ( x, y)x2xyy2 , x2y20 在点 (0,0)处 fx (0,0) 0 ，0,x2y20f y (0,0) 0 但它在点 (0,0)处不可微分 .注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数 .（ 2）

22、函数 z f ( x, y) 的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系六、多元复合函数微分定理 ( 复合函数的偏导数 ) 设函数 u( x, y) ，v( x, y)13最新资料推荐在点 ( x, y) 处有偏导数， 函数 zf (u, v) 在对应点 (u, v) 处有连续偏导数 , ，则复合函数 zf (x, y),( x, y) 在点 ( x, y) 处的偏导数存在 , 且zzuzvzzuzvxuxvxyuyvyuxzvy七、隐函数微分1. 一元隐函数求导公式方程F ( x, y)0yy(x) ， F (x, y( x)0 ，链式图F两边对 x 求导，得：xyxFFdy则 dyFFx0 ，

23、xxydxdxFFyy2. 二元隐函数求导公式方程 F ( x, y, z)两边对 x 求导：两边对 y 求导：得zx0zz( x, y) 得 F (x, y, z( x, y)0FFzxz0xFFzyz0yFxzFyFzyFz14最新资料推荐7.2 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面xx(t )空间曲线yy(t ) ，下面给出曲线的切线的定义zz(t )定义：设点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是空间曲线上的一个定点，M 是曲线 上的一个动点，当点 M 沿着曲线 趋近于 M 0 时，割线 M 0 M 的极限位置 M 0T（如果存在）称为曲线 在点 M 0 的切线，并称

24、过点 M 0 而且垂直于切线 M 0T 的平面为曲线 在点 M 0 的法平面下面推导曲线 在点 M 0 的切线和法平面方程设对应于定点 M 0 的参数为 t0 ，令 x0x(t0 ) ， y0 y(t0 ) ，z0z(t0 ) ，则点 M 0 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) ，设曲线上对应于参数为 t 0t 的点 M 的坐标为 ( x0x, y0y, z0z) ，根据解析几何知识，割线 M 0 M 的方向向量为 x,y, z ，也可取为x ,y ,z ，当 t 0 时，点 M 沿着曲线趋于 M 0 ，割线 M 0Mttt的极限位置就是曲线 在点 M 0 的切线，若 x(t ) ，

25、y(t ) ，z(t)在 t0 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ，从而曲线在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为x x0y y0z z0x (t0 )y (t0 )z (t0 )曲线在点 M 0 的法平面方程为x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t 0 )( zz0 )015最新资料推荐二、曲面的切平面与法线设曲面方程为F (x, y, z)0 ，过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且完全在xx(t )曲 面上的曲 线 为，其参数 方 程为yy(t) ，因 此zz(

26、t)F ( x(t ), y(t ), z(t)0 对 t 求导，在 tt0 处（即在点M 0 处）有Fx (x0 , y0 , z0 )x (t0 )Fy ( x0 , y0 , z0 ) y (t 0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) z (t0 )0向量 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) 是曲线 在点 M 0 的切线的方向向量，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 ) 和这些切线垂直， 又由于所取曲线 的任意性，可知曲面上任意一条过 M 0 的曲线 ， 它 在 点 M 0 的 切

27、 线 皆 垂 直 于 向 量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) ，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点M 0 处的切平面，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) 是切平面的法向量曲面在点 M 0 处的切平面方程为Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0曲面在点 M 0 处的法线方程为x x

28、0y y0z z0Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )7.3 二元函数的极值一、二元函数的极值定义 1：设函数 zf ( x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某个邻域内有定义，若该邻域内16最新资料推荐f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，点 ( x0 , y0 ) 为极大点，f (x0 , y0 ) 为极大值；f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，点 ( x0 , y0 ) 为极小点， f (x0 , y0 ) 为极小值 . 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值定义 2

29、：方程组 f x( x, y) 0的解，称为函数 z f (x, y) 的f y ( x, y) 0驻点定理 1（取极值的必要条件） ：若函数 zf ( x, y) 在点P0 (x0 , y0 ) 一阶偏导数存在，且P0( x0 , y0 ) 是 z f ( x, y) 的极值点，则该点的偏导数必为零，即f x ( x0, y0 )0 f y ( x0, y0 )0定理 2（极值存在的充分条件） ：设点 P0 ( x0 , y0 ) 是函数 z f ( x, y) 的驻点，且函数在点 P0(x0 , y0 ) 的某邻域内二阶偏导数连续，令A fxx ( x0 , y0 )Bf xy (x0 ,

30、 y0 )C f yy (x0 , y0 )则(1)当 B2AC 0 时 , 点 P0 (x0, y0 ) 是极值点 , 且（ i）当A0( 或C 0 ) 时, 点 P0 ( x0 , y0 ) 是极大值点； (ii) 当 A0 ( 或C 0 ) 时, 点 P0 ( x0 , y0 ) 是极小值点 .（ 2）当 B2 AC 0 时，点 P0 ( x0 , y0 ) 不是极值点 .（ 3）当 B2 AC 0 时，点 P0 (x0 , y0 ) 可能是极值点也可能不是极值点 .例 1 求函数 f (x, y) x3 4x2 2xy y 2 1的极值 .解: （1）求偏导数 f x ( x, y)

31、3x2 8x 2y ， f y ( x, y) 2x 2 y ，17最新资料推荐f xx (x, y) 6x 8 ， f xy ( x, y)y， f yy ( x, y)2（2）解方程组 fx ( x, y) 3x28x2 y 0 得驻点 (0,0) 及f y ( x, y)2 x2 y0(2, 2)在 (0,0)处， A8 , B 2 , C2 ,B2AC0在 (2, 2)处， A4 , B 2 , C2 ,B2AC0结论： 函数在 (0,0)处取得极大值 f (0,0)1，在 (2, 2) 无极值 .注意：对一般函数, 可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、条件极值与无条件

32、极值1. 求二元函数无条件极值步骤如下：（1）求 fx ( x, y) ， f y ( x, y) ，并解方程组fx ( x, y)0 ，求f y (x, y) 0得所有驻点；（2）对于每一个驻点 ( x, y) ，求出二阶偏导数的值Afxx ( x0 , y0 ) ， Bfxy ( x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ；（ 3）定出 B 2 AC 的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点 ( x, y) 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值2. 求二元函数 z f (x, y) 在约束条件 ( x, y) 0 下的极值的方法和步骤如下：方法一：条件极值无

33、条件极值18最新资料推荐（1）从约束条件( x, y)0 中求出 y( x) ；（ 2）将 y( x) 代入二元函数f (x, y) 中化为一元函数f ( x,(x) ，变为无条件极值；（3）求出一元函数f ( x,( x) 的极值即为所求方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法） .(1) 构造辅助函数 F( x, y, )f (x, y)(x, y) , 称为拉格朗日函数 , 其中参数称为拉格朗日乘数；(2) 由 F ( x, y, ) 的一阶偏导数组成如下方程组：Fx ( x, y)fx ( x, y)x (x, y)0Fy ( x, y)f y (x, y)y (x, y)0(x, y)0（ 3）结上述方程组得驻点 ( x0 , y0 ) ，则 ( x0 , y0 ) 就是函数的极值点，依题意判断 f (