数理逻辑-归结法原理.ppt

1、归结法原理,马殿富 北航计算机学院 2012-4,主要内容,机械证明简介 命题逻辑归结法 谓词逻辑归结法,自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的通用程序。 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公式是有效的或是无效的。 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇（A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存在判定公式是否有效的通用程序。 如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它是有效的 对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。,1930年希尔伯

2、特（Herbrand）为定理证明建立了一种重要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。 开创性的工作是赫伯特西蒙（H. A. Simon）和艾伦纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械定理证明达到了应用阶段。 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为逻辑式程序设计语言Prolog的计算模型。,主要内容,机械证明简介 命题逻辑归结法 谓词逻辑归结法,基本原理,Q1,Qn|=R，当且仅当Q1QnR不可满足 证明Q1,Qn|=R (1). Q1QnR化为合取范

3、式； (2). 构建子句集合，为Q1QnR合取范式的所有简单析取范式组成集合； (3).若不可满足，则Q1,Qn|=R。,机械式方法,若证明Q1,Qn|=R，只要证明Q1QnR不可满足。 机械式证明： 公式Q1QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即； 证明不可满足 则有Q1,Qn|=R。 机械式地证明不可满足是关键问题,子句与空子句,定义：原子公式及其否定称为文字(literals)；文字的简单析取范式称为子句，不包含文字的子句称为空子句，记为。 例如 p、q、r和s都是文字 简单析取式pqrs是子句 字p、q、r和s 因为pqrs不是简单析取范式，所以pqrs不是子句。,定义：设

4、Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中去掉文字q，记为Q-q。 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式p rs。,归结子句,定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字，子句是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即pqrws不是Q1和Q2的归结子句。,定理：如果子句

5、Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q 证明： 设Q1=pq1qn，Q2=pr1rm。 赋值函数(Q1)=1，即(pq1qn)=1， (p) (q1qn)=1. 赋值函数(Q2)=1，即(pr1rm)=1， (p) (r1rm)=1. 有(q1qn r1rm)=1，即(Q)=1。 证毕,反驳,定义：设是子句集合，如果子句序列Q1,Qn满足如下条件，则称子句序列Q1,Qn为子句集合的一个反驳。 (1).对于每个1kn，Qk Qk是Qi和Qj的归结子句，ik，jk。 (2). Qn是。,例题：(QR)QQ 皮尔斯律 证明： 因为(QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以子句集合=Q, R

6、Q, Q Q1= Q Q1 Q2= Q Q2 Q3= Q3= (Q1-Q) (Q2-Q),定理：子句集合是不可满足的当且仅当存在的反驳。 证明：设为Q1,Qn是反驳。 (1).若Qk，|=Qk. (2).若|=Qi，|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则Qi, Qj|=Qk。因此，|=Qk。 (3).因为Qn=，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设是q和q。 因此，|=q，|=q。|=qq，不可满足。,又证：设子句集合是不可满足的。 (1).不妨设子句集合不含永真式。因为从中去掉永真式不改变的不可满足性。 (2).若含有相反文字，不妨设是q，则 Q1=q Q1 Q2=q Q2 Q3=

7、因此，Q1, Q2,Q3是反驳.,(3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合不可满足，则有有穷子句集合0，0，使得0是不可满足的。,若有穷子句集合0是不可满足的，则0中的子句必出现相反文字。 假设有穷子句集合0是不可满足的，且0中的子句不出现相反文字，那么，对于0中子句的每个文字qk，有赋值函数使得(qk)=1，因此，(0)=1，0是可满足的，这样与0是不可满足的相矛盾。,设0有n种相反文字，有相反文字q和q，0中的子句分为三类， 一类是有文字q的子句， 另一类是有文字q的子句， 再一类是没有文字q和q的子句,q = qPk| qPk，q =qQk| qQk，C=-q-q |q |=m1，|q

8、 |=m2，|C|=m3。 R= Pi Qj| qPiq, qQjq 1 =CR 1有n-1个命题变元。 若有r1并且r1，则存在反驳。,若q q C 不可满足，则1 =CR不可满足。 若1是可满足的，则有赋值函数，使得(1)=1。 如果(Pi)=1，i=1,.,m1，那么有(q)=0，而其他命题变元r有(r)=(r)。 (qPi)=1，其中，qPiq (qQj)=1，其中，qQjq (Rk)=1，其中，RkC 因此，若1是可满足的，则有，使得(0)=1，这样就产生了矛盾，所以，1是不可满足的。,如果(Pi)=0，im1，则有Pi Qj1，j=1,m2。 因为(1)=1，所以有(Pi Qj)=

9、1，即(Qj)=1，j=1,m2。 设(q)=1，而其他命题变元r有(r)=(r)。 (qPi)=1，其中，qPiq (qQj)=1，其中，qQiq (Rk)=1，其中，RkC 若1是可满足的，则有，使得(0)=1，这样就产生了矛盾，所以，1是不可满足的。,因此，1有n-1个命题变元并且1是不可满足的。 对于所有的n进行处理获得n，必有反驳，否则必有n可满足，进而有0可满足。 证毕,例题：P(QR) (PQ) (PR) 分配律 (P(QR) (PQ) (PR) (P(QR) (PQ) (PR) (PQ) (PR)( P (PR) (Q (PR) (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR) 因为(P(QR) (PQ) (PR)的合取范式 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR) 所以子句集合 = P,PQ, PQ, PR ,PR , QR。,Q1= PQ Q1 Q2=PQ Q2 Q3= Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q) P(QR) (PQ) (PR) 分配律,例题：PQR(PR) (QR) 证明： (PQR) (PR) (QR) ( PQ) R) (PRQR) (PQR) PQR 因为(PQR)(PR)(QR)的合取范式