高代 直纹面.ppt

1、02:11,直纹面, 交线, 区域,1,7 直纹面,直纹面的概念：由直线族组成 椭球面不是直纹面 双曲抛物面 单叶双曲面,02:11,直纹面, 交线, 区域,2,7 直纹面,柱面、锥面和旋转单叶双曲面都是由一族直线生成的。这样的曲面称为直纹面。,1) 椭球面是有界的，因此不可能是直纹面；,而且曲面不存在与xOy平面平行的直母线，,因此双叶双曲面不是直纹面；,同理，椭圆抛物面也不是直纹面。,下面证明单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面,02:11,直纹面, 交线, 区域,3,直纹面,则称曲面S为直纹面.,下面证明单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面, 介绍证明某曲面是直纹面的方法 (以参数方程为主, 参

2、数方程与一般方程相结合),02:11,直纹面, 交线, 区域,4,双曲抛物面(1),引进参数u, v使得,HP的参数方程,02:11,直纹面, 交线, 区域,5,双曲抛物面(2),比较系数得,分解为两个关于X, Y, Z的齐次线性方程组,基础解系,02:11,直纹面, 交线, 区域,6,双曲抛物面(3),02:11,直纹面, 交线, 区域,7,双曲抛物面(4),02:11,直纹面, 交线, 区域,8,单叶双曲面(1),注意到平行于xOy平面的直线不落在HO上,得到直线的参数方程如下,代入HO的方程,02:11,直纹面, 交线, 区域,9,单叶双曲面(2),比较系数,02:11,直纹面, 交线,

3、 区域,10,单叶双曲面(3),分三种情况讨论：,02:11,直纹面, 交线, 区域,11,单叶双曲面(4),分三种情况讨论：,与情况(i)类似,02:11,直纹面, 交线, 区域,12,单叶双曲面(4),02:11,直纹面, 交线, 区域,13,单叶双曲面(5),02:11,直纹面, 交线, 区域,14,单叶双曲面(6),02:11,直纹面, 交线, 区域,15,单叶双曲面(7),02:11,直纹面, 交线, 区域,16,单叶双曲面(8),或,生成.,02:11,直纹面, 交线, 区域,17,单叶双曲面(9),是一条直线,是一条直线,02:11,直纹面, 交线, 区域,18,单叶双曲面(10

4、),所确定的曲线是一条直线。,所确定的曲线是一条直线。,02:11,直纹面, 交线, 区域,19,8 曲面的交线与曲面围成的区域,两个曲面的交线确定的空间曲线 在实际应用中常常会遇到. 曲面围成的空间区域 在计算重积分的时候，需要对空间区域的轮廓有清楚的了解才能把重积分化为逐次积分进行计算。 弄清曲面的交线的情况有助于对空间区域的了解。,02:11,直纹面, 交线, 区域,20,曲面的交线及投影,为了了解空间曲线的位置和性质，常常把曲线在坐标平面上进行投影 曲线C在平面xOy上的投影是以C为准线, 母线与z轴平行的柱面与xOy平面的交线. 把方程组(8.1)中的某个变量消去, 就能得到一个投影

5、柱面. 必须指出, 为了确保投影柱面与坐标平面的交线正好是曲线的投影, 需要对柱面中的变量范围作限制.,(8.1),02:11,直纹面, 交线, 区域,21,例子 8.1:维维安尼曲线(1),球面,与直圆柱,的交线称为维维安尼(Viviani)曲线.,求该曲线在各坐标平面上的 投影以及曲线的参数方程.,02:11,直纹面, 交线, 区域,22,例子 8.1:维维安尼曲线(2),直圆柱(8.3)在xOy 平面的投影:,曲线C在xOy平面的投影的方程为,02:11,直纹面, 交线, 区域,23,例子 8.1:维维安尼曲线(3),再求曲线C沿y轴的 投影柱面,由(8.2)式减去(8.3)式得到平行于

6、y轴的柱面,02:11,直纹面, 交线, 区域,24,例子 8.1:维维安尼曲线(4),再求曲线C沿x轴的 投影柱面,(8.4),代入(8.2)可得C在yOz平面上 的投影的方程,02:11,直纹面, 交线, 区域,25,例子 8.1:维维安尼曲线(5),参数方程: 由(8.3)式可以取,代入球面方程(8.2)得,于是曲线C的参数方程为,02:11,直纹面, 交线, 区域,26,由曲面围成的空间区域,球面与直圆柱面的交线为维维安尼曲线, 它们围成的空间区域,02:11,直纹面, 交线, 区域,27,例子 8.2 由不等式组围成的区域(1),作出由不等式组,所确定的区域的简图.,(与x轴平行),02:11,直纹面, 交线, 区域,28,例子 8.2 由不等式组围成的区域(2),的交叉部分,02:11,直纹面, 交线, 区域,29,例子 8.3 由曲面围成的封闭区域(1),画出由下列曲面围成的封闭区域的简图：,这个区域是由旋转抛物面、圆柱面和xOy平面所围成,可以先作出旋转抛物面的草图，,最后由该圆作平行于z轴的直线，得到两个曲面的交线,02:11,直纹面, 交线, 区域,30,例子 8.3 由曲面围成的封闭区域(2),这个区域是由旋转抛物面、圆柱面和xOy平面所围成,曲线C在xOy平面上的投影是一个圆:,曲线C在xOz平面上的投影是直线段:,