第二章：高斯光学2.ppt

1、第二章: 高斯光学（理想光学系统）,理想光学系统最早由高斯提出，故通常把 理想光学系统的理论称为高斯光学,2-4 理想光学系统的基点与基面,这里我们定义一些特殊的共轭点和共轭面作为理想光学系统的基点和基面。,一、焦点与焦面,F(像方焦点),(物方焦点) F,A,A,像方焦平面,物方焦平面,像方焦点：无限远轴上的物点所对应的像点F 物方焦点：无限远轴上的像点所对应的物点F 物方焦面：过物方焦点的垂轴平面 像方焦面：过像方焦点的垂轴平面,焦点和焦面的性质：P32 1）像方焦点和焦平面的性质： 2）物方焦点和焦平面的性质：,F(像方焦点),(物方焦点) F,A,A,像方焦平面,物方焦平面,说明：,像

2、(物)方焦平面和无限远的物(像)平面共轭。 由于光学系统的孔径总是有限的，所以，无限远轴外物点发出、能够进入光学系统的光线总是相互平行的，为斜平行光束。 无限远轴外物点发出的斜平行光束经过光学系统后，成像于像方焦平面的轴外一点； 物方焦平面轴外一点发出的光束，经过光学系统后，变成一束斜平行光束。 ,B,BF,二、主点与主面,主面：垂轴放大率为1的一对共轭面 包含物方主面，像方主面 物方主点：物方主面与光轴交点 像方主点：像方主面与光轴交点,Q,Q,H,H,像方 主平面,物方 主平面,像方主点,物方主点,三、焦距,像方焦距f：从像方主面到像方焦面的距离，从像方主面起算，由左向右为正。 物方焦距f

3、：从物方主面到物方焦面的距离。从物方主面起算，由左向右为正。,-f,f ,U,-U,h,光焦度： 光焦度表征光学系统的会聚或发散本领。 0，对光束会聚作用； 0，对光束发散作用。 空气中，n=n =1，故 光焦度单位：在空气中，焦距为正1米的光焦度作为光焦度的单位，称为屈光度折光度，用D表示。 眼镜的度数=镜片的折光度100，因此，如果： f =400mm， 则： = 1/0.4=2.5个折光度=250度； f =-250mm，则： = 1/(-0.25)=-4个折光度=-400度,四、节点和节平面,节点的定义：入射光线 与出射光线总是相互平行的一对特殊共轭点（光轴上）, 分别用J和J表示。

4、节平面：过节点的垂轴平面。 节点的度量：以焦点为原点的坐标xJ和xJ表示, 以焦点为原点，由左向右为正。,J,J,-xJ,xJ,f,-f,FQH与rtJBF全等,得： FH=JF -xJ -f,HJN与rtHJN全等,得： xJ=FJ=FH+HJ =JF+HJ=HF= f xJ f,Q,Q,N,N,B,B,节点的性质,凡过J点的光线 ，其出射光线必过J，且和入射光线平行。 即U J =UJ； 。这表明：通过节点的光线经过理想光学系统后，出射光线方向不变。 若光学系统位于同一种介质中, 则n=n, f = -f ，则： 节点与主点重合。,五、结论 只要已知一个理想光学系统的一对主平面和两个焦点位

5、置，成像性质就可以完全 确定。所以，通常用一对主平面和两个焦点来代表一个光学系统。,2-5 理想光学系统的物像关系,理想光学系统的成像特性主要指成像的位置、大小、正倒与虚实。分析方法有图解法和解析法。 一、图解法 根据理想光学系统成像理论：从一点发出的光束经过系统后必交于一点，因此，只需任意二根光线即可确定像的位置。常用的三条特殊光线： 平行于光轴入射的光线； 通过焦点F的光线； 通过节(主)点入射光线。 作图求解物像关系时，可任选其中二根光线直接作图或作为辅助光线。 注意点：光线在主面上等高的地方改变方向。,A,1 轴外点B或轴外线段AB的成像,这种情况相对简单些，即直接任选三条特殊光线中的

6、两条作图即可求解轴外B的的像。 显然：物体AB的像是倒立的实像。,A,B,N,M,N,M,B,-y,y,2.负焦距系统对轴外物体成像P36,B,B,A,3 虚物成像P36,什么是虚物?虚物是如何形成的? 虚物是由入射同心光束向前的延长线的交点形成，而非实际存在的物体，一般是由前一个系统的实像被当前系统所截得到。这里光线并非由虚物实际发出的！,A,B,B,A,4 轴上物点的成像,有限远轴上物点A发出的同心光束中，没有一条是上述三条特殊光线，因此，必要借助于特殊的辅助光线： 方法一：过焦点F平行于AM的光线； 方法二：过主点H平行于AM的光线； 方法三：焦面上P点平行于光轴的光线； 方法四：P点过

7、主点H的光线；,A,M,M,A,P,P,轴上物点的成像（负焦距系统）,负焦距光学系统的作图求解与正焦距系统一样, 只是像方焦面与物方焦面容易搞混出错, 因此, 需要特别注意。,A,A,方法三：焦面上P点平行于光轴的光线；,P,5 两个及两个以上系统的成像 解决了单个光学系统的成像问题，即解决了整个光学系统的成像问题。当物体经过两个及两个以上光学系统时，依次作出每条光线经过每个系统的成像即可。,轴上虚物点成像：方法一：过焦点F平行于AM的光线；,M,6.已知像，求物。 7.几点注意：P37 4）光线转折点在主面上物方光线在物方主面转折，像方光线在像方主面转折； 7）采用正向光路； 8）实光线有箭

8、头，虚实分明（延长线为虚线）； 9）主面间用虚线,总结 1）已知物，求像； 2）已知像，求物； 3）已知轴上物（像）点，求像（物）点； 4）求焦点； 5）求主点（主平面）。 作业：教材P54:T6,T7；P36:图2.15,二、解析法,图解法求解物像关系简明、直观，便于分析和理解共线成像理论。但精度不高，不能满足工程实际的需要。因此，精确求解像的大小和位置，还必须用解析法。 1 物像位置关系 度量基准 以焦点为原点：x、x； 以主点为原点：l、l；,N,M,M,N,牛顿公式,由rtABFrtHMF和rtNHFrtBAF分别得到： 由此可得： 由上式得 x x = f f 以上两式就是以焦点为原

9、点的物像公式，称为牛顿公式。 这就是以焦点为原点的放大率公式。 有些场合使用牛顿公式求解问题是比较方便的。,或,例（作业T7）：已知一个透镜把物体放大-3倍投影在屏幕上，当透镜向物体移近18mm时，物体将被放大-4倍，试求透镜的焦距。-216mm,高斯公式,高斯公式是用以主点为原点的物像距离l和l与焦距的关系。 由图中几何关系有： -l = (-x) + (-f ) 及 l = x + f 即： x = l f， x = l f 将代入牛顿公式，有：（l f )(l f ) = f f ,N,M,M,N,高斯公式,展开整理得： 大多数光学系统位于空气中，即n = n, f =- f ,则：,由

10、牛顿公式得： x= f f /x 两边同加上f ，得： x + f = f f / x+f = f /x (x + f) 由于x + f = l，x + f = l，代入上式，得： f /x = l / l 根据牛顿形式的放大率公式，有： = -f / x = -(f /x)(f /f ) =,垂轴放大率公式,垂轴放大率公式,可见：物体放大率随其位置而异，不同共轭面，放大率不同。 根据放大率 的大小、正负，可以判断像的大小、正倒； 根据像距l的正负，可以判断像的虚实。 。,一个薄透镜对某一物体成一实像，放大率为-1，今以另一个薄透镜紧贴在第一透镜上，则见像向透镜方移动20mm，放大率为原先的3

11、/4，求两透镜的焦距。并用图解法校核之。40mm,240mm,作业：T8,四、 理想光学系统的放大率,1、垂轴放大率 上节已经推导出了系统垂轴放大率的表达式，即： 由k个光组组成的系统，其垂轴放大率为：,2、轴向放大率,轴向放大率定义为像沿轴向位置的微小变化量与相应物体位置的变化量之比，即： 对高斯公式 两边微分，有： 于是： 若系统位于同一介质中，则： = 2,当物体移动一个有限距离或为一有限大小的线段时，这时物体的平均轴向放大率为： 由牛顿形式的放大率公式，有： 代入上式，得： 如果系统位于同一种介质中，则：,3、角放大率,角放大率定义：轴上任一对共轭光线与光轴夹角的正切之比，即： 由图2

12、.14可得： 则 若系统位于同一介质中，则： 因只与物体位置有关，而与成像光束的孔径无关。因此，角放大率与光束孔径角U或U无关。,4、三种放大率之间的关系(P44),将 = -(f/f) 2与 = -(f/f)/ 两式相乘，即得： = 可见：三种放大率之间是密切联系的。,光学系统在同一种介质时，,五、 物体（像）位于无限远时，求像（物）高,P41无限远物对应的像高： 例：T9,2-6 光学系统的主面和焦点位置确定,一、单个球面的主面和和焦点,1.球面的主面位置,A,D,B,F,C,O,F,n,n,2、单个折射球面的焦距,在近轴区考虑问题，则两主面与球面顶点O相切，即： OF=-f，OF=f 利

13、用单个折射球面的物像关系式 n/l -n/l = (n-n)/r 令l=-，则得像方焦距： 令l=，则得物方焦距： 可见：单个折射球面的物像方焦距不等，且f/f =-n/n。,A,D,B,F,C,O,F,n,n,3、球面反射,当,，,二、两个光组的组合主面和焦点,Q,Q,F,H,F,H,E1,E2,系统基点的度量方式: 1、以焦点为原点 以F2度量F: xF，以F1度量F:xF。 说明系统的等效性！,Q,Q,F,H,F,H,E1,E2,1、确定焦点 因F与F1相对第二光组共轭，有： 式中=F1F2为光学间隔，与间隔 d 的关系为： = d - f1 + f2 同样，F与F2相对于第一光组共轭，

14、有：,Q1,Q1,Q2,Q2,N2,N2,H2,H2,H1,H1,Q,Q,F,H,F2,F1,F,H,N1,N1,F1,F2,-xF,-f1,f,f2,xF,-f,f1,-f2,d,E1,E2,2、确定主面：由FHQF2H2N2及Q1H1F1F1F2E2，有： 于是得： 同理，由rtFHQrtF1H1N1及rt Q2H2F2rtF1F2E1，有： 亦得：,Q1,Q1,Q2,Q2,N2,N2,H2,H2,H1,H1,Q,Q,F,H,F2,F1,F,H,N1,N1,F1,F2,-xF,-f1,f,f2,xF,-f,f1,-f2,d,E1,E2,光学系统组合的有关公式,当 时,【例2-1】一光学系统

15、由两光组组成，f1=500mm, f2400mm ,d=300mm,求光学系统像方焦点及像方主面的位置。,Q,F,H,F2,三、透镜的基点位置与焦距,设透镜在空气中，两曲率半径为r1和r2，折射率为n，厚度为d，于是n1=1，n1=n2=n， n2=1。由单个球面焦距公式得： 由此得透镜的光学间隔： 于是，透镜的焦距为： 或写为光焦度的形式（考虑在空气中）：,透镜的焦点位置：,透镜的主点位置： 可见：透镜的特性由其结构参数r1、r2、n及d决定。,四、典型透镜的分析,双凸透镜 因r10, r20，为会聚透 镜, 且lH0。表明两主面位置透镜 内部。 当d = r1-r2 时, 两球心重合，f0

16、, lH=r2, lH=r1，可见：两主面重合于球心。,F,F,H,H,F,F,H,H,C1,C2,当 时, f =， lH= , lH= 。两主面也位于无限远。这时，F1与F 2重合。,H,H,F,F,F2,F1,O2,O1,Q,Q,当 时， f 0, lH0。这时，两个主面位于透镜之外。,双凹透镜,因r10, r2-r10。焦距公式中分母0，故f0，即两主面位于双凹透镜内部。 平凸透镜 设凸面在前，即r10, r2=。这时焦距为： f =r1/(n-1) 0 lH=-d/n, lH= 0 这表明：平凸透镜是会聚透镜, 其焦距与厚度无关。一个主面与球面顶点相切, 另一个在透镜内部。,H,H,

17、F,F,H,H,F,F,平凹透镜,设凹面在前，即r1r10，故r2-r10， f 0，而lH0，lH0，这时，物方主面在凸面之前，像方主面在凹面之前。,H,H,负弯月透镜(月凹),两半径同号，凸面半径的绝对值大于凹面半径，即r1r20，故r2-r10，lH0，发散透镜，主面偏于球心一方。 d = r1-r2时，两球面同心，且f 0, lH=r2，lH=r1，两主面重合于两球面的公共球心处，为发散透镜。,H,H,F,(C,O1,O2,时， f =， lH= , lH= 。两主面也位于无限远，F1与F2重合在无限远。平行光进平行光出。,时， f 0， lH0, lH0。透镜变成正透镜，主面位于球面

18、球心相反一侧顶点以外。,H,H,薄透镜,薄透镜：厚度为0的透镜。尽管实际上并不存在厚度为0的透镜，但当透镜厚度远小于其焦距或半径时，厚度d对光焦度的贡献很小，可当薄透镜看待，简化问题的分析，且在像差理论中有重要的应用。表示方式。 当d0时： = (n1)(12) lH= 0, lH= 0 可见：薄透镜主面与球面顶点重合。故薄透镜的光学性质仅由其焦距或光焦度决定。 如果两薄透镜组合在一起，若二者紧密接触，d = 0，则： = 1+ 2 若二者相隔一定距离d，则 = 1+ 2- d12 可见：随着d的增大， 可能为正，也可能为负，亦可能为0。,2-7 实际光学系统基点与焦距的计算,一、实际光学系统

19、在近轴区具有理想光学系统性质 理想光学系统的成像特性由高斯公式表示： 将单个折射面的焦距公式 代入上式，得： 这表明：实际光学系统在近轴区具有理想光学系统的成像特性。因此，实际光学系统的基点位置与焦距是指近轴区的。,二、实际光学系统的基点位置与焦距计算,实际光学系统=透镜或折射面。按系统组合的方法来计算相当繁琐。因此，一般均采用近轴光线的光路计算公式计算： 令l1=, u1=0, l1u1=h1为起始数据，依次计算出lk和uk，则： lF= lk f = h1/uk lH=lF - f 这种计算称为正向光路计算。物方基点位置与焦距计算采用反向光路计算。,实际光学系统的基点位置与焦距计算,实际光

20、学系统在近轴区具有理想光学系统成像特性。因此, 对实际光学系统在近轴区追迹平行光线, 即能计算实际光学系统的基点位置和焦距。 【例题】三片式柯克照相物镜的基点和焦距计算。 结构参数 r/mm d/mm n 26.67 5.20 1.6140 189.67 7.95 -49.66 1.60 1.6475 25.47 6.70 72.11 2.80 1.6140 -35.00,F,H,Q,正向追迹：计算像方基点位置和像方焦距,从左到右追迹一条平行的近轴光线，取初始坐标如下： l1=-, h1=10mm, i1=h1/r1 这里h1可取任意值。 利用近轴光线的光路追迹公式，逐面进行光路计算，得： l

21、=67.4907mm, u=0.121869 于是： lF= l=67.4907mm, f = h1/ u=10/0.121869=82.055mm lH= lF- f= -14.564mm 反向追迹：计算物方基点位置与物方焦距 并不是直接反向计算, 而是把系统倒转, 即将最后一面作第一面, 将第一面作为最后一面, 利用上述相同步骤, 得： f =- 82.055mm, lH= 12.037m lF= -70.018mm 计算表明：系统物像方焦距大小相等，符号相反。,2-8 几种典型系统的理想光学性质,前面讨论的是有限焦距系统：平行光入，出射光线与光轴相交，无焦系统：平行光入平行光出与光轴不相

22、交，即 一、望远系统 两光组组成，光学间隔=0，即F1与F2重合。其特性： 因=0, f =, f =: 平行光入平行光出, 主点与焦点在;,E,E,设物体到第一光组物方焦点的距离为x，像距第二光组像方焦点为x，则由牛顿公式有：,因=0，x2=x1，于是得望远镜的物像公式： 垂轴放大率公式： 对物像公式微分, 得轴向放大率：,由图中rt F1H1Q1和rt H2F2Q2可知：,而H1Q1=H2Q2 ，故角放大率为：,E,U,UA,UA,E,U,若望远系统在空气中，则：f1=-f 1， f2=-f 2，于是：,由此可见：望远系统的放大率仅取决于两光组的焦距之比。这说明：不管物体的位置如何，其放大

23、率是不变的。这是由于其光学间隔为0而不同于其他系统的地方。 组成望远系统的前后两光组分别称为：物镜和目镜。通常: f 1 f 2, 缩小实像，因 1,故物体被“拉”近了。 物镜焦距大于根据目镜焦距f 2的正负不同，望远系统分为： 伽利略望远镜 开普勒望远镜,1 伽利略望远镜系统,物镜为正透镜光组，目镜为负透镜光组。 成像为正立的虚像。 系统中没有中间实像面，故不能设置分划板对像进行测量。,物镜,目镜,y1(y2),y1 (y2),2 开普勒望远镜系统,物镜和目镜均为正透镜光组。 成倒立的虚像； 有一个中间实像面，可以设置分划板。,F1 (F2),物镜,目镜,分划板,3 望远系统与有限焦距系统的组合,望远系统与望远系统组合仍为望远系统：进一步(视觉)放大； 望远系统与有限焦距系统组合形成等效长焦距系统：像方焦点即为所加有限焦距系统的像方焦点，组合焦距变长。 用途：获得短筒长的长焦距光学系统。 试问：组合系统的焦距为多少？,F1(F2),F(F