第6章习题完整解答

1、.第六章 定积分及其应用习题6-11应用定积分的定义计算下列定积分： （1） （2） 解答：（1）由于被积函数在区间上连续，故积分存在，且它与区间的分法及点的取法无关，为便于计算，将区间进行等分，得小区间长度为，在小区间上取右端点，作积分和，于是，即； （2）将区间进行等分，得小区间长度为，在小区间上取右端点，作积分和，于是，即难度：二级2用定积分的几何意义求下列定积分的值： （1） （2） （3）解答：（1）由定积分的几何意义，表示以原点为圆心、半径为的圆在第一象限中部分的面积，故； 精品.（2）由定积分的几何意义，表示正弦曲线在上与轴所围图形面积的代数和，由于轴上下部分面积相等，； （3）

2、由定积分的几何意义，表示直线、与轴所围图形三角形面积，由于面积等于1，所以难度：一级3利用定积分求下列各式的极限： （1）已知求 （2）已知求 （3）已知求 （4）已知求参考答案：(1); （2）ln2； （3）； （4）解答：（1）由于，所以； （2）； （3）精品. （4）难度：二级4用定积分的性质比较下列积分的大小： （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 参考答案：（1）； （2）； （3）； （4）.解答：（1）因为在区间上，有，且等号仅在端点取得，所以由定积分的性质有； （2）因为在区间上，有，且等号仅在左端点取得，所以由定积分的性质有； （3）因为在区间上，有，且等号仅在左端点取

3、得，所以由定积分的性质有； （4）因为在区间上，有，且等号仅在端点取得，所以由定积分的性质有精品.难度：二级习题6-21求下列函数的导数： （1） （2）（3）设求（4）（5）设求（6）设求 （7）设求（8）设求解答：（1） ； （2）；（3）因为，所以，于是；（4）；此处最后一步用到精品.（5）因为，所以，于是；（6）利用隐函数求导，在方程两边对求导，有，解得；（7）利用参数方程求导，有；（8）利用参数方程求导，有，难度：一级2当x为何值时，函数有极值？解答：由于，所以，当时，而，所以当时函数有极小值难度：二级3当x为何值时，函数在区间上取最大值和最小值。参考答案：当x=1时，取最大值；当x

4、=0时，取最小值.解答：由于，所以，在区间上，故函数在区间上单调增，于是当时，取最小值，当时，取最大值难度：二级精品.4求下列各极限：（1） （2）（3） （4）参考答案：（1）1； （2）12； （3）1； （4）解答：（1）利用洛比达法则， （2）利用洛比达法则，；（3）利用洛比达法则，；（4）利用洛比达法则，难度：二级5设精品. 当a、b为何值时，f（x）在x=0处连续。参考答案：a=8, b=3.解答：由题意，如果函数在处连续，那么，于是解得难度：二级6应用牛顿-莱布尼兹公式计算下列定积分： （1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）解答：（1）； （2）；（3）

5、； 精品.（4）；（5）； （6）；（7）由于，所以；另解：令，则，于是由牛顿-莱布尼兹公式，；（8）难度：一级习题6-31应用换元法计算下列积分： （1） （2） （3） （4）精品. （5） （6） （7） （8） （9） （10）解答：（1）令，则； （2）令，则； （3）令，则；（4）令，则；（5）令，则；（6）令，则；（7）令，则； （8）令，则； （9）；（10）令，则难度：(1)(2)(5)(6)(7)(8)一级,（3）（4）（9）（10）二级精品.难度：二级2利用分部积分法计算下列积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）解答：（1

6、）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），解得 ； （8）精品.；（9）； （10）移项，即得难度：二级3设求解答：难度：二级4设在上二阶可导，且且求解答：难度：二级5已知求解答：由于所以，于是精品. 难度：二级习题6-41利用辛普森法近似计算下列积分（把区间分成6等分，精确到小数点后三位）： （1） （2） （3）解答：（1）按辛普森公式，有；（2）按辛普森公式，有； （3）由计算公式，可得1.089.精品.难度：二级2函数由下列表格给出： 4.60用辛普森法计算积分的近似值（精确到小数点后三位）解答：由计算公式，这里所以难度：二级3计算并讨论下列广义积分的敛散性： （1） （2）

7、 （3） （4） （5） （6） （7） （8）解答：（1）由于，原积分收敛；精品.（2）由于不存在，故积分发散；（3），原积分收敛； （4），原积分收敛；（5）由于不存在，积分发散，从而原积分发散； （6）令，原积分收敛； （7），原积分收敛；（8），原积分收敛。难度：二级4计算并讨论下列广义积分的敛散性： （1） （2） （3） （4） （5）解答：（1），原积分收敛； （2）由于不存在，所以原积分发散；（3），原积分收敛；（4）令，则，精品.原积分收敛； （5）由于 不存在，所以原积分发散。难度：二级习题6-51求下列曲线所围成平面图形的面积： （1） （2） （3） （4） （5） 解

8、答：（1）； （2）；（3）；（4）； （5）；难度：二级2求下列参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积： （1） （2） （星形线）；精品. （3）摆线的一拱与横坐标轴；参考答案：（1）； （2）； （3）； （4）；解答：（1）； （2）； （3）。难度：二级3求下列极坐标方程表示的曲线所围成的平面图形的面积： （1）心脏线； （2）内部的公共部分； （3）内部内部的公共部分。 解答：（1）利用图形上下对称，； （2）利用图形对称，； （3）利用图形对称，。难度：三级4求抛物线及其在点处的法线所围成图形的面积。解答：抛物线在点处的法线为，所围图形的面积 。精品.难度：二级5求抛物线，x轴及

9、该曲线过原点的切线所围成图形的面积。解答：该曲线过原点的切线，所围图形的面积或。难度：二级6有一立体，以长半轴a=10、短半轴b=5的椭圆为底，而垂直于长轴的任一截面都是一个等边三角形，求它的体积。 参考答案：（答案有误？）解答：设椭圆方程为，以为积分变量，截面为以为边长的等边三角形，截面面积为 ，所求立体体积为 。难度：二级7设有半径为a的正圆柱体，一平面通过底圆中心且与底面构成角，得一圆柱楔形，求它的体积。解答：取平面与底圆交线为轴，底圆圆心为坐标原点，则垂直于轴的截面面积为精品. ，所求立体体积为 。所属章节：第六章第五节难度：二级8. 求下列诸曲线所围平面图形绕指定轴旋转所得的旋转体的

10、体积： （1）所围图形绕x轴； （2）所围图形绕x轴； （3）所围图形绕x轴，绕y轴； （4）所围图形绕x轴；解答：（1）； （2）利用图形关于原点对称，； （3）；（4） 难度：二级9求下列各曲线段的弧长： （1） （2） （3）星形线的全长。 精品.解答：（1）由于，所以所求弧长为 ； （2）由于，所以所求弧长为 ； （3）由于，所以所求弧长为。 难度：二级习题6-61若10n的力能使弹簧伸长1cm,现在使弹簧伸长10cm，问需要作多少功？ 解答：由虎克定律，得，即，故所作的功为 （）。难度：二级2半径为1的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全抽尽，问至少需要作多少功？ 解答：以球心为

11、坐标原点，垂直向下为轴正向，所求功为 难度：二级3一容器上半段为圆柱形，其半径为2m，高为4m，下半段为半球形，其中有水，水面高度为圆柱体部分的一半，该容器埋于地下，容器口离地面3cm，求将其中水全部抽上地面所需的功。精品. 参考答案：解答：解 ，。 难度：二级4有一水槽，其横截面为等腰梯形，两底的长分别为80cm和40cm，高为20cm，较长的底在上面，当水盛满时，求横截面上一侧所受的水压力。 解答：以上底中心为坐标原点，垂直向下为轴正向，则右侧腰所在直线的方程为 ， 压力元素为 ，, 所求压力为 (kg)。难度：二级5一个底为10cm（此处单位应为m），高为12m的等腰三角形闸门垂直置于水中，底与水面相齐，求一侧所受的水压力。 解答：以三角形薄板的底的中点为坐标原点，垂直向下为轴正向，所求水压力为 （t）。难度：二级精品.6一个底为80cm，高为60cm的等腰三角形薄板，垂