北京市海淀区2015届高三第一学期期中考试数学(理)试题

1、.北京市海淀区2015 届高三第一学期期中考试数学（理）试题2014.11本试卷共 4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（ 1）设集合A xR | x 1 ， B x R |1x2 ，则 A I B（）（ A ） 1,)（ B） (1,)（ C） (1,2（ D） 1,1)（ 2）已知向量 a(2,1) ， b(3, x) . 若 a b3，则 x （）（ A ） 6（ B） 5（ C） 4（ D）

2、3（ 3）若等比数列 an 满足 a1a3 5 ，且公比q2 ，则 a3 a5（）（ A ） 10（ B ） 13（ C） 20（D ） 25（ 4）要得到函数y sin(2 xy sin 2x 的图象（）) 的图象，只需将函数3（ A ）向左平移个单位（ B ）向左平移个单位36（ C）向右平移个单位（ D ）向右平移个单位36（ 5）设 a ( 1 )13， blog 2 1， clog2 3 ，则（）23（ A ） a b c（ B） c a b（ C） a c b（ D） c b a（ 6） 设 a,bR ，则“ ab0 且 ab ”是“ 11”的（）ab（ A ）充分而不必要条件（B

3、 ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件.x, x0,a( x 1) 有三个不 恒谦 相等的实数（ 7）已知函数 f ( x)若关于 x 的方程 f ( x)x , x 0.根，则实数 a 的取值范围是（）（ A ） 1 ,)（ B ） (0,)2（ 8 ）设等差数列 an 的前 n 项和为Sn .在同一个坐标系中，anf (n) 及Sng (n) 的部分图象如图所示，则（）（ A ）当 n4 时， Sn 取得最大值（ C）当 n4 时， Sn 取得最小值（ C） (0,1)（ D ） (0, 1 )2an (Sn )0.778- 0.4On- 0.8（ B）当 n

4、 3 时， Sn 取得最大值（ D）当 n 3 时， Sn 取得最小值.A二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分 。（ 9）设复数i，则 z_z1iBDC（ 10 ） 已知函数y 2 x a 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是.（ 11）sin x)dx _.( x（ 12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位： mg / L ）随时间（单位： h ）的变化关系为 C20t，则经过 _ h 后池水中药品的浓度达到最大 .t24uuuruuuruuur（ 13）如图所示，在 ABC中， D 为 BC 边上的一点，且 BDR ) ，则2DC .

5、若 ACmABnAD (m, nmn_ .（ 14）已知函数f ( x)Asin( x )（A,是常数，A 0,0）的最小正周期为,设集合M直线l l为曲线 yf ( x) 在点 (x0 , f ( x0 ) 处的切线， x00, ) .若集合 M 中有且只有两条直线互相垂直，则=； A =.AD三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（ 15）（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)sin xsin( x) .3BC（）求f ( ) 的值；2（）求 f ( x) 的单调递增区间 .（ 16）（本小题满分13 分）已知 an 是各项均为正数的等比数列，

6、a11,a2 成等差数列 .，且 a1, a32（）求 an 的通项公式；（）求数列annn项和Sn. 的前（ 17）（本小题满分13 分）如图所示，在四边形ABCD 中，D 2 B ，且 AD 1,CD 3,cos B3.3（）求 ACD 的面积；（）若 BC2 3 ，求 AB 的长 .（ 18）（本小题满分14 分）已知函数f( ) 2lnxx21.xa（）若 a1, 求函数 f ( x) 的单调递减区间；（）若 a0，求函数 f ( x) 在区间 1,) 上的最大值；（） 若 f (x)0在区间 1,) 上恒成立，求 a 的最大值 .（ 19）（本小题满分13 分）.已知数列 an 的前

7、 n 项和 Snn(1an ) (n 1,2,3,L ) .2（）求 a1 的值；（）求证： ( n 2)an 1 (n 1)an 1(n2) ；（）判断数列 a 是否为等差数列，并说明理由 .n（ 20）（本小题满分14 分）设函数 f (x)5x21， L 为曲线 C : y f ( x) 在点 ( 1,1) 处的切线 .16x 2312（）求 L 的方程；（）当 x1 时，证明：除切点(1, 1 ) 之外，曲线 C 在直线 L 的下方；512（） 设 x1 , x2 , x3R ，且满足 x1x2x33 ，求 f (x1 ) f ( x2 )f ( x3 ) 的最大值.海淀区高三年级第一

8、学期期中练习数学（理）答案及评分参考2014.11一、 （共8 小 ，每小 5 分，共 40分）（ 1） C（ 2） D（ 3）C（ 4）B（ 5） B（ 6） A（ 7） D（ 8）A二、填空 （共6 小 ，每小 5 分，共 30分。有两空的小 ，第一空2 分，第二空3 分）（ 9）2（ 10） 0（ 11） 02（ 12） 2（ 13） 2（ 14） 2； 12三、解答 （共6 小 ，共 80分）（ 15）（共 13 分）解：（） 11 3 分f () sinsin() 1.222322（） f ( x)sin x sin( x)3sin x(sin x cos 5 分3cos x sin

9、)3sin x1313( sin x2cos x)sin xcos x sin( x) .2223 9 分函数 ysin x 的 增区 2 kZ ) ，, 2k( k22由 2kZ) ， 11 分x2k2(k23得 2k5Z ) .x2k(k665所以f (x) 的 增区 Z) . 13 分2 k ,2k( k66.（ 16）（共 13 分）解：（）因 a1 , a3 ,a2 成等差数列，所以 2a3a1a2 . 数列 an 的公比 q( q0) ，由 a11可得2 1 q211 q ，2222即 2q2q10 .解得： q1或 q1 （舍） .2所以 an1 ( 1 )n 11 .222n（

10、）由（）得：ann1n .2n1111所以 S123 Lnn222232n111L11 23 Ln222232n1(11)n(n1)1n( n1)22n1212.2n12（ 17）（共 13 分）2 分4 分5 分 7 分 8 分9 分13 分解：（）因 D 2B ， cos B3 ，3所以cos Dcos2B2cos 2 B 11. 3 分3因 D(0, ) ，所以 sin D1cos2 D2 2. 5 分3因 AD1,CD3 ，所以 ACD 的面 S1 AD CD sin D11 32 22 .223.7 分（）在ACD 中， AC 2AD 2DC 22 AD DCcos D12 .所以

11、AC2 3 .因 BC2 3 ， ACAB，sin Bsin ACB2 3ABABAB所以sin( 2B)sin 2B2sin B cosBsin B所以AB4 .（ 18）（共 14 分）解：（）当 a1 ， f ( x)2ln xx21 .f ( x)2 2 x2( x2 1) ， x 0 .xx令 f(x)2( x21)0 .x因 x0，所以x1.所以 函数 f ( x) 的 减区 是(1,) .（） f (x)2a2( x2a)x 0.2xx,x9 分11 分AB.2 3 sin B313 分2 分3 分4 分令 f (x)0 ，由 a0 ，解得 x1a ， x2a （舍去） . 5

12、分 当a1 ，即 0a1 ，在区 1,) 上 f(x)0 ，函数 f ( x) 是减函数 .所以函数 f ( x) 在区 1,) 上的最大 f (1)0； 7 分 当a1，即 a1 ， x 在 1,) 上 化 ，f ( x),f (x) 的 化情况如下表x(1, a)a( a ,+ ? )f (x)+0-.f ( x)0a ln a- a+ 1所以 函数 f ( x) 在区 1,) 上的最大 f (a )a ln aa1 .10 分 上所述：当 0 a 1 ，函数f ( x) 在区 1,) 上的最大 f (1)0 ；当 a1 ，函数 f ( x) 在区 1,) 上的最大 f (a ) a ln

13、 aa1 .（）由（）可知：当0 a ，f ( x) f (1)0在区 1,)上恒成立；1 11 分当 a1 ，由于 f ( x) 在区 1,a 上是增函数，所以f ( a ) f (1) 0, 即在区 1,) 上存在 xa 使得 f ( x)0 . 13 分 上所述， a 的最大 . 14 分（ 19）（共 13 分）（）解：由 意知：S11a1 ，即 a11 a1 .22解得： a11. 2 分（） 明：因 Snn(1an ) (n1,2,3,L) ，2所以 Sn 1( n1)(1an 1 ) （ n 2 ） . 4 分2因 anSnSn 1 （ n 2 ） . 6 分所以 annan1(

14、 n1)an 1 ，即 (n2) an1 (n 1)an 1( n2) .2 7 分（）数列 an 是等差数列 .理由如下： 8 分又 Sn 2(n2)(1an2 ) （ n 3 ），由（）可得：2(n1)an 1 1( n2) anan 1Sn 1 Sn 22 （ n 3） . 9 分2.所以 an an 1nan2( n 1)an 1(n2)an 2 ，2即 (n2)an2(n 2)an 1 (n 2)an 20 . 11 分因 n 3，所以 an 2an 1an 20，即 anan 1an 1 an 2 （ n 3 ） .所以 数列 an 是以 1 首 ， a21 公差的等差数列 . 1

15、3 分（ 20）（共 14 分）解：（） f ( x)10x162 .(5 x216x23)所以f (1)1.24所以 L 的方程 y11 (x1) ，即 y1x1 3 分12242424（）要 除切点( 1,1 ) 之外，曲 C 在直 L 的下方，只需 明x( , 1) U ( 1, 1) ，1255x211x1恒成立 .16 x 232424因 5x2 16x230，所以 只需 明x(,1) U (1,1) ， 5x311x27 x 10 恒成立即可55 分设 g ( x)5x311x27 x1 ( x 1 ).5则 g (x)222x7( x1)(15x7) .15x令 g ( x)0

16、，解得 x11， x27.6 分15当 x 在 (,1 上 化 ， g (x), gx的 化情况如下表5( 1,7 )7711x15(,1)1-,-)15(5515g ( x)+0-0+g ( x)00.所以x(（）（）当x1由（）可知：f ( x2 )5x22, 1) U ( 1,1) ， 5x311x27x1 0恒成立51 , x21 , 且 x31 ，555f (x1 )211x11 ，5x116x1232424111， f (x3 )116x2 23x2245 x3216x324.8 分1 x31 .232424三式相加，得f ( x1 )f ( x2 ) f ( x3 )1x21(x1x3 ).248因 x1 x2x33 ，所以 f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 ) 1