第七章第1讲一元二次不等式及其解法.ppt

1、第1讲一元二次不等式及其解法,考点梳理,(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0) (2)求出相应的一元二次方程的根 (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集,1一元二次不等式的求解步骤,2一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系 如下表：,x|x1xx2,R,一个命题解读 一元二次不等式、分式不等式及其他不等式的解法是高考考查的热点，以填空的形式出现在高考中而不等式的解法与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等相结合的问题，则以解答题形式呈现尤其是含参数的不等式及恒成立问题，考查得更多一些 两个防范

2、 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行讨论，分类要不重不漏,【助学微博】,1(2012南京学情分析)若不等式x22x3a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是_ 解析由题意得a22a1x22x3(x1)22恒成立，所以a22a30，解得1a3. 答案a|1a3,考点自测,2(2012扬州调研)不等式(|x|1)(x2)0的解集是_,答案(1,1)(2，),答案28,4(2012南京模拟)已知Ax|1x2，Bx|x22xa0，

3、A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是_ 解析若A，B的交集是空集时，即x22xa0在1x2上恒成立 令f(x)x22xa，因为对称轴为x1，所以yf(x)在集合A上递增，所以f(2)0即可，所以a8，所以A，B的交集不是空集时，实数a的取值范围是8， ) 答案8，),5(2012苏北四市调研一)已知p：x24x50，q：x2 2x1m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则m 的最大值为_,答案2,(1)若f(x)7a0仅有一个解，求f(x)的表达式； (2)若f(x)在(，)上单调递增，求实数a的取值范围,考向一一元二次不等式的解法及其应用,方法总结 解一元二次不等式ax2bxc0(

4、a0)的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号； (3)若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集,(1)当m3时，求A(RB)； (2)若ABx|1x4，求实数m的值,(2)由(1)知Ax|1x5， 而Bx|x22xm0，且ABx|1x4， 所以4是方程x22xm0的一个根， 即4224m0，所以m8. 此时，Bx|2x4符合题意，故实数m的值为8.,考向二含有参数的不等式的解法及其应用,解12x2axa2， 12x2axa20， 即

5、(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,【例2】 求不等式12x2axa2(aR)的解集,方法总结 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 (2)其次判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系 (3)再次当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式,【训练2】 解关于x的不等式(1ax)21.,(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围,考向三一元二次不等式恒成立问题,【例3】 设函数f(x)mx2mx1.,当

6、m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,方法总结 1.含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，参数的范围化归为函数的最值问题af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 2一元二次不等式恒成立问题：,时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 解法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa. 当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增， f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立， 只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1； 当a1，)时，f(x)minf(a)2a2， 由

7、2a2a，解得1a1. 综上所述，所求a的取值范围为3,1,【训练3】 已知f(x)x22ax2(aR)，当x1， ),含参数的不等式恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题,规范解答11 怎样求解含参数不等式的恒成立问题,(1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立 注：e为自然对数的底数 审题

8、路线图 第(1)问求f(x)，令f(x)0或f(x)0可求单调区间；第(2)问只需f(x)mine1且f(x)maxe2即可,【示例】 (2011浙江卷)设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.,模板构建 解含参数不等式恒成立问题，可按下列方法求解： 第一种方法：利用判别式法求解；对于一元二次不等式恒成立问题这是最基本方法； 第二种方法：构造函数，利用函数最值法求解，即f(x)0恒成立f(x)min0；f(x)0恒成立f(x)max0. 第三种方法：数形结合法求解，对不太常规的函数，有时较为方便. 第四种方法：分离参数，用最值法求解，即f(x)a恒成立f(x)maxa； f(x)a恒成立f(x)mina.,恒成立，则实数a的取值范围是_ 解析由题意得a28a0，解得0a8. 答案(0,8),高考经典题组训练,1(2012福建卷)已知关于x的不等式x2ax2a0在R上,ax1)0，则a_. 解析由题知x0时均有(a1)x1(x2ax1)0， 当a1时，不符合题意； 当a1时，,2(2012浙江卷)设aR，若x0时均有(a1)x1(x2,令f(x)(a1