初中数学最值问题

1、最值问题“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 一、利用函数模型求最值例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米求y与x之间的函数关系式和y的最值。 例2、如

2、图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,BAD=120，E为BC上一动点（不与B重合），作EFAB于F，设BE=x，DEF的面积为S当运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？ABCDEF二、利用几何模型求最值例3、如图所示，已知AB是O中一条长为4的弦，P是O上一动点，且cosAPB，求APB的面积的最大值？例4、如图，已知RtABCRtDEF，C=F=30，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。 三、归入“两点之间的连线中，线段最短” 思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都

3、是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。例5、(1)如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A.2 B.2 C.3 D. (2)如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_例6、几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动

4、点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值_（3）如图3，是内一点，分别是上的动点，求周长的最小值_ABPlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1P例7、如图，锐角ABC的边AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_四、归于“三角形两边之差小于第三边” 例8、如图（1），直线与轴交于点C，与轴交于点B，点A为轴正半轴上的一点，A经过点B和点，直线BC交A于点D。（1）求点D的坐标；ADCB（2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在

5、一点，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是_2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是_3.如图是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，

6、一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是_4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_米（结果不取近似值） 六、综合提高1.如图，（1），在ABC中，AC=BC=2,ACB=90，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0a2），请写出CQ+PQ最小值，并说明理由。ACBPQ2.如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角AON=30新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。（1）求新开发区A到公路MN的距离，（2）现从MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B距离ABCNOM之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB的值。3.已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标（3