传输线理论与电感

1、目錄第一章 傳輸線理論1 傳輸線原理2 微帶傳輸線3 微帶傳輸線之不連續分析第二章 被動元件之電感設計與分析1 電感原理2 電感結構與分析3 電感設計與模擬4 電感分析與量測第一章 傳輸線理論傳輸線理論與傳統電路學之最大不同，主要在於元件之尺寸與傳導電波之波長的比值。當元件尺寸遠小於傳輸線之電波波長時，傳統的電路學理論才可以使用，一般以傳輸波長（Guide wavelength）的二十分之（/20）為最大尺寸，稱為集總元件（Lumped elements）；反之，若元件的尺寸接近傳輸波長，由於元件上不同位置之電壓或電流的大小與相位均可能不相同，因而稱為散佈式元件（Distributed ele

2、ments）。由於通訊應用的頻率越來越高，相對的傳輸波長也越來越小，要使電路之設計完全由集總元件所構成變得越來越難以實現，因此，運用散佈式元件設計電路也成為無法避免的選擇。當然，科技的進步已經使得集總元件的製作變得越來越小，例如運用半導體製程、高介電材質之低溫共燒陶瓷（LTCC）、微機電（MicroElectroMechanical Systems, MEMS）等技術製作集總元件，然而，其中電路之分析與設計能不乏運用到散佈式傳輸線的理論，如微帶線（Microstrip Lines）、夾心帶線（Strip Lines）等的理論。因此，本章以討論散佈式傳輸線的理論開始，進而以微帶傳輸線為例介紹其理

3、論與公式，並討論微帶傳輸線之各種不連續之電路，以作為後續章節之被動元件的運用。一、傳輸線原理傳輸線之電路表示方式一般以兩條等長的導線表示，如圖1.1(a)。其中一小段長度為z的傳輸線，可以用1.1(b)的集總元件電路模型描述，其中zzi(z, t)v(z, t)(a)RzLzGzCzi(z, t)v(z, t)v(zz, t)(b)圖1.1 傳輸線之等效電路圖R=兩導體中單位長度的串聯電阻，單位/m。L=兩導體中單位長度的串聯電感，單位H/m。G=兩導體中單位長度的並聯電導，單位S/m。R=兩導體中單位長度的並聯電容，單位F/m。圖1.1(b)中，由柯希荷夫電壓定律可得 (1.1a)圖1.1(

4、b)中，由柯希荷夫電壓定律可得(1.1b)將(1.1a)與(1.1b)除以z，並取z0的極限，可得到以下之微分方程式 (1.2a) (1.2b)此兩式為時域的傳輸線方程式，或稱為電報方程式。1若以相位穩態表示，以上之電報方程式可以表示如下(1.3a)(1.3b)結合(1.3a)與(1.3b)之聯立微分方程式，可得傳輸線電壓與電流之波動方程式(1.4a)(1.4b)其中，(1.5)是一個與頻率有關的複傳播常數。(1.4a)與(1.4b)的電壓與電流解為(1.6a)(1.6b)為一組行進波，其中項表示往方向傳播，項表示往方向傳播。將(1.6a)代入(1.3a)，可得傳輸線上的電流波(1.7)比較(

5、1.6b)與(1.7)式，並定義傳輸線之特性阻抗，可得(1.8)將電壓波之相位解表示回時域之數學式為(1.9)其中，傳輸線之波長為(1.10)相位速度為(1.11)(一) 有負載之傳輸線當傳輸線接上負載如圖1.2，在處利用(1.6a)與(1.6b)式，負載阻抗之電壓與電流的關係為(1.12)ZLZ0,V(z), I(z)VLILzl0圖1.2 末端接負載之傳輸線化簡(1.12)為反射波電壓振幅與入射波電壓振幅的比值，並定義為反射係數(1.13)將(1.6a)與(1.6b)式改寫成以反射係數表示，得到(1.14a)(1.14b)利用以上之傳輸線接負載的公式，並將反射係數的觀念應用在傳輸線上的任何

6、一點，也就是在圖1.2中處代入(1.14a)與(1.14b)，即為由往負載方向看進去之輸入阻抗(1.15)利用(1.13)式代入(1.15)式，可將輸入阻抗改寫成(1.16)（註：）(二) 無損之負載傳輸線 對於有損耗之傳輸線而言，特性阻抗與傳播常數均為複數。然而，在許多實際的情況，傳輸線的損耗性都很低，因此可以忽略不計，亦即，。如此，(1.16)式可以改寫為更常用的公式(1.17)(三) 無損之特殊負載傳輸線的輸入阻抗 在許多微波領域的應用中，運用某些特殊負載（如短路或開路等）之傳輸線長可以被用來作為電路設計的一部份，例如阻抗匹配或是取代集總元件之電感電容等使用。1) 負載短路：代入(1.1

7、7)式，得到(1.18)2) 負載開路：代入(1.17)式，得到(1.19)3) 四分之波長傳輸線：，代入(1.17)式，得到(1.20)二、微帶傳輸線微帶線（Microstrip Lines）傳輸線是近二十年來快速發展與廣泛運用於微波與射頻的傳輸線結構，由於其平面式結構易於和其他基頻電路整合，因此使通訊應用變得大量普及。由於微帶線等傳輸線的理論完整，再加上運用電磁理論的電腦輔助設計軟體（Full wave simulators）功能日益強大，使得被動元件設計甚至主動電路設計在高頻模擬變得精確且快速。 本節將針對微帶傳輸線的特性與公式做一個大略的介紹，作為後續章節以微帶線為基礎結構所設計之被動

8、元件的參考。(一) 微帶線結構 微帶線的結構如圖1.3所示。微帶線主要包含上層的導體帶線（寬度，厚度）與下層的導體平面，其中間夾著一層介電係數的絕緣層（厚度）。圖1.3 微帶傳輸線的結構 微帶線的電磁波傳遞包含上層導體附近的空氣部份與以及與下層導體之間的介電層，由於波傳送在空氣中與介質中的速度不一致，因此傳輸模式不屬於完全的TEM模態，而是屬於TE-TM的混合波。由於在空氣與介質的波速不同，傳波常數與特性阻抗分析也就變得複雜。(二) 準TEM波的近似分析 因為微帶線的型態不屬於TEM波，因此無法以純TEM波的方式加以分析。所幸，在某些前提之下，例如介電層的厚度很小時（大多數的實際應用狀況），電

9、磁力線將很接近靜電場，因此以近似靜電場的方式分析也可以得到很好的相位速度、傳波常數與特性阻抗。因此，微帶線的波傳遞稱為準TEM波。 當微帶線介質板的介電係數時，準TEM波的傳播介電係數可以用表示，稱為有效介電係數，且，而波的相位速度與傳播常數可以表示為(1.21)(1.22)其中，為光速，為波的角頻率。 理論上，微帶線的有效介電係數與特性阻抗的計算公式取決於空氣中的單位長度電容值與介電層的單位長度電容值，表示如下(1.23)(1.24) 實際上，微帶線的有效介電係數與特性阻抗與微帶線的幾何結構與材質有密切關係，相當多的文獻討論到有關的求算與分析2；而求算的方法基本上，是以準靜電學分析加上數值方

10、法近似所得到的公式。以下列舉兩個由Hammerstad分析求算的近似公式3：與近似公式一：誤差範圍小於1%。1)(1.25)(1.26) 其中，歐姆()代表真空中的波阻抗。2)(1.27)(1.28)與近似公式二：誤差範圍小於0.2%。(1.29) 其中，且(1.30)(1.31)(1.32) 其中，歐姆()代表真空中的波阻抗，且(1.33)(三) 微帶線的損耗 微帶線的損耗，也就是傳輸線中傳播常數中的實數部份包含導體損耗與介質損耗，。與的公式可以近似如下： Np/m dB/m(1.34) 其中，為導體的單位面積表面電阻。 dB/m(1.35) 其中，為介質的損耗正切值，為微帶線的傳播波長，為

11、真空中的傳播波長。三、微帶傳輸線之不連續分析在高頻的微帶線應用中，由於電波波長與元件尺寸相當接近，若微帶線的幾何結構發生變化，例如開路、短路、步階（steps）、間隙（gaps）或曲彎（bend）等，將使得特性阻抗改變而產生波傳遞的不連續現象，將造成波傳遞過程中發生不匹配（unmatched）的效應。如何將此類不連續現象加以分析使元件或電路的設計更加精確，一直是很多人研究的重點。 基本上，所有的不連續微帶線均可以近似分析為理想的電感與電容的等效電路。以下將針對微帶線常見的各種不連續現象列出其等效電路與對應的理想元件值。(一) 平行耦合線耦合線在微波被動元件與主動電路的運用上相當廣泛且實際，其基

12、本結構如圖1.4所示，為兩條寬度W，間距s的平行線。圖1.4 微帶耦合線的縱向剖面圖這類的耦合線結構會同時激發兩組準TEM模態的電磁波，也就是偶模（even mode）與奇模（odd mode）。在偶模的激發模態下，兩條微帶線具有相同的電位或帶有同樣的電荷，例如像圖1.5(a)均帶正電，因而會在對稱面上形成如圖的磁牆（magnetic wall）；若是在奇模的激發模態下，兩條微帶線會具有相反的電位或帶有相反的電荷，例如像圖1.5(b)，因而在對稱面上會形成如圖的電牆（electric wall）。一般而言，由於微帶耦合線並非純TEM波，基模與偶模的傳輸相速會不相同，表示其有效介電係數與特性阻抗

13、也不相同。以下將針對偶模與奇模的特性阻抗與有效介電係數的公式加以說明。偶模與奇模電容如式(1.23)，(1.24)，微帶線的有效介電係數與特性阻抗可由微帶線上的等效電容（空氣中的單位長度電容值與介電層的單位長度電容值）所求得。在此討論的微帶耦合線如圖1.5，以表示偶模的介電層電容，以及以表示奇模的介電層電容可以表示如下：(1.36)(1.37)(a) (b)圖1.5 微帶耦合線的模態，(a)偶模 (b)奇模其中，代表微帶線與接地面的電容值，可由下式表示(1.38)代表邊緣電容，相當於單一微帶線總電容扣除微帶線與接地面的電容值(1.39)代表單一微帶線因另一條耦合微帶線而感應的邊緣電容，依據經驗

14、公式(1.40)其中，(1.41)奇模的激發模態中，與分別代表空氣中與介質中，兩條耦合微帶線間距的邊緣電容，依據近似的經驗公式(1.42)(1.43)其中，為兩個橢圓函數的比值，其變數與表示如下：(1.44)(1.45)當的值在不同的範圍，橢圓函數的比值如下：(1.46)當所有的電容值依據上列公式求得後，偶模與奇模的特性阻抗可以由以下公式求得：(1.47)(1.48)其中，與分別代表上列所有公式中，以空氣之介電係數（）所求算之偶模與奇模的所有電容值的和。偶模與奇模的有效介電係數則由下列公式求得：(1.49)(1.50)(二) 步階微帶線步階式阻抗（steps in width）微帶線，以及其他

15、如開路微帶線、端點耦合微帶線、彎角微帶線等，常被運用在很多實際的高頻電路中，近年來這一類的不連續傳輸線電路雖然已經可以透過全波電磁模擬（full-wave EM simulator）軟體加以分析，然而，這些不連續微帶線仍然有其近似分析法，適當的加以運用對於被動元件的等效電路模型建立有相當的幫助。圖1.6為一個對稱形式的步階微帶線與其等效電路。其等效電容與等效電感可以由以下的近似公式來表示：圖1.6 步階阻抗微帶線與等效電路(pF)(1.51), (1.52)其中 (nH)其中的電感，與， 分別代表在不同寬度（阻抗）下的單位長度電感量，特性阻抗與有效介電係數。(三) 開路微帶線圖1.7為一個開路

16、微帶線與其等效電路。由於微帶線端點的邊緣電場效應，開路微帶線也可以等效成一段長度為的延伸微帶線。等效電容與等效的延伸微帶線可以由以下的近似公式來表示：圖1.7 開路微帶線與等效電路(1.53)或(1.54)其中可由以下之經驗公式近似：(1.55)其中(四) 端點耦合微帶線圖1.8為一個端點耦合微帶線與其等效電路。其等效電路包含兩個並聯電容與一個串聯電容，電容值可以由以下的近似公式來表示：圖1.8 端點耦合微帶線與等效電路(1.56)(1.57)其中，依據經驗公式，, 與微帶線寬度的比值可由以下公式求得：其中，(五) 彎角微帶線圖1.9為一個彎角微帶線與其等效電路。其等效電路包含兩個串聯電感與一

17、個並聯電容，各電感與電容值可以由以下的近似公式來表示：圖1.9 彎角微帶線與等效電路等效電容、電感與微帶線寬度比值有關，其經驗公式如下，(1.58)(1.59)參考文獻1第二章 被動元件之電感設計與分析隨著高頻微波在日常生活上的廣泛應用，例如行動電話、無線個人電腦、無線網路等，高頻電路的技術也日新月異。良好的高頻電路設計的實現與改善，則建立在於精確的元件模型的基礎上。被動元件如電感、濾波器等的電路模型與電路製作的材料、製程有緊密的關係，而建立這些元件等效電路模型的方法稱為參數萃取。早期的電感製作以金屬繞線為主要的材料與技術，而近年來，由於高頻與高速電路的應用日益廣泛，加上電路設計趨向輕薄短小，

18、電感製作的材質與技術也不斷的進步。例如射頻機體電路（RFIC）運用矽材質，微波積體電路則廣泛的運用砷化鎵（GaAs）技術；此外，在低成本的無線通訊射頻應用上，如混合（Hybrid）積體電路則運用有機多晶片模組（MCMs）結合傳統的玻璃基板製程，以及低溫共燒陶瓷（LTCC）技術，製作印刷式平面電感等，以提升元件的品質與效能，並減少體積與成本。本章的重點包涵探討電感的原理與專有名詞，以及以常見的電感結構，並分析影響電感效能的主要因素與其電路模型，最後將以電感的模擬設計為例，說明電感參數的萃取。一、電感原理在電路元件中，電感以及電容與電阻是所有電路最基本的組成元素。理想電感是一種會使電流與電壓產生相

19、位偏移的儲能元件，其符號，電流、電壓與儲存能量的關係可以圖2.1與以下的公式表示i(t)v(t)L圖2.1 電感符號與電壓電流表示法, (2.1a), (2.1b)(2.1c)其中，為時變電流的均方根植。以下各小節將從電感最基本的原理開始介紹，並分別定義其專有名詞以及相關定義的公式。(一) 電感量當一個封閉迴路的電路中，由於磁場（）造成能量儲存效應，可以由電流（）與磁通量（）的關係來表示電感量：(2.2)由於電感量的產生來自於迴路本身的電流，因此也稱為自感量（self-inductance）。(二) 磁能如同式(2.1c)，當電流為時，儲存能量為(2.3)(三) 互感量當相互靠近的兩導體有電流

20、通過時，磁場也會相互作用。若通過的電流方向相反時會造成總電感量的下降，反之則會使電感量增加。個別電感因為周圍導體電流造成，使本身電感量改變的值稱之為互感。互感的求法可以由以下的公式求得：(2.4)其中, 為電流方向相同時兩導體的電感量總和；而為電流方向相反時兩導體的電感量總和。若以表示個別電感的自感量，則個別電感的總電感量為(2.5)(四) 有效電感量當電感以晶片形式製作時，由於導體與導體之間或導體與接地之間會有雜散電容效應，其等效電路模型如圖2.2。LCp圖2.2 含雜散電容的電感等效電路當電路操作在低頻模態時，雜散電容的效應可以忽略不計；但是當應用在高頻模態下，等效電路的阻抗則需考慮雜散電

21、容如下式：(2.6)改以有效電感的理想阻抗模式表示：(2.7)將(2.6)與(2.7)作一比較，可得有效電感量為：(2.8)其中，稱為並聯諧振頻率。(五) 阻抗電感阻抗定義為(2.9)其中, , f 微操作頻率。(六) 時間常數當電感L接上直流電壓時，由於實際電感之非完全導體包含串聯電阻量R，電感充電完成所需之時間稱為時間常數，定義為：(2.10)(七) 自振頻率電感的自振頻率（self-resonant frequency, SRF）定義為當電感阻抗的虛部為零時的頻率。在此頻率時，電感的電抗與寄生電容的電抗大小相等而正負相反；同時，電感阻抗的實部最大，超過此一頻率時，電感將變成電容性。(八)

22、 品質因素電感的效能與品質好壞以品質因素Q值來衡量。然而，針對不同的應用與技術，品質因素的定義有好幾種，最一般且常用的品質因素定義，為每單位週期之儲存能量與消耗能量的比值，(2.11)在低頻操作下，電感的電抗為電感性，Q值也可以阻抗值表示(2.12)其中，為電流的均方根值。當電感的操作頻率很高且接近其自振頻率（SRF）時，更適當的品質因素Q值定義由3-dB頻寬（BW）來決定如下式：(2.13)此外，常被運用在分散式元件的第三種品質因素定義，由電感在自振頻率時的輸入電抗對頻率的變化率來決定，定義如下：(2.14)在微波電路運用上，若是電感操作的頻率遠低於自振頻率時，品質因素也常以電感實際的電感抗

23、與理想電感抗的比值來定義，稱為有效品質因素，定義如下：(2.15)其中，由於與分別代表電感輸入阻抗的實部與虛部。(九) 其他參數1. 最大電流量（Maximum Current Rating）：電感所能承受不燒毀的最大直流電流。此值由導體的材質、形狀、圈數與周圍的環境共同決定。2. 最大功率量（Maximum Power Rating）：電感所能安全承受的最大射頻（RF）功率。此值受電感的Q值、體積、材質、溫度以及周圍環境等影響。3. 操作溫度範圍（Operating Temperature Range）：電感所能安全操作的溫度範圍。4. 溫度係數（Temperature Coefficien

24、t）：電感受溫度改變因而電感量改變的係數，單位為ppm/C。二、電感結構與分析針對不同的頻段、應用、材質與製程，射頻電感的幾何結構不盡相同，其形狀可以是一段電線、一條帶線、單迴圈、迴繞線（Meander Line）或是螺旋結構；例如，平面式微帶電感，由於其一般運用上多不大於2 nH，因此常以迴繞線製作以減少佔用體積。電感的等效電路模型如圖2.3。一般而言，微帶線段與單迴圈電感以圖2.3(a)之等效電路模型即可；而螺旋結構電感因為迴圈之間的寄生電容效應明顯，通常以圖2.3(b)之模型描述。LC1C1Rs LC1C1RsC3 (a) (b)圖2.3 電感的等效電路模型以下各小節將分別討論微帶線段、

25、圓形單迴圈與螺旋結構等三種常見的平面電感結構，並分析等效電路。(一) 微帶線段電感微帶線段如圖2.4。圖中，W、l與t，分別代表微帶電感的線寬、線長以及導體厚度；此外，微帶線基板厚度以h表示，有效介電係數為，導體的單位電阻以Rsh表示。tWl圖2.4 微帶線段電感結構其對應的等效電感L，串聯電阻Rs，以及與接地間的電容C1，依據經驗公式可表示如下：(2.16)(2.17)(2.18)以上各長度以微米為單位。其中，, (2.19), (2.20)(二) 圓形單迴圈電感圓形單迴圈電感如圖2.5。圖中，W與a分別代表圓形迴圈的線寬以及迴圈的平均半徑；此外，基板厚度以h表示，有效介電係數為，導體厚度仍

26、以t表示，導體的單位電阻以Rsh表示。Wa圖2.5圓形單迴圈電感結構其對應的等效電感L，串聯電阻Rs，以及與接地間的電容C1，依據經驗公式可表示如下：(2.21)(2.22)(2.23)以上半徑a仍以微米為單位。此外，與可以(2.19)與(2.20)式求得。(三) 螺旋電感螺旋結構電感如圖2.6。圖中，W、s、與分別代表螺旋電感的線寬、線距、內圈直徑以及外圈直徑；此外，螺旋圈數以n表示，基板厚度以h表示，有效介電係數為，導體厚度仍以t表示，導體的單位電阻以Rsh表示。圖2.6 螺旋電感的結構等效電路如圖2.3(b)，其對應的等效電感L，串聯電阻Rs，以及兩端點間的電容C3，依據經驗公式可表示如

27、下：(2.24)(2.25)(2.26)其中, 可以由式(2.19)求得；此外，(2.27)(2.28)(2.29)三、電感設計與模擬近年來，由於電磁模擬軟體的功能隨著電腦的運算速度增加而日益強大，也使得高頻電路模擬結合繪圖功能，提升為以三維幾何（3D）結構模式應用的設計趨勢，無論是平面式的元件與電路，或是積體電路運用的元件、電路與系統設計，均可以利用此類模擬軟體設計與分析，這對於電路製作的成本可以大量的降低。常用的電磁模擬軟體如Ansoft公司的Designer、HFSS與Maxwell等，Agilent公司的ADS，Zeland Software公司的IE3D等，均可以3D的繪圖模式設計各

28、種高頻元件或電路，甚至可以整合不同的實體元件與電路成為完整的系統，並分析的各項效能。本節將以IE3D軟體為例，以設計與模擬過程的圖片，說明如何設計與分析平面式的螺旋電感。(一) IE3D軟體使用步驟1. 開啟佈局編輯器點選2. 開啟新檔3. 開啟介質基板編輯器4. 設定介質層的厚度、介電係數與正切損耗1.設定值分別為0.0711.90.0045. 點選視窗範圍與格線間距編輯器6. 設定格線間距與視窗範圍按此設定(二) 以IE3D設計螺旋電感1. 點選螺旋電感編輯器點選2. 設定方形螺旋電感知外框、線寬、線距與線段數目按此設定3. 最大化顯示元件全部點選ALL(三) 以IE3D模擬分析元件特性1

29、. 定義雙埠元件模擬型式定義port2. 設定雙埠元件之輸入與輸出為50饋入1.選此2.選此3. 設定雙埠元件之輸入與輸出位置1.先點2.後點4. 另存新檔另存新檔5. 開啟模擬視窗點此模擬6. 設定分析的最高頻率、頻率範圍及頻率間隔1.先設定2.定義開始 截止頻率 跑的點數3.選定4.選定(四) 儲存分析分析結果之散射參數（S2P）1. 轉換模擬結果為數據形式參數選取2. 選取包含實部與虛部的所有S參數1.全選2.OK3. 顯示所有S參數，以另存成為S2P檔四、電感分析與量測如同電感設計依據應用、材質與製程等而有所不同，完成製作的電感也必須依不同狀況考量其特性，以因應各種電路應用；例如，製作完成的電感須要經由量測結果以建立其等效電路模型，