第3章随机向量3-5大数定理.ppt

1、1,3.5大数定理,2,大数定律的概念,例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率接近1/6是必然的. 例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于a几乎是必然的.,3,在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量x1, x2 , ., xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值,算术平均数,

2、4,虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.,这就让人想到极限的概念. 但是, 传统的极限定义在这里遇到了麻烦. 传统的一个数列an的极限是定义为, 任给一个非常小的实数e, 存在着一个正数N, 当nN时, |an-a|e. 但概率不行. 比如说虽然掷硬币试验次数增加时频率将趋于0.5, 但无论试验多少回, 次次正面向上的机会都是存在的.,5,因此, 人们就尝试其它的定义有关随机变量的极限的办法. 比如说均方收敛. 大家知道当一个随机变量的方差为0时, 这个随机变量实际上就是一个常数. 那么,

3、可以知道,一组相互独立同分布的期望为m方差为s2随机变量, 它们的n个变量的算术平均值的期望和方差为,6,7,可见当随着试验次数增加, n次试验的算术平均值的数学期望将保持不变, 而其方差则随着n的增加而减少, 趋向于0, 因此可以认为算术平均值将趋向于一个常数, 即随机变量的期望.由此定义出, 当一列随机变量的方差趋向于0的时候, 如果它们的数学期望不变为m, 则称为这组随机变量均方收敛于数学期望m, 记作,8,9,而切贝谢夫不等式又建立了方差与概率的关系, 将不等式中的x替换为hn得,由此可见, 如果Dhn趋向于0, 则hn落在其期望m周围的任意一个小区间(m-e,m+e)内的概率就趋向于

4、1, 因此人们就将这样的情况称做依概率收敛.,10,大数定理,定义 设随机变量序列Xn，如果存在一个常数a，使得对任意的 0，有,=1,则称依概率收敛于a,记作,11,切比雪夫大数定律,切比雪夫大数定律:设随机变量序列Xn相互独立，且均存在数学期望E(Xn)=un，方差D(Xn)=2n 0 ，有,12,推论,推论 设Xn为相互独立的随机变量序列，且有相同的期望与方差：E(Xn)=u，方差D(Xn)=2(n=1,2,.), ，则对任意的0 ， 有,13,辛钦大数定律,定理 (辛钦大数定律) 如果x1,x2,.是相互独立并且具有相同分布的随机变量, 有Exi=a (i=1,2,.), 则有,这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通常就是数学期望.,14,贝努里利大数定律,定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为un，则对任意的0 ，事件的频率 un