《理论力学》第13章教案

1、四川理工学院理论力学教案授课教师梁智权开课系机电工程系开课学期0708学年第1学期课程名称理论力学授课系专业及班级机械设计及自动化专业20XX级01班机械设计及自动化专业20XX级02班机械设计及自动化专业20XX级10班机械设计及自动化专业20XX级11班课程类型必修课（）选修课（）考核方式考试（）考查（）课程教学总学时数72学分数4.5学时分配理论课70 学时；实践课2学时教材名称理论力学作者出版社及出版时间哈尔滨工业大学理论力学教研室高等教育出版社20XX年第6版参考书目书 名作 者出版社及出版时间理论力学范钦珊，刘燕，王琪清华大学出版社20XX年第1版理论力学洪嘉振，杨长俊高等教育出版

2、社20XX年第2版理论力学，上册，中册清华大学理论力学教研组高等教育出版社1994年第4版章节名称 第13章 动能定理13-1 力的功/ 13-2 质点和质点系的动能13-3 动能定理/ 13-4 功率功率方程机械效率13-5 势力场势能机械能守恒定律13-6 普遍定理的综合应用举例授课类别理论课（）；实验课（ ）教学时数 6教学目的及 要求（1）能够熟练计算重力的功、弹性力的功、定轴转动刚体上作用力的功、平面运动刚体上力系的功。（2）掌握计算质点的动能和质点系的动能（平移刚体的动能、定轴转动刚体的动能、平面运动刚体的动能）的方法。（3）掌握质点的动能定理和质点系的动能定理，能够应用动能定理解

3、题，熟悉应用动能定理解题的步骤。（4）掌握功率的概念，能够应用功率方程计算机械效率。（5）能够计算重力场中的势能、弹性力场中的势能、万有引力场中的势能。（6）掌握机械能守恒定律及应用机械能守恒定律解题的步骤。（7）能够联合运用质点和质点系的普遍定理（动量定理、动量矩定理和动能定理）求解比较复杂的问题。 教 学 内 容 提 要备注能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。不同于动量和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时这是更为方便和有效的，同时，它还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。重力作功仅质点与运动开始和末

4、了位置的高度差有关，与运动轨迹的形状无关：对于质点系，设质点i的质量为mi，运动始末的高度差为，则全部重力作功之和为质心下降，重力作正功；质心上移，重力作负功。质点系重力作功与质心的运动轨迹形状无关。弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力作用点的轨迹形状无关：力F在定轴转动刚体从到转动过程中作的功为如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在z轴上的投影。为力系主矢，MC为力系对质心的主矩。刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由转到角度时，力系作功为平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力与力偶作功之和，这个结论也适

5、用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点。刚体作平移时，各质点的速度都相同，可以质心速度vC为代表，于是得平移刚体的动能为刚体对于z轴的转动惯量是，绕定轴转动刚体的动能为作平面运动的刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功：质点动能定理的积分形式，即在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功：动能定理重力作功弹簧力作功定轴转动刚体上作用力的功平面运动刚体上力系的功平移刚体的动能定轴转动刚体的动能平面运动刚体的动能质点动能定理教 学 内 容 提 要（续一）备注质点系动能定理的微分形式，即质

6、点系动能的增量，等于作用在质点系上全部力所作的元功之和：质点系在某一段运动过程中的起点和终点的动能分别是T1和T2，质点系动能定理的积分形式，即质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和：约束力作功等于零的约束称为理想约束。在理想约束的条件下，质点系动能的改变只与主动力作功有关。工程中很多约束可视为理想约束，此时未知的约束力并不作功，这对动能定理的应用是非常方便的。理想约束的约束力不做功，而质点系的内力作功之和并不一定等于零。应用动能定理解题的步骤如下：（1）选取某质点系（或质点）作为研究对象；（2）选定应用动能定理的一般过程；（3）分析

7、质点系的运动，计算选定过程起点和终点的动能；（4）分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作的功；（5）应用动能定理建立方程，求解为未知量。需要知道一部机器单位时间内能做多少功。单位时间内力的所作的功称为功率，以P表示。功率的数学表达式为，式中v是力F作用点的速度。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率式中Mz是力对转轴z的矩，是角速度。即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对轴的矩与角速度的乘积。在国际单位制中，每秒钟力所作的功等于1J时，其功率定为1W（瓦）（W=J/s）。工程中常用千瓦（kW）做单位。取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得上式称为功率方程，

8、即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。每部机器的功率都可分为输入功率、无用功率（损耗功率）和有用功率（输出功率）三部分。在一般情形下功率方程可写成工程中要用到有效功率的概念。，有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率，用表示，即对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积，即质点系动能定理理想约束应用动能定理解题的步骤功率功率方程机械效率教 学 内 容 提 要（续二）备注机械效率表明机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一，一般情况下。如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。物体在

9、地球表面的任何位置都要受到一个确定的重力的作用，称地球表面的空间为重力场。如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（或保守力场）。在势力场中，物体受到的力称为有势力或保守力。重力、弹性力作的功都是保守力，重力场、弹性力场都是势力场。在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力对质点所作的功，称为质点在点M相对于点M0的势能，以V表示为点M0的势能等于零，称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。重力场中，以

10、铅垂轴为z轴，z0处为零势能点。质点于z坐标处的势能V等于重力mg由z到z0处所作的功，即设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚度系数为k，以变形量为处为零势能点，则变形量为处的弹簧势能V为如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有，于是得如果质点系受到多个有势力的作用，各有势力可以有各自的零势能点。质点系的“零势能位置”是各质点都处于其零势能点的一组位置。质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。与质点系重力作功表达式相似，质点系重力势能可写为其中m为质点系全部质量，zC为质心的z坐标，zC0为零势能位置质心的z坐标。质点系在势力场中运动，

11、有势力的功可通过势能计算。设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点，则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1到M2位置的势能V1到V2。因为有势力的功与轨迹形状无关，而由M1经M2到达M0时，有势力的功为注意到W10 = V1，W20 = V2，得即有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。机械效率力场重力场有势力保守力势能零势能点重力场中的势能弹性力场中的势能质点系重力势能有势力所作的功教 学 内 容 提 要（续三）备注质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。设质点系在运动过程的初始和终了瞬时的

12、动能分别为T1和T2，所受力在这过程中所作的功为W12，根据动能定理有如果系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用势能计算，即移项后得上式就是机械能守恒定律的数学表达式，即质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变。此类质点系称为保守系统。应用机械能守恒定律解题步骤如下：（1）选取某质点或质点系为研究对象，分析研究对象所受的力，所有作功的力都应为有势力；（2）确定运动过程的始末位置；（3）确定零势能位置，分别计算两位置的动能和势能；（4）应用机械能守恒定律求解未知量。有势力在直角坐标轴上的投影等于势能V对于该坐标的偏导数冠以负号：，由势能的函数表达式，应用上式可以求得作用于物体的有势

13、力。如果质点系受到非保守力的作用，称为非保守系统。非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作的功为，由动能定理有，当质点系受到摩擦阻力等力作用时，是负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；当质点系受到非保守的主动力作用时，如果是正功，则质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。重力场中，同一水平面上各点的势能都相等，因此重力场中等势能面为水平的平面。弹性力场的等势能面是以弹簧的固定端为中心的球面。势力场中任何一点的势能只有一个数值，此点只通过一个等势能面，即等势能面不相交。势能等于零的等势能面称为零势能面。有势力的方向垂直于等势能面，指向势能

14、减小的方向。质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。这些定理可分为两类：动量定理和动量矩定理属于一类，动能定理属于另一类。前者是矢量形式，后者是标量形式；两者都用于研究机械运动，而后者还可以用来研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题。动能定理是标量形式，在很多实际问题中约束力又不作功，因而应用动能定理分析系统的速度变化是比较方便的。功率方程可视为动能定理的另一种微分形式，便于计算系统的加速度。但应注意，在有些情况下质点系的内力作功并不等于零，应用时要具体分析质点系内力作功问题。普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，而在求解比较复杂的问题时，往往需要根据各定理的特点，联合

15、应用。机械能机械能守恒定律解题步骤有势力非保守系统等势能面质点和质点系的普遍定理教学重点难点教学重点：（1）重力的功、弹性力的功、定轴转动刚体上作用力的功、平面运动刚体上力系的功。（2）质点的动能和质点系的动能（平移刚体的动能、定轴转动刚体的动能、平面运动刚体的动能），质点的动能定理和质点系的动能定理。（3）功率、功率方程和机械效率。（4）重力场中的势能、弹性力场中的势能、万有引力场中的势能。（5）机械能守恒定律。教学难点：（1）计算重力的功、弹性力的功、定轴转动刚体上作用力的功、平面运动刚体上力系的功。（2）计算质点的动能和质点系的动能，应用动能定理解题的步骤。（3）应用功率方程计算机械效率

16、。（4）应用机械能守恒定律解题的步骤。（5）联合运用质点和质点系的普遍定理（动量定理、动量矩定理和动能定理）求解比较复杂的问题。教学过程的组织第1学时讲授力的功。首先通过力的功的定义（图13-1），引入元功的概念，给出力在全路程上作的功。然后介绍重力的功（图13-2）、弹性力的功（图13-3、13-4）、定轴转动刚体上作用力的功（图13-4）、平面运动刚体上力系的功（图13-6）等几种常见力所作的功的计算方法。第2学时讲授质点和质点系的动能。首先介绍质点的动能和动能单位。然后介绍质点系的动能（平移刚体的动能、定轴转动刚体的动能（图13-7）、平面运动刚体的动能（图13-8、13-9）的计算方法

17、。第3学时讲授动能定理。重点介绍质点的动能定理（质点动能定理的微分形式、质点动能定理的积分形式）、质点系的动能定理（质点系动能定理的微分形式、质点系动能定理的积分形式）和理想约束及内力作功。通过例13-1（求弹簧的最大压缩量）、例13-2（求圆柱中心C经过路程s时的速度与加速度）、例13-3（求冲断试件需用的能量），总结应用动能定理解题的5个步骤。重点讲解例13-2（卷扬机鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱由静止沿斜坡上拉）第4学时讲授功率功率方程机械效率。主要介绍功率、功率方程和机械效率有关定义和概念。通过功率的定义，介绍作用在转动刚体上的力的功率的计算方法及功率单位。然后由质点系动能定理的微分形

18、式导出功率方程，介绍机器功率包括的输入功率、无用功率（损耗功率）和有用功率（输出功率）三部分功率的定义及其计算方法。最后介绍机器的机械效率的定义，通过例13-4（问允许切削力的最大值为多少）、例13-5（试建立此系统的运动微分方程）讲授其计算方法。第5学时讲授势力场势能机械能守恒定律。介绍势力场和势能的概念，重点讲解重力场中的势能、弹性力场中的势能、万有引力场（选讲）中的势能的计算方法。重点讲授机械能守恒定律，通过演算例13-6（求此后钢索的最大张力）、例13-7（求摆的角速度与角的关系），总结应用机械能守恒定律解题步骤。对于势力场的其他性质可以简略介绍。第6学时讲授普遍定理的综合应用举例。通

19、过讲解例13-8（建立例12-12中圆轮质心的运动微分方程）、例13-9（试求重物下降h时的速度、加速度以及滚轮与地面间的摩擦力）、例13-10（求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力），介绍应用普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，在求解比较复杂的问题时，往往需要根据各定理的特点联合应用。讨论作业习题的安排讨论作业：（1）思考题13-1：摩擦力可能做正功吗？举例说明。（2）思考题13-2：三个质量相同的质点，同时由点A以大小相同的初速度v0抛出，但其方向各不相同，如图13-27所示。如不计空气阻力，这三个质点落到水平面H-H时，三者的速度大小是否相等？三者重力的功是否相等？三者重力的冲量是否相等？（3）思考题13-3：均值圆轮无初速地沿斜面纯滚动，轮心降落同样高度而达到水平面，如图13-28所示。忽略滚动摩阻和空气阻力，问达到水平面时，轮心的速度v与圆轮半径大小是否相关？当轮半径趋于零时，与质点滑下结果是否一致？轮半径趋于零，还能只滚不滑吗？（4）思考题13-9：两个均值圆盘