第四章傅里叶变换及应用

1、复习分离变量法：,求解下列定解问题,解：设,代入方程，得,令,代入边界条件,得特征值问题,求得特征值和对应的特征函数为,类似地, 我们得到,其特征值和对应的特征函数为,及特征值问题,记,代入关于t的方程,上述方程通解为,于是得到,利用叠加原理, 得到定解问题的形式解,其中系数,下面, 我们利用初始条件确定系数,由于三角函数系的正交性, 得,第四章 傅里叶变换及应用,傅里叶变换是积分变换的一种，它可用来求解无界区域上的定解问题。 傅里叶变换可以把线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程或常微分方程，从而使问题得到简化,如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:,如果函数 在 上绝对

2、可积，它的傅立叶变换定义如下：,一. 傅立叶变换,反演公式,注1：,在有些参考文献中, 因子被分解成 , 并且分别含在上述两个式子（1）和（2）中. 而在式(1)中的函数 写成 ， 从而在式(2)中函数 写成 . 这些本质上同定义（1）（2）没有差别.,注2：,在三维无界空间中, 若 是绝对可积函数, 则可定义三重傅里叶变换,当然，我们也可以定义傅立叶逆变换,傅立叶变换的性质:,1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， 是任 意复常数，则,2） 微分性质 设 f , 绝对可积函数，则,3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则,4）相似性质 设 f (x) 绝对可积，则,6） 卷积性

3、质 设f , g 是绝对可积函数， 令,则,5）延迟性质 设 f (x) 绝对可积，则,7）积分性质,8）频移性质,例1 用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换,方程可变为,设,二. 傅里叶变换的应用,可解得,由于,即,则,从而方程的解,例 用积分变换法解方程：,解： 作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,用常数变易法可解得,而,则,傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但 1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积.大部分函数不能作傅立叶变换,2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效.,积分变换法求解问题的步骤,对方程的两边做 傅里叶变

4、换将偏微分方程变为常微分方程,对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件,求常微分方程及定解条件的解,对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解,数学物理方程+定解条件,解,常微分方程+定解条件,解,积分变换,逆变换,如何使用积分变换法求解定解问题：,选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程； 2）对部分定解条件取相应的积分变换, 导出象函数方程的定解条件； 3）解关于象函数的定解问题, 求出象函数； 4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.,傅立叶变换的取值范围是 ， 拉普拉斯变换的取值范围是 。,需要注意,解：取变换符氏,例3 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：,例4 用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换。设,于是原方程变为,满足初始条件,齐次方程的解,设非齐次方程的解为,令,则,代入方程,得,积分上述两式,得到非齐次方程的通