高中数学必修内容复习(13)―数形结合思想

1、高 中 数 学 必 修 内 容 复 习 （13）数形结合思想一、 （本 每小 5 分，共 60 分）1已知集合p= 0, m,q=x 2x 25x0, xz , 若 pq, 则 m等于（）a 1b 2c 1 或 5d 1 或 222使得点a(cos 2 , sin 2 ) 到点 b(cos,sin) 的距离 1 的的一个 是（）a b cd126343将函数f : xsin 2 x 的 象向右平移b= 1， 1个 位 度，再作关于x 的 称 ，得到 ycos2 x， xr 的 象， f ( x) 可以是（）a sin xb cos xc 2sin xd 2cos x4某工厂六年来生 某种 品的

2、情况是：前三年年 量的增 速度越来越快，后三年年 量保持不 ， 厂六年来 种 品的可用 像表示的是（）cccctttto36o36o36o36a .b.c.d.5有一棱 a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨 （仍保持 球的形状）， 气球表面 的最大 （）a a 2b 2 a 2c 3 a 2d 4 a 26已知 z c， 足不等式 zzizi z 0的点 z 的集合用阴影表示 （）yyyyo1x1o xoxoxa bcd7直角坐 xoy 平面上，平行直 x n（n 0， 1， 2， 5）与平行直 y n（ n 0，1，2， 5） 成的 形中，矩形共有（）a 25 个b 36

3、个c 100 个d 225 个第1页共 14页8方程 x 1y 2y 1x21所对应的曲线图形是（）a bcd 2cos x（）9设 0 x，则函数 y的最小值是sin xa 3b 2c 3d 2- 310四面体 abcd 的六条棱中， 其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是()a 0,2b 0,2 3c 2,2 3d 2,411若直线 ykx1与曲线 xy21 有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）a 2k1b2 k2c 1 k2d k2 或 k212某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润 y （单位：万元）与年数x xn 满足如图的二次函数关系。要使生产的年平

4、均利润最大，则每台设备应使用（）a 3 年b4 年c5 年d 6 年二、填空题 （本题每小题 4 分，共 16分）13若复数 z 满足 |z1| | z 1|2，那么 |zi 1| 的最小值是 _.14已知偶函数f ( x ) 的图象与 x 轴有五个公共点，那么方程f ( x ) 0 的所有实根之和为_ .5x3y1515若 z= 3x5 y中的 x, y 满足约束条件 yx 1，则 z 的最大值和最小值分别为x5y316某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数函数，并给出下列说法此指数函数的底数为2；第2页共 14页在第 5 个月时，野生水葫芦的面积就会

5、超过30m2；野生水葫芦从 4m2 蔓延到 12m2 只需 1.5 个月；设野生水葫芦蔓延到 2m2,3m2, 6m 2 所需的时间分别为 t1, t2, t3, 则有 t1 + t 2 = t3；野生水葫芦在第1 到第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在第2 到第 4 个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有. (请把正确说法的序号都填在横线上)三、解答题 （本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)7x) cos( x) 的图象向右平移个单sin(888位得到函数 g( x) 的图象 .（ i ）求函数 g(x)的

6、表达式 ;（ ii ）证明当 x35g(x)图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.(， ) 时，经过函数4418（本小题满分12 分）如图所示，已知四面体o abc 中，m 为 bc 的中点， n 为 ac第3页共 14页的中点， q 为 ob 的中点， p 为 oa 的中点，若ab=oc ，试用向量方法证明，pm qn.19（本小题满分12 分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安第4页共 14页装了电子监测装置，从海岸放归点a 处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40 分钟的跟踪观测，每隔10 分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在

7、观测站b 处对鲸进行生活习性的详细观测。已知ab=15km ，观测站b 的观测半径为5km.观测时刻 （t分钟）跟踪观测点到放归点鲸位于跟踪观测点正北方向距离 a（ km ）的距离 b（km ）1011202230334042（ i ）根据表中数据： （1）计算鲸沿海岸线方向运动的速度，（ 2）写出 a、 b 满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；（ ii ）若鲸继续以（ i ）（ 2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站b 的观测范围。 ( 41 6.4)第5页共 14页20（本小题满分12 分）如图所示，已知圆c : ( x1) 2y28,定点 a(1,0),

8、 m 为圆上一动点，点 p 在 am 上，点 n 在 cm 上，且满足 am2 ap, np am0,点n 的轨迹为曲线 e.（ i ）求曲线 e 的方程；（ ii ）若过定点 f（ 0， 2）的直线交曲线 e 于不同的两点 g、 h（点 g 在点 f、 h 之间），且满足 fgfh ，求的取值范围 .第6页共 14页21（本小题满分 12 分）在 xoy 平面上有一系列点p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 ,y2 ), pn ( xn , y n ),对每个自然数 n , 点2pn位于函数yx ( x0)的图象上以点pn为圆心的pn 与 x轴都相切，且pn 与 pn 1 又彼此外

9、切若x1 1 , 且 xn1xn( nn ) （）求证：数列 1 是等差数列；xn（）设 pn 的面积为 sn ， t ns1s2sn ,求证：tn32pnpn+1第7页共 14页22（本小 分 14 分） 已知 a 1，数列 an 的通 公式是 an1，前 n 和 作 sna n 2（ n 1， 2，）， 定 s00 函数 f (x) 在 s0 和每个区 （si ， si 1 ）（ i 0， 1，2，）上有定 ，且 f (s0 )0， f ( si ) ai （ i 1，2，）当 x（ si ， si 1 ） ，f（ x）的 像完全落在 点pi（ si， f (si ) ）与点 pi 1 （

10、 si 1， f ( si 1 ) ）的 段上（）求 f（ x）的定 域；（） 设 f（ x）的 像与坐 及直 l： x sn （ n 1，2，） 成的 形面 an ，求 an 及 lim an ；n（）若存在正整数 n，使得 ana2 ，求 a 的取 范 第8页共 14页答 案一、 （每小 5 分，共 60 分）：(1).d (2).c(3).c (4).a(5).b(6).c (7).d (8).d (9).c (10).b (11).a (12).c二、填空 （每小 4 分，共 16 分）(13).1 ； (14).0 ；(15). 17 和 11 ； (16). 三、解答 （共 74

11、分，按步 得分）17. 解：（ i）( 7x )( x)88f (x)sin( x8) cos(x)1 sin(2x4) 3 分82g( x)1 sin 2(x)1 sin 2x 6 分2842( 3， 5（ ii ） 明一：依 意，只需 明函数g(x) 当 x) 是增函数44sin2x在 2k2x2k22即 kxk(kz) 的每一个区 上是增函数 9 分44当 k 1 ， g( x)sin 2x 在 ( 3， 5 ) 是增函数 10 分44 当 x( 3 ， 5 ) ， 函数g(x) 像上任意两点的直 的斜率恒大于零。44 12 分 明二： 函数g(x) 像上任意两点a ( x1 ， y1

12、) ， b( x2 ， y 2 )， x1 ， x 2( 3 ， 5)44不妨 x1x 2， k absin 2xx1sin 2x 22 cos(x 1 x 2 ) sin( x1 x 2 )1x 2x 1 x 235)， x1 x 2 (35， 0) 11 分x 1， x 2 (，) ， x 1 x2 (44222第9页共 14页cos(x1x 2 )0， sin(x 1 x 2 )0，x 1 x20，k ab 0则当 x( 3， 5 ) 时，经过函数g(x) 图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。441 （ ob + oc ）。18. 证明 m 是 bc 的中点，连结 om ， om =21

13、同理由 n 是 ac 的中点，得 on =（ oa + oc ）。 pm = po + om = 1 （ ao + ob + oc ） 2= 1 （ ob oa + oc ） = 1 （ ab + oc ），22qn = qo + on =1（ bo + oa + oc ） = 1 （ oa ob + oc ）22= 1 （ ba + oc ） = 1 （ oc ab ）。22 pm qn = 1 （ oc + ab ） 1 （ oc ab ） = 1 （ oc 2 ab 2）。224 | ab |=|oc |， pm qn =0，即 pm qn 。19.解：（ i）由表中数据知（1）鲸沿海岸

14、线方向运行的速度为1 （km/ 分钟）。10（ 2） a、 b 满足的关系式为ba 。鲸的运动路线图为（ ii ）以点 a 为坐标原点，海岸线ab 为 x 轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位置为点 p（ x， y），由（ i）知 yx 。又 b （15， 0），依题意知，观测站b 的观测区域为( x15) 2y 225( y 0) ，又 yx ， (x15) 2x 25 ，即x229x2000。113.x 177.。故鲸从 a 点进入前方观测站b 所用的时间为 113.113 分钟。110第10页共14页答：鲸大约经过113 分钟进入b 站的观测范围。20. 解：（ i）am2ap, np

15、am0.np 为 am 的垂直平分线，|na|=|nm|.又 | cn | | nm | 2 2, | cn | | an | 2 2 2.动点 n 的轨迹是以点c（ 1， 0）， a （ 1， 0）为焦点的椭圆 .且椭圆长轴长为2a22, 焦距 2c=2.a2, c1,b21.曲线 e 的方程为 x2y 21.2（ ii ）当直线 gh 斜率存在时，设直线 gh 方程为 ykx2,代入椭圆方程x2y 21,2得 ( 1k 2 ) x 24kx30.由0得 k23 .24k23设 g ( x1 , y1 ), h (x2 , y2 ), 则 x1x21, x1 x21k 2k222又 fgfh

16、 ,( x1 , y12)( x2 , y22)x1x2 ,x1x2(1) x2 , x1 x2x22 .( x1x2 )2x22x1x2，1(4k)231k21k216(1 )222, 整理得(1) 211)3(22kk 23 , 41616 .41216.解得 13.2333332k 2又 01,11.311 .又当直线 gh 斜率不存在，方程为x0, fgfh ,33第11页共 14页11,即所求的取值范围是 1 ,1)3321. 解：（ 1）依题意，pn 的半径 r nyn2xn ， pn 与 pn 1 彼此外切，pn pn 1rnrn 1( xnxn 1) 2( yn两边平方，化简得

17、( xnxn1 ) 24 yn yn 1 ,即(xnxn 1 ) 24xn2 xn21 ,xnxn 1xnx n12 xn xn 1112(nxn 1xn 数列 1 是等差数列xn(2) 由题设， x111(n1)2 ，即 xn1，x1xn224snr nynxn(2n 1) 4 ，tns1s2sn111325 2111113 35( 2n3)(2n1)11 (11)( 11 )(131)23352n2n111 (11)22n13322(2n1)222. 解：（ 1） f（ x）的定义域是 s0 (s0， s1 (s1， s2 yn 1) 2ynyn 10 ，n ) ，1，2n11(2n 1)

18、 2( sn 1， sn ，第12页共14页由于所有的an 都是正数，故 sn 是 增的na1aa 2 f（ x）的定 域是 0， a2lim s1q1a 1a1n1a（）k p pf ( si 1 )f ( s1 )si 1si1 i 1ai1ai1a （ i 1， 2，）与 i 无关ai 1所有的 p1 ， p2 ， p3 共 ， 直 点 p1 （ a， a），斜率 1- a，a11 a2 2当 n 2 ， an 是一个三角形与一个梯形面 之和（如上 所示）梯形面 是11 f (s1)f (sn )( sns1 )11a(1an )a2 n212(aan 2)1a2a2n 4(a1)21aa2a 2n 21故 lim ana2a2a3于是 an22a2 n4(a 1)22(a1