第二章1《概率论与数理统计教程》课件.ppt

1、第二章 随机变量及其分布,概率论与数理统计教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大纲要求,理解随机变量的概念。 理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。 理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。 理解随机变量分布函数的概念和性质。 会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布。 会求简单随机变量函数的概率分布。 了解二维随机变量的概念 掌握二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质、并用他们计算有关事件的概率。 掌握随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的

2、独立性进行概率计算的方法。 会求两个独立随机变量的简单函数的分布。,2.1 随机变量的概念 2.2 离散随机变量 2.3 超几何分布二项分布泊松分布 2.4 连续随机变量 2.5 随机变量的分布函数 2.6 连续随机变量的概率密度 2.7 均匀分布指数分布 2.8 随机变量函数的分布 2.9 二维随机变量的联合分布 2.10 二维随机变量的边缘分布 2.11 随机变量的独立性 2.12 二维随机变量函数的分布,学 习 内 容,2.1 随机变量的概念,随机变量的概念 随机变量的定义 随机变量的分类,随机变量的概念,随机变量 在试验的结果中能取得不同数值的量，它的数值是随试验的结果而定的，由于试验

3、的结果是随机的，所以它的取值具有随机性。,随机变量的定义,备注 Xx, Xx, x1Xx2, Xx都是随机事件,定义 如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点 的实值函数，记作X X( ). 我们称这样的变量X为随机变量 随机变量通常用希腊字母 或英文大写字母X，Y来表示,随机变量（实例）,例1 随机的掷一颗骰子，表示出现的点数，,例2 某人接连不断地对同一目标进行射击, 直至射中为止，表示射击次数，,例3 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车, 旅客在任意时间到达车站, 表示该旅客的候车时间,随机变量的分类,可以取得某一区间内的任何数值,

4、仅可能取得有限个或可数无穷多个数值,2.2 离散随机变量,概率分布 概率函数及其性质 几何分布 频率分布表,概率分布,定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, . , xn, . , 而取得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), . , p(xn) , . , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：,概率函数及其性质,把函数 称为离散随机变量的概率函数。 p(xk)0, k=1,2,概率分布(实例),离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)利用古典概型计算每个取值点的概率 (3)列出随机变量的概率分布表,举例,例4

5、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数X的分布律。 （1）每次取出的产品不放回该批产品中； （2）每次取出产品都立即放回该批产品中，然后再取下一件产品； （3）每次取出一件产品后，总以一件合格品放回该批产品中。,2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.,3. 设随机变量X的概率分布为,求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X3),4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布

6、.,课 堂 练 习,几何分布,例5 假定一个实验成功的概率为p(0p1),不断重复进行实验,直到首次成功为止, 求实验次数的概率分布.,频率分布表,频率分布表 其中， 表示随机变量X的观测值xi出现的频率,2.3 超几何分布 二项分布泊松分布,“01”分布 超几何分布 二项分布 泊松分布,例6 某实验成功的概率为p, 现进行一次实验, 求实验结果的概率分布.,“01”分布,超几何分布 hypergeometric,例7 一批产品共N个，其中有M个次品。从这批产品中任意取出n个产品，则取出的n个产品中的次品数X 服从超几何分布 H(n, M, N),二项分布 binomial distribut

7、ion,进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布 2. 如果事件A在每次试验中发生的概率为p, 则事件A在n次重复试验中出现的次数X服从二项分布 B(n, p),二项分布的性质,显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有 同样有 当 n = 1 时，二项分布化简为,二项分布（作为超几何分布的近似）,当一批产品总数N很大，而抽取样品的个数n远小于N时，可用二项分布来近似地计算超几何分布的概率，即,实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）区别不大。,泊松分布,用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度

8、、面积、体积之内某一事件出现次数的分布（稠密性问题）。 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数； 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数； 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数； 一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数； 一段时间内候车的旅客数； 一段时间内原子放射粒子数；,泊松分布 Poisson, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,泊松分布（实例）,【例8】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求在给定的某周一正好请事假是5人的概率,

9、解: 由题意得 XP(2.5), 则,泊松分布（作为二项分布的近似）,当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 p0.1，n20，np5时，近似效果良好 超几何分布、二项分布、泊松分布间的近似关系,2.4 连续随机变量,概率分布 统计分布,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述,连续型随机变量的统计分布,连续型随机变量的统计分布可以用直方图表示 直方图

10、的作法 在横轴上截取各个区间，以各区间为底作矩形，使矩形的面积等于随机变量落在该区间内的频率 直方图中所有矩形的总面积为一,2.5 随机变量的分布函数,分布函数的定义 分布函数的性质 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数,分布函数的定义,定义 随机变量X的取值小于等于实数x的概率，即事件X x的概率；显然，它是x的函数，记作 这个函数称为随机变量X的概率分布函数或分布函数。,（2） F(x)是非减函数，即若,分布函数性质,（5）无论是离散型r.v.还是非离散型r.v. , 分布函数都可以描述其统计规律性.,离散型随机变量的分布函数,（1） （2）分布函数为阶梯函数,连续型随机变量

11、的分布函数,是 上的从0到1的单调 递增的连续函数,例2 向半径为R的圆形靶射击，击中点M落在以靶心O为中心， r为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况，设连续随机变量X表示击中点M与靶心O的距离， （1）求X的分布函数； （2）把靶的半径分成10等分，如果击中点M落 在以靶心O为中心，内外半径分别为 及 的圆环域内，则计为 环，求一 次射击得到 环的概率,2.6 连续随机变量的概率密度,概率密度的定义 概率密度与分布函数的关系 概率密度的性质,概率密度的定义,定义 比值 叫做随机变量X在该区间的平均概率分布密度 定义 若当 时，比值的极限存在，则极限值称为随 机变量X在

12、点x处的概率分布密度或概率密度，记作,概率密度与分布函数的关系,概率密度的性质,概率是曲线下的面积,例1 设随机变量X的概率密度函数为 试着确定常数K，并求 。,是某一个随机变量X的密度函数。,1. 证明,课堂练习,2.设随机变量X,且P(1X3/2)=3/8,求 (1)a,b; (2)P(1/2X3/2),(a0),1.设X,求F(x).,2.设X,求(1)P(-2X3/2);(2)F(x).,3.X的分布函数为,求(1)P(X3),P(X2) (3)f(x),4.已知连续型随机变量X的分布函数为,F(x)=A+Barctanx,求:(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x).,课堂练习,

13、5. 设Xf(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布 函数，则对任意实数a，有( ) F(-a)=1- F(-a)= F(-a)=F(a) F(-a)=2F(a)-1,7. 设X,求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.,8. 设X ,求X的分布函数.,2.7 常用的连续型分布,均匀分布 指数分布,均匀分布 uniform distribution,若随机变量X的概率密度函数为 称X在区间a ,b上均匀分布，记作U(a,b),x,f(x),b,a,此概率与子区间长度成正比, 而与子区间的起点无关, 这也是均匀分布的由来.,均匀分布函数,分布函数为:,x,F(x),a,b,1,均

14、匀分布常见于：在刻度器上读数时把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差；在每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停车站上乘客候车的时间,例1 用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第二位数字是 按“四舍五入”原则得到的，求使用电子表计时 产生 的随机误差X的概率密度；并计算误差的 绝对值不超过0.002秒的概率。,解：按题意，随机误差X可能取区间 上的任一数值，并在此区间上服从均匀分布。 所以，X的概率密度为 由此不难计算误差绝对值不超过0.002秒的概 率,指数分布 exponential distribution,如果连续型随机变量X的概率密度为:,则称X服

15、从参数为的指数分布,记为Xe().,电子元件的寿命；顾客要求某种服务（例如，到银行取款，到车站售票处购买车票）需要等待的时间都服从指数分布。,2.8 随机变量函数的分布,随机变量函数 离散r.v.函数的分布 连续r.v.函数的分布,随机变量函数,g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数； 所谓随机变量X的函数就是这样的随机变量Y，每当变量X取值x时，它取值y=g(x)；记作 Y=g(X),如何根据已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=g(X)的分布?,离散随机变量函数的分布,(2) 若g(x1),g(x2),中不是互不相等的, 则应将那些 相等的值分别合并, 并根据概率加法公式把相应的 p