高一数学教案[苏教版]集合之间的运算

1、1.2.2 集合的运算一 .课标解读1.普通高中数学课程中明确指出:“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 ; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”2.重点 :交集与并集 .全集与补集的概念.3.难点 :理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.二 .要点扫描1. 交集交集定义：由属于a又属于 b 的所有元素构成的集合叫a 与 b 的交集，记作ab ，表示为ab x | xa 且 xb图中阴影部分表示集合a 与 b 的交集：注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是ab

2、 中的元素都是两集合a 与 b 的公共元素；另一层含义是集合a 与 b 中的所有公共元素都在ab 中。另外，当两集合a 与 b 没有公共元素时，不能说集合a 与 b 没有交集，而是ab。交集的运算性质：对于任何两个集合a 与 b ，都有abba;aaa;aa;如果 ab,则 aba。2. 并集并集定义：把给定的两个集合a 与 b 的所有元素并在一起构成的集合叫a 与 b 的并集，记作ab ，表示为 ab x | xa 或 xb ， 图中阴影部分表示集合a 与 b 的并集：第 1页共 17页注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。xa 或 xb 包含了三种情况: xa 但 xb ;xa 但 x

3、b ; xa 且 xb .并集的运算性质：对于任何两个集合a 与 b ，都有abb a;aaa;aaa;如果 ab,则 ab b。3. 补集补集的定义如果 au ，由全集 u 中不属于 a 的所有元素构成的集合，叫做a 在 u 中的补集，记作cu a ,表示为 cu a x | xu 且 xa图中阴影部分表示集合a 在全集 u 中的补集：补集的运算性质：对于任何集合a ，都有acu au ;acu a;cu (cu a)a。三 .知识精讲知识点 1 交集、并集、补集的重要结论第 2页共 17页( ab)，b)ba ( aa cu a，( a b) c a ( b c)( ab)，b)ba (

4、aacu au，(ab)ca(bc)a( bc)( ab)( ac )a( bc)( ab)( ac )知识点 2 表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图四 .典题解悟-基础在线 - 题型一 交集由属于 a 又属于 b 的所有元素构成的集合叫a 与 b 的交集 .例 1. a= x | x 2( p2)x10, xr ， b x | x0, xr, ab，求实数p 的取值范围。解析：因为ab，第 3页共 17页若 a，则方程x2( p2) x10 无实数解，所以( p2)24p 2 4 p0， -4p-4.答案 : p -4. 题型二 并集把给定的两个集合a 与 b 的所有元素并在一起构成

5、的集合叫a 与 b 的并集 .例 2.a1,3,x2 ,1,ab1,3,，求 x 。x bx解析：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了 x 1这个解。a1,3, x, b x 2 ,1, ab1,3, xx 23 或 x 2x ，若 x23 ，则 x3 ；若 x 2x ，则 x0, x1。但 x1时 x 21，这时集合b 的表示与集合元素具有互异性相矛盾，所以 x3 或 x3 或x。0第 4页共 17页答案 :x3 或 x3 或 x0。例 3.已知集合 a x | x26x 80,b x | ( xa)( x3a) 0,（ 1）若 a

6、b ，请求 a 的取值范围；（ 2）若 ab，请求 a 的取值范围；（ 3）若 ab x | 3x4 ，请求 a 的取值范围。ax3a, a0解析：化简集合a=x|2x4 仍然成立，所以a b 成立，同理 3a=4 也符合题意，虽然要求，当 a2a3a4a43 故 a 的取值范围是 4,2 。所以解得a2a32（ 2）当 a0 时，显然 ab成立，即 a(,0) ；或 a0 时，如下图b 或 b 位置均使 ab成立。当 3a2 或 a4 时也符合题目意，事实上，2a,4a ，则 ab成立。第 5页共 17页所以，要求 03a2 或 a4 ，解得 a( 0, 2 4,) 。3或所以a 0 时，

7、b x | x 20显然a b成立。,a 0 可取，综上所述，a 的取值范围是(, 24,) 。3（ 3）因为 a x | 2x4,ab x | 3x4 ，如下图集合 b 若要符合题意，位置显然为a 3 ，此时， b x | 3 x9 ，所以，a3为所求。答案 : 4 ,2 ;3 (, 2 4, ) ;3a3 题型三 补集如果 au ，由全集 u 中不属于 a 的所有元素构成的集合，叫做a 在 u 中的补集 .例 4.已知全集 u=2， 3， a2+2a-3,a=2,|a+7|, cua=5, 求 a 的值。解析 : 由已知22u=2， 3， a +2a-3, ca=5, 得 a +2a-3=

8、5 ，解得 a=-4 或 a=2u若 a=-4 ， |a+7|=3 ，满足条件；若 a=2， |a+7|=9 ，与题意不符，舍去。所以 a=-4 。第 6页共 17页答案 :a= -4例 5.设全集 u=r, 集合 a= x| x2- x- 60 , b= x| x|= y+2, y a , 求 cu b, a (cub), a (cub), cu (a b), ( cu a) (cub).解析 :a= x |-2x 3, 0| x|=y+2 5. b= x|-5 x0 或 0x5 cu b= x | x -5 或 x =0 或 x 5 ,a (cub)= x|x -5 或 -2 x3 或 x

9、 5, a (cu b)= 0 ,cu(a b)=( cua) (cub)= x | x -5 或 x 5.答案 : 略.-拓展一步 -1.有限集合中元素的个数在研究集合时， 常遇到有关集合中元素的个数问题，我们便把有限集合a 中元素的个数记作n(a) ，如 a 2,4,6 ，则 n( a) =3.下面看一个例题：a a,b, c, b a, c, d, e, ab a, c, ab a, b, c,d , e观察它们的元素个数间的关系，n( a)3, n(b) 4,n( ab) 2, n( ab) 5发现 : 一般地，对于任意两个有限集合a ， b ，有 n( a b)n( a)n(b)n(

10、 a b) ；这就是著名的容斥原理；对于任意三个有限集合a， b，c，有n( a b c ) n( a) n(b) n(c ) n( a b) n( a c ) n(b c ) n( a b c )注意： n() 0例 6.天鹅旅行社有 15 人组成了国际导游组， 其中能用英语导游的有11 人，能用日语导游的有 8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？解析：设 a= 能使用英语的导游 ， b= 能使用日语的导游 ，第 7页共 17页ab 国际导游组成员 ， ab 既能用英语又能用日语的导游 由n( ab) n( a) n( b) n( ab) ，则 15=11+

11、8 n( a b) ,则 n( a b) =4。答案：既能用英语又能用日语的导游有4 位。2.德摩根律利用维恩图观察cu ( ab) 与 (cu a)(cu b) 的关系通过观察发现： (cu a)(cu b) 与 cu ( ab) 是相同的，即 (cu a) (cu b) = cu ( a b)同样的道理可以发现：cu ( a b) = (cu a)(cu b)这便是著名的德摩根律，它可以叙述为：a, b 交集的补集等于a, b 的补集之并；a, b 并集的补集等于a, b 的补集之交。例 7. 已知集合 a=(x ， y)|ax+y=1 ， b=(x ，y)|x+ay=1 ， c=(x ，

12、y)|x2 +y2=1 ，问： (1)当 a 取何值时， (a b) c 为含有两个元素的集合？(2) 当 a 取何值时， (a b) c 为含有三个元素的集合？解析： (a b) c=(a c) (b c)。a c与 b c 分别为的解集。解之得：第 8页共 17页2a,1a2（）的解为（0， 1），（22）1a1a（）的解为（1， 0），（ 1a 2,2a）1a 21a 2(1) 使(a b) c恰有两个元素的情况只有两种可能：解得 a=0 或 a=1。（ 2）使 (a b) c 恰有三个元素的情况是：2a1a 21 a21a2解得 a 12 。答案 : (1) a=0 或 a=1;（ 2

13、） a12 。-错解点击 -例 8. 15.集合 a= x|222, 若 a b=a, a c= c,x - 3x+2=0 , b=x| x - ax+a+1=0, c=x| x - mx+2=0求 a, m 的值 .错解 :此为易错题目 .正解 : m=3 或 m (-22 ,22 ).分析 :当 a-1=1, 即 a =2 时 , b= 1 ;当 a-1=2, 即 a=3 时 , b= 1,2 . a 的值为 2 或 3.再考虑条件 :ca, 则集合 c 有三种情况 :当 c=a 时, m=3;当 c 为单元素集合时, 即方程 x2- mx+2=0 有等根 .第 9页共 17页2得 m=

14、22 .由 =m -8=0,但当 m= 22时 , c=2或 - 2 不合条件 ca. 故 m= 22 舍去 .当 c= 时 , 方程 x2- mx+ 2=0 无实根 ,2 -2 2 m22 . 综上 m=3 或 m ( -2 2 ,2 2 ).=m -8 0,五 .课本习题解析习题 1-1a( 课本第 118 页 )1.2.第10页共17页六 .同步自测-双基训练 -1. 设集合 m= x|xx2 0 ,n=x|x2-2x-30, 则集合 m n=()a、 x|0 x1b、 x|0 x2c、 x|0 x 1d、 x|0 x22. 设全集 u=n,集合 a= x|x=2n,n n,b=x|x=

15、4n,n n则（）a、 u=a bb、 u=ca cubc、 u=acub d、 u=ca b3. 设 m=2,a 2-3a+5,5,n=1,a2 -6a+10,3,且 m n=2,3则 a 的值是 ()a、 1 或 2b、 2 或 4c、 2d、 14. 设集合 m x |xn1n()2z ， n n |z ，则 m2a 、b、 mc、zd 、05. 设全集 u（ u）和集合 m ，n，p 且 m=c u n，n= c up，则 m 与 p 的关系是- （）a 、 m= c u pb 、 m=pc、 mpd 、m p6. 已知 a=(x, y)|x+y=3, b=(x,y)|x y=1 ，则

16、 a b= （）a 2, 1b x=2,y=1c (2,1)d (2,1)7. 若集合 a1,2,3 ，则满足 ab a 的集合 b 的个数是（）a 1b 2c 7d 88.已知集合my|y x21,2，则m n（）x r , n x | y3 x第11页共17页a. (2,1), (2,1)b 1,3c 0, 3d9. 设 a 、 b、 i 均为非空集合，且满足ab i ，则下列各式中错误的是（）a. (ci a)b i b (c i a) (ci b) ic a(c i b)d (ci a) (c i b) ci b10. 已知集合 u 、p、 q 满足 u = p q = 0,1,2,3

17、,4 , pq = 1,3 , 则 ( cu pcu q ) (pq) = ()a 0,1,3b 1,2,4c 0,2,4d 1,3,411 u=r,集合a=x|x 2, 则 c a=_;1xu12设全集u=x|x 10，x n ，集合 p= 能被 2 或 3 整除的自然数 ，用列举法表示集合cup为 。13知集合ax, yyx, xr ， bx, y y2x, xr ，则 ab =;-综合提高-14.集合 a=1,3,x,b=x2,1, 且 ab=1,3,x,满足这些条件的x 的值有 ().a. 一个b.两个c.三个d.四个15.设全集为u ，非空集 p,q 满足 pq ，则下列集合中一定是

18、空集的是（）(a)cu pcu q（b ） cu pq(c)cu pq(d) pcu q16.设集合 ax x 1 , bx xp ，要使 ab，则 p 应满足的条件是（）(a)p 1（ b）p 1(c)p1(d)p117.已知集合ay yx 21 , by yx 1，则 ab （）(a)0,1,2（ b）0,1 , 1,2(c) x x1(d) r第12页共17页18.已知全集 u=(x,y)|x,yr ,集合 a=(x,y)|y31,x2集合 b=(x,y)|y-3=x-2,那么 (cua)t =()a.b.2,3c.(2,3)d.(x,y)|y-3x-219. 已知集合 a=x| x10

19、 ,b=x|x a ，若 a b=b, 则 a 的取 范 是（）x2(a) a1(b)a 2(c)a -2(d) a-220. 已知 ab3 ， (cu a)(cu b)xn x9 且 x3 ，c u ab 4,6,8 ，ac u b1,5， a =, cuab21.已知全集 ur ， ax 2x2 , bx x1 ,cx 0 x4则 a b c， (cu a)c.22已知全集u=2， 4， 1-a ， a=-1 ， cua=2 ， a2-a+2, 数 a=23，若，求 数的 24 50 名学生参加体能和智能 ，已知体能 秀的有40 人，智能 秀的有31 人，两 都不 秀的有 4 人 种 都

20、秀的有几人？25某班共有 27 人参加数学、物理、化学 趣小 ，其中参加数学 趣小 的有21 人，参加化学 趣小 的有 10 人，参加物理 趣小 的有17 人，同 参加数学、物理 趣小 的有12 人，参加数学、化学 趣小 的有 6 人，三个 趣小 都参加的有2人。 同 参加化学、物理 趣小 的有几人？七 .相关 接公理化集合 的建立集合 提出伊始，曾遭到 多数学家的激烈反 ，康托 本人一度成 一激烈 争的 牲品.在猛烈的攻 下与 度的用 思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩 .然而集合 前后 二十余年，最 得了世界公 .到二十世 初集合 已得到数学家 的 同.数学家 一切数学成果都可建立在

21、集合 基 上的前景而陶醉了.他 地 从算 公理系 出 ，借助集合 的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在 1900 年第二次国 数学大会上，著名数学家 加莱就曾 高采烈地宣布“数学已被算 化了.今天，我 可以 的 格已 达到了.”然而 种自得的情 并没能持 多久 .不久，集合 是有漏洞的消息迅速 遍了数学界. 就是1902 年 素得出的 素悖 . 素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作 元素）的集合r. 在 r 是否属于 r？如果 r属于 r， r 足 r 的定 ，因此 r 不 属于自身，即r 不属于 r；另一方面，如果 r 不属于 r，第13页共17页则 r 不满足 r 的定义，因此 r

22、 应属于自身， 即 r 属于 r.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去 .1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 zf 公理系统 .原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908 年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论 .公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴

23、素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼： 没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结 .它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元 n 次