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文档简介
1、第三章2抛物线,2.1抛物线及其标准方程,1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的 的点的集合叫作 .点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . 知识点二抛物线标准方程的几种形式,答案,y22px(p0),准线,距离相等,抛物线,焦点,答案,y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),返回,思考(1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么? 答案焦点到准线的距离.
2、(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗? 答案不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.,答案,题型探究 重点突破,题型一求抛物线的标准方程 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(2,0);,解析答案,抛物线的标准方程为y28x. (2)准线为y1;,抛物线的标准方程为x24y.,(3)过点A(2,3); 解由题意,抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0), 将点A(2,3)的坐标代入,得32m2或22n3,,解析答案,反思与感悟,所求抛物线的标准方程为y25x或y25x或
3、x25y或x25y.,反思与感悟,求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3,4); 解方法一点(3,4)在第四象限, 设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10). 把点(3,4)的坐标分别代入y22px和x22p1y,,方法二点(3,4)在第四象限, 抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0).,
4、解析答案,(2) 焦点在直线x3y150上. 解令x0得y5;令y0得x15. 抛物线的焦点为(0,5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.,解析答案,解析答案,反思与感悟,题型二抛物线定义的应用 例2如图,已知抛物线y22x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|PF|的最小值,并求此时P点坐标.,解析答案,反思与感悟,解如图,作PQl于Q,由定义知,,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,由图可知,求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.,反思与感悟,点P坐标为(2,2).,反思与感悟,抛物线的定
5、义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.,解析答案,跟踪训练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(),解析如图,由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|, 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值, 则当A、P、F三点共线时,|PA|PF|取得最小值.,A,题型三抛物线的实际应用 例3 如图所示,一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB宽
6、恰好是拱高CD的4倍,若拱口宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.,设抛物线方程为x22py(p0),,解得a12.21,a取整数, a的最小整数值为13.,反思与感悟,以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,抛物线的应用主要解题步骤:(1)建立平面直角坐标系,求抛物线的方程;(2)利用方程求点的坐标.,解析答案,跟踪训练3如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0
7、.5米. (1)以隧道的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;,所以该抛物线的方程为x25y.,解析答案,返回,(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解设车辆高h米,则|DB|h0.5, 故D(3.5,h6.5), 代入方程x25y,解得h4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.,当堂检测,1,2,3,4,5,C,解析答案,解析答案,2.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为() A.8 B.16 C.32 D.61 解析由y28x得焦点坐标为(2,0),
8、由此直线方程为yx2,,B,1,2,3,4,5,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程知x1x212, 弦长|AB|x1x2p12416.,解析答案,1,2,3,4,5,A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x,D,所以抛物线的方程为y28x或y28x.,解析答案,4.已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(),1,2,3,4,5,解析 易知直线l2:x1恰为抛物线y24x的准线, 如图所示,动点P到l2:x1的距离可转化为PF的长度, 其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点.,A,解析答案,4,1,2,3,4,5,课堂小结,1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一
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