非线性物理2-2.ppt

1、第二章 分岔与奇怪吸引子,第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程,1.流体中的不稳定性 2.洛伦兹方程解的分岔,1900年, 法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验.,1.流体中的不稳定性,在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案。照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉。 当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生?, 贝纳德对流,当上下温差加大时，对流突然从无到有产生。 贝纳德图案是对流与抑止因素(黏性和热扩散)竞争的结果。,这是现代用硅油

2、做实验拍摄的照片。,贝纳德对流实验,理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。,1.流体中的不稳定性,瑞利数,1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R (瑞利数) ： g-为重力加速度，a-为热

3、胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。,瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流体出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为： 其中k是 x 方向环流波数 。,1.流体中的不稳定性,倍周期分岔的实验检验,从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象。带着这样观点利布沙伯(Libchaber-低温物理学家)于1980年用液氦重做了贝纳德对流实验。 实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其尺寸为3mm1.5mm1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视

4、两点的温度。,容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往两侧分流沿腔壁下降形成两个对流圈。,1.流体中的不稳定性,利布沙伯通过对液氦对流信息的分析,发现开始时只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现 f/4、f/8等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。,倍周期分岔的实验检验,1.流体中的不稳定性,倍周期分岔普遍性,利布沙伯的实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。 后来,人们相继在 LCR 振荡、激光振荡、化学反应等许多

5、过程中都发现了倍周期分岔现象，这表明倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。,1.流体中的不稳定性,洛伦兹的设想,2.洛伦兹方程,洛伦兹的设想,60年代初，美国数学家洛伦兹(E. Lorenz)在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程,洛伦兹从贝纳德对流出发，利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程和连续性方程，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。,x -对流的翻动速率; y -比例于上流与下流液体之间的温差; z-是垂直方向的温度梯度; s -无量纲因子,

6、称为 Prandtl 数; b-速度阻尼常数; r -相对瑞利数 r = R/RC,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程解的分岔,2.洛伦兹方程,洛伦兹方程有三个平衡点,若r 1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态。,原点的稳定性,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,当 r 1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是C1与 C2邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为： 现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。,2.洛伦兹方

7、程,当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。,r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨线是椭圆. r rc 时, C1与C2成了不稳定的焦点. 定态对流失稳，是不稳定的. 这时将出现一次新分岔霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子.,2.洛伦兹方程,C1与 C2的稳定性,洛伦兹吸引子,r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨线是椭圆. r rc 时将出现一次新分岔霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发展成为奇怪吸引子.,第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子,1. 李雅普诺夫指数 2. 埃侬映射与埃侬

8、吸引子 3. 洛伦兹吸引子,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,吸引子 所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极形态.它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道;也可能是继续不断变化,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线.前者也被称为平庸吸引子,后者被称为奇怪吸引子.,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,平庸吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，

9、它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。,考察平方映射的两个迭代运算,取m = 4，并取有一点微小的差别的两个初始值 x0 =0.370 与 y0=0.380。运算结果如表所列，经过前第四次迭代,两个运算结果还没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。,奇怪吸引子,1.李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,取m =2.1，并取有较大差别的三个初始值 x01 =0.08，x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算结果趋于一致，045. 取m

10、=3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。,1.李雅普诺夫指数,两个系统： 设其初始值存在微小误差 ，经过一次迭代以后有： 式中：,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,由第二次迭代得： 经过第 n 次迭代得：,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值 x0 有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,每次迭代平均分离值为：,两个系统如初始存在微小误差，

11、随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫(Lyapunov)指数来度量,它为几何平均值的对数：,李雅普诺夫指数公式,1.李雅普诺夫指数,式中xn为第 n 次迭代值。取 n，得李雅普诺夫指数计算公式：,利用李雅普诺夫指数l ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离： 在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li ，而且沿相空间的不同方向，其 li (i=1,2,)值一般也不同。,李雅普诺夫指数应用,1.李雅普诺夫指数,经过n次迭代,设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的距离为： 式中指数 li 值可正可负。 表示沿该方向扩展， 表

12、示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。,1.李雅普诺夫指数,李雅普诺夫指数应用,李雅普诺夫指数应用,1.李雅普诺夫指数,稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预示着系统的不稳定性。 研究表明，系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出现混沌运动。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。,吸引子与李雅普诺夫指数,1.李雅普诺夫指数,我们可按 的符号对吸引子的性质进行分类，对于三维空间，有以下几种吸引子类型：,1、三个指

13、数 、 和 均为负值，相点收缩到一点，即系统存在不动点； 2、三个指数中有一个为零，另外两个为负值，相点收缩在一个环上，即极限环； 3、三个指数中有两个为零，一个为负值，相点收缩在一个二维的环面上，这是二维环面吸引子； 4、三个指数中有一个为正值，此时系统将出现奇怪吸引子。,吸引子与李雅普诺夫指数,1.李雅普诺夫指数,吸引子与李雅普诺夫指数,吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：,1.李雅普诺夫指数,平方映射的 l 指数,

14、利用计算程序可以方便地求得一维映射的。 分析：由图可见平方映射的指数随参数值变化起伏很大，有一个临界值,当 时指数变化但始终处于负值。当 指数开始转为正值，就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。 1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道,1.李雅普诺夫指数,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,埃侬映射,埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离散型映射,它有两个控制参数 m

15、 和 b： 埃侬映射所描述的体系随参数 b 的取值不同而不同： 当b = 1时系统在运动中保持相平面积不变，描述的是保守系统； 当b 1，系统在运动中相平面面积逐渐缩小，因此描述的是耗散系统。 当b = 0时退化为一维映射： 当xn与xn+1的取值0，1时，则参数 m 的取值0，2。这个一维映射与平方映射有相同的复杂动力学性质。,埃侬吸引子,小方块是放大20倍后的局部图形,取参数 m 1.4，b0.3（即 b 1 的耗散体系），进行计算，结果显示在(x,y)相平面上： 开始时，计算出的点在平面上随机地出现，随着计算继续，计算得的点开始显现成某种图形，程序运行越久图形中显现出越多的细节，形成如香

16、蕉形状，具有无穷层次。,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,指数 l 随参数 m 的变化 1. 在 时始终为负值； 2. 在 附近由负值转为正值，并随 m 增加出现一些规则运动的窗口。 3. 当 时轨道变得不再稳定，因此曲线也在此终止。 4.在 处计算得:,埃侬吸引子的 l 指数,b0.3 的最大李氏指数 l 随 m 的变化曲线,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,埃侬吸引子的 l 指数,埃侬映射是二维映射，要用两个李氏指数 描述，上述已计算出正值指数 ，现在求第二个负值指数 。 对于二维映射，迭代使相空间圆变为椭圆。 设初始圆直径为 d0 ， 椭圆长轴为 ，短轴 ， 面积 。 迭代产生面积的变化为: 由此有,2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子,洛伦兹方程的解,r 1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与C2是稳定的焦点。rrc=24.7368） C1与C2成了不稳定的焦点。,2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子,洛伦兹吸引子,在洛伦兹方程中，取参数 s =10，b = 8/3，随参数 r 增加，出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为